헤르만-마우긴 표기법
Hermann–Mauguin notation기하학에서 헤르만-마우긴 표기법은 점군, 평면군, 우주군에서 대칭 원소를 나타내기 위해 사용된다. 독일의 결정학자 칼 헤르만(1928년 도입)과 프랑스의 광물학자 샤를 빅토르 마우갱(1931년 수정)의 이름을 따서 지은 것이다. 이 표기법은 1935년 초판부터 국제결정학표에 의해 표준으로 채택되었기 때문에 국제 표기법이라고 부르기도 한다.
헤르만-마우구인 표기법은 쇤파리 표기법과 비교했을 때, 변환 대칭 원소를 쉽게 포함시킬 수 있고, 대칭 축의 방향을 명시하기 때문에 결정학에서 선호된다.[1]
점 그룹
회전 축은 숫자 n — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ...(회전 각도 rotation = 360°/n). 부적절한 회전 시 헤르만-마우긴 기호는 쇤파리와 슈브니코프 표기와는 달리 회전반사 축을 나타낸다. 로토인버전 축은 해당 숫자로 마크롱, n — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... 2는 거울 평면에 해당하며 보통 m로 표기된다. 거울 평면의 방향은 거울 평면에 수직인 방향(두 축의 방향)으로 정의된다.
헤르만-마우구인 기호는 등가성이 없는 축과 평면을 대칭적으로 보여준다. 대칭 원소의 방향은 헤르만-마우구인 기호의 위치에 해당한다. 회전축 n과 거울평면 m이 같은 방향(즉, 평면이 축 n에 수직인 경우)을 갖는 경우, 그것들은 부분 n/m 또는 n /m으로 표시된다.
두 개 이상의 축이 방향이 같을 경우 대칭이 높은 축이 표시된다. 대칭성이 높다는 것은 축이 더 많은 점을 갖는 패턴을 생성한다는 것을 의미한다. 예를 들어 회전축 3, 4, 5, 6, 7, 8은 각각 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8 포인트 패턴을 생성한다. 부적절한 회전 축 3, 4, 5, 6, 7, 8은 각각 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8의 패턴을 생성한다. 회전 축과 회전 반전 축이 동일한 수의 점을 생성하는 경우 회전 축을 선택해야 한다. 예를 들어, 3/m 조합은 6과 같다. 6은 6점을 발생시키고 3은 3점만 발생하므로 3/m 대신 6을 작성해야 한다(6, 6은 이미 미러 평면 m을 포함하고 있기 때문에 6/m이 아니다). 이와 유사하게 3축과 3축이 모두 존재하는 경우에는 3축을 작성해야 한다. 하지만 우리는 4와 4가 모두 4점을 생성하기 때문에 4/m이 아니라 4/m을 쓴다. 2축, 3축, 6축, 6축이 있는 6/m 조합의 경우 3축, 6축, 6축 모두 6점 패턴을 생성하지만, 후자는 회전축이기 때문에 사용해야 한다 - 기호는 6/m이다.
마지막으로 헤르만-마우구인 기호는 집단의 종류에[clarification needed] 따라 다르다.
고차 축이 없는 그룹(주문 3개 이상의 축)
이러한 그룹은 2중 축, 미러 평면 및/또는 반전 중심만 포함할 수 있다. 결정학적 포인트 그룹 1과 1(삼차 결정계), 2, m 및 2/m(단조계), 222, 2/m2/m2/m, mm2(정형법)이다. (2/m2/m2/m의 짧은 형태는 mm) 기호가 세 개의 위치를 포함하는 경우, 각각 x, y, z 방향으로 대칭 원소를 나타낸다.
하나의 고차 축을 가진 그룹
- 첫 번째 위치 - 기본 방향 - z 방향, 고차 축에 할당됨
- 두 번째 위치 - z축에 수직인 대칭적으로 동등한 보조 방향. 이 값은 2, m 또는 2/m일 수 있다.
