지리 좌표 변환

지리학에서, 다른 지리적 좌표계 간의 변환은 전 세계에서 그리고 시간에 걸쳐 사용 중인 다른 지리적 좌표계에 의해 필요하다. 좌표 변환은 지리적 좌표의 형식 변경, 좌표계의 변환 또는 다른 측지학적 기준점으로의 변환 등 다양한 변환 유형으로 구성된다. 지리 좌표 변환은 지도, 측량, 항법 및 지리 정보 시스템에 응용이 있다.

지리학에서 지리적 좌표 변환은 동일한 측지학적 기준점을 모두 참조하는 다른 좌표 형식 또는 지도 투영 사이의 변환으로 정의된다.^[1] 지리적 좌표 변환은 서로 다른 측지학적 기준점 사이의 변환이다. 지리적 좌표 변환과 변환 모두 이 글에서 고려될 것이다.

이 기사는 독자들이 지리적 좌표계와 측지학적 기준의 내용에 이미 익숙하다고 가정한다.

단위 및 형식 변경

비공식적으로, 지리적 위치를 지정하는 것은 일반적으로 위치의 위도와 경도를 제공하는 것을 의미한다. 위도와 경도에 대한 숫자 값은 다양한 단위 또는 형식으로 발생할 수 있다.^[2]

• 성역: 도, 분, 초: 40° 26° 46° N 79° 58° 56° W
• 도 및 십진분: 40° 26.76767 N 79° 58.933′ W
• 십진수 도: +40.446 -79.982

도로는 60분, 분으로는 60초가 있다. 따라서 도분 형식에서 십진법 형식으로 변환하려면 이 공식을 사용할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ c ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \text{l}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}e\mathrm{}}$ s = ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle s\frac{\mathrm{}}{}}$+ m ${\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{u}}{}}$ ${\displaystyle s\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{60}}{}}$+ s e ${\displaystyle \frac{\mathrm{o}}{}}$ e ${\displaystyle \frac{\mathrm{o}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3600}{}}${\$rm {{\\do}={\rm}+{\rm{분}}}}}{60}}}}}+{\rac{\rm{3600$

십진수 도 형식에서 도 분 형식으로 다시 변환하려면

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {degrees}}&=\lfloor