- 세 번째 위치 - 대칭적으로 동등한 세 번째 방향, 이차 방향[clarification needed] 사이를 통과하는 세 번째 방향. 이 값은 2, m 또는 2/m일 수 있다.
3,32,3m,3m,3m,32/m(트리거 결정계통),4,422,4mm,442m,4/m,4/m2/m(테트라사각형),6,622,6mm,6m2,6/m,6/m,6/m,6/m6/m(헥사사각형)의 결정체들이다. 유사하게 비결정적 그룹의 기호(순서 5, 7, 8, 9의 축 포함)를 구성할 수 있다. 이 그룹들은 다음 표에 배열될 수 있다.
| 쇤파리 | H-M 기호 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cn | n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
| Cnv | nm | 3m | 5m | 7m | 9m | 11m | ∞m | ||||||
| nmm | 4mm | 6mm | 8mm | 10mm | 12mm | ||||||||
| S2n | n | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | ∞/m | ||||||
| Sn | 4 | 8 | 12 | ||||||||||
| Cn/2h | 6 | 10 | |||||||||||
| Cnh | n/m | 4/m | 6/m | 8/m | 10/m | 12/m | |||||||
| Dn | n2 | 32 | 52 | 72 | 92 | (11)2 | ∞2 | ||||||
| n22 | 422 | 622 | 822 | (10)22 | (12)22 | ||||||||
| Dnd | n2/m | 32/m | 52/m | 72/m | 92/m | (11)2/m | ∞/mm | ||||||
| Dn/2d | n2m = nm2 | 42m | 82m | (12)2m | |||||||||
| Dn/2h | 6㎡ | (10)㎡ | |||||||||||
| Dnh | n/m2/m2/m | 4/m2/m2/m | 6/m2/m2/m | 8/m2/m2/m | 10/m2/m2/m | 12/m2/m2/m |
홀수 순서 축 n과 n을 가진 그룹에서 기호의 세 번째 위치가 항상 부재하는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 모든 n 방향은 고차 축에 수직이며 대칭적으로 같기 때문이다. 예를 들어, 삼각형의 그림에서 세 개의 거울 평면(S0, S1, S2)은 모두 등가인데, 모두 하나의 꼭지점과 반대편의 중심을 통과한다. 짝수 축의 경우 n/2 이차 방향과 n/2 삼차 방향이 있다. 예를 들어, 일반적인 육각형 그림에서 두 개의 거울 평면을 구별할 수 있다. 세 개의 평면은 두 개의 반대 정점을 통과하고 세 개의 평면은 반대편의 중심을 통과한다. 이 경우 2세트 중 어느 한 세트를 2차 방향으로 선택할 수 있으며, 나머지 세트는 3차 방향이 된다. 따라서 그룹 42m, 62m, 82m, ...는 4m2, 6m2, 8m2, ...로 표기할 수 있다. 단, 2차 방향이 단위 셀 변환 b와 c를 따라 대칭 요소의 방향인 해당 공간 그룹의 헤르만-마우갱 기호에 대해서는 이 순서가 중요하지 않다.이온은 단위 세포 번역 b와 c 사이의 방향에 해당한다. 예를 들어 기호 P6m2와 P62m은 서로 다른 두 개의 우주 그룹을 나타낸다. 이것은 또한 홀수 순서 축 3과 3이 있는 공간 그룹의 기호에도 적용된다. 수직 대칭 요소는 단위 셀 변환 b와 c를 따라 이동하거나 그 사이를 이동할 수 있다. 우주군 P321과 P312는 각각 전자와 후자의 사례들이다.
지점군 32/m의 기호는 혼동될 수 있는데, 해당하는 쇤파리 기호는 D로3d, 이 2배축 사이를 지나는 3배축, 3개의 수직 2배축, 3개의 수직 대각면으로 이루어져 있어 32m 또는 3m2로 표시할 수 있는 것으로 보인다. 단, 쇤파리 표기법과 달리 헤르만-마우구인 기호의 평면 방향은 평면에 수직인 방향으로 정의되며, D군에서는3d 모든 거울 평면이 2배 축에 수직이므로 2/m과 같은 위치에 표기해야 한다는 점을 기억해야 한다. 둘째, 이러한 2/m 단지는 역전 중심을 생성하는데, 3배 회전 축과 결합하면 3배 회전 축이 생성된다.
n = ∞을 가진 그룹을 limit groups 또는 Curie 그룹이라고 한다.
여러 개의 고차 축이 있는 그룹
입방정계 결정체군: 23, 432, 2/m3, 43m, 4/m32/m이다. 모두 4개의 대각선 3배축이 들어 있다. 이 축들은 큐브에 3배 축으로 배열되어 있으며, 4개의 공간 대각선을 따라 방향을 정한다(입방체의 대칭은 4/m32/m이다). 이러한 기호는 다음과 같은 방법으로 구성된다.
- 첫 번째 위치 - 좌표 축 x, y 및 z의 대칭적으로 동등한 방향. 대각선 3배 축이 존재하기 때문에 등가한다.
- 두 번째 위치 - 대각선 3축 또는 3축
- 세 번째 위치 - 세 개의 좌표 축 중 두 개 사이의 대각선 방향 x, y 및 z. 이 값은 2, m 또는 2/m일 수 있다.
위에 제시된 모든 헤르만-마우구인 기호를 전체 기호라고 한다. 많은 그룹의 경우 n-폴드 회전 축을 n/m 위치에 생략하여 단순화할 수 있다. 이는 기호에 제시된 대칭 원소의 조합에서 회전 축을 명확하게 얻을 수 있는 경우 가능하다. 예를 들어 2/m2/m2/m의 짧은 기호는 mm, 4/m2/m는 4/mm, 4/m32/m은 m3m이다. 하나의 고차 축을 포함하는 그룹에서는 이 고차 축을 생략할 수 없다. 예를 들어 기호 4/m2/m 및 6/m2/m2/m2/m는 4/mm(또는 4/mm) 및 6/mmm(또는 6/mm)로 단순화할 수 있지만, 32/m의 짧은 기호는 3m이다. 32개의 모든 결정학적 점 그룹에 대한 전체 및 짧은 기호는 결정학적 점 그룹 페이지에 제시되어 있다.
5입방 그룹 외에 비결정적 이두면체 그룹(초내파리 표기에서는 I와 I), 한계h 그룹(초내파리 표기에서는 K와 K)이 더 있다h. 헤르만-마우구인 기호는 비결정적 그룹을 위해 설계되지 않았기 때문에 기호는 다소 명목적이며 입방정계의 결정학적 그룹의 기호와 유사성에 기초한다.[2][3][4][5][6] 그룹 I은 235, 25, 532, 53으로 표시된다. I의h 가능한 짧은 기호는 m35, m5, m5m, 53m이다. 한계군 K의 가능한 기호는 ∞∞ 또는 2 2이며, K의h 경우 ∞/m∞ 또는 m∞ 또는 ∞m이다.
평면 그룹
평면 그룹은 헤르만-마우긴 시스템을 사용하여 묘사할 수 있다. 첫 번째 문자는 원시 또는 중심 단위 세포를 나타내는 소문자 p 또는 c이다. 다음 숫자는 위에 주어진 것과 같이 회전 대칭이다. 거울 평면의 존재는 m로 표시되고 활공 반사는 g로 표시된다. 나사 축은 2차원에 존재하지 않으며 3D 공간이 필요했다.
공간 그룹
공간 그룹의 기호는 격자 유형을 설명하는 대문자와 대칭 요소를 지정하는 기호를 결합하여 정의된다. 대칭 요소는 해당 점군(공간군에서 모든 번역적 구성요소를 제거하면 얻는 그룹)의 기호에서와 같은 방식으로 정렬된다. 대칭 원소의 기호는 회전 축과 거울 평면 외에도 공간 그룹은 나사 축(회전 및 번역의 결합)과 활공면(거울 반사 및 번역의 결합)이라는 더 복잡한 대칭 원소를 포함할 수 있기 때문에 더욱 다양하다. 결과적으로, 많은 다른 공간 그룹은 동일한 점 그룹에 대응될 수 있다. 예를 들어, 다른 격자 유형과 글라이드 평면을 선택하면 Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Ccm, Ibam, Fmmm, Fddd 등 28개의 다른 공간 그룹을 생성할 수 있다.
격자형식
다음은 브라바이스 격자형 3차원이다.
- P - 원시
- I — 몸 중심(독일어 "Innenzentriert"에서)
- F — 면 중심(독일어 "Fléchenzentriert"에서)
- A — A 면 중심 베이스만
- B — B 면만을 중심으로 한 베이스
- C - C 면 중심 베이스만
- R — 림보헤드랄
 |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|
| 원시, P | 기준 중심, C | 면 중심, F | 몸 중심, I | 육각형 세팅 Rhomboheadral, R |
나사 축
나사 축은 숫자 n으로 표시되며, 여기서 회전 각도는 360°/n이다. 그런 다음 병렬 격자 벡터의 일부로 번역이 축을 따라 얼마나 멀리 있는지 보여주는 첨자로 번역의 정도를 추가한다. 예를 들어, 2는1 180°(2배) 회전한 후 격자 벡터의 1/2을 번역한 것이다. 3은1 120°(3배) 회전한 후 격자 벡터의 1/3을 번역한 것이다.
가능한 나사 축은 21, 31, 421, 423, 61, 62, 6, 6이다345. 도끼에는 (31 — 32), (41 — 43), (61 — 65), (62 — 6)의4 4쌍이 있다. 이 반동형성은 11쌍의 반동형 우주군 즉, 반동형 우주군을 낳는다.
| 크리스털 시스템 | 4각형 | 삼각형 | 육각형 | 큐빅 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 첫 번째 그룹 그룹 번호 | P41 76 | P4122 91 | P41212 92 | P31 144 | P3112 152 | P3121 151 | P61 169 | P62 171 | P6122 178 | P6222 180 | P432년1 213 |
| 두 번째 그룹 그룹 번호 | P43 78 | P4322 95 | P43212 96 | P32 145 | P3212 154 | P3221 153 | P65 170 | P64 172 | P6522 179 | P6422 181 | P432년3 212 |
글라이드 비행기
글라이드 평면은 글라이드가 어느 축을 따라 가느냐에 따라 a, b 또는 c로 기록된다. 또한 얼굴 대각선 반을 따라 활공하는 n글라이드와 단위 셀의 얼굴 또는 공간 대각선의 1/4을 따라 움직이는 d글라이드가 있다. d 글라이드는 다이아몬드 구조에서 특징지어 흔히 다이아몬드 글라이드 평면이라고 불린다.
- 이 얼굴의 격자 벡터의 반을 따라 a, b 또는 c 글라이드 번역
- 대각선 반면을 따라 글라이드 번역을 한다.
- d 대각선 또는 공간 대각선 면의 1/4을 따라 번역된 평면을 활공한다.
- e 동일한 글라이드 평면을 가진 2개의 글라이드와 반격 벡터 2개를 따라 번역한다.
참조
- ^ Sands, Donald E. (1993). "Crystal Systems and Geometry". Introduction to Crystallography. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. p. 54. ISBN 0-486-67839-3.
- ^ [1]
- ^ Zorky, Petr. "Семейства точечных групп". www.chem.msu.su. Archived from the original on 2012-04-15.
- ^ 베인슈테인, 보리스 K, 모던 크리스탈그래피 1: 크리스탈의 기초. Springer, Structural Crystalography의 대칭과 방법. 94, 93페이지.
- ^ 3차원의 점 그룹
- ^ 슈브니코프, A.V., 벨로프, N.V. 등, 컬러 대칭, 옥스포드: 페르가몬 프레스. 1964, 70페이지.
외부 링크
- 헤르만-마구인 표기법 해독 - 초보자를 위한 헤르만-마구인 표기법 소개.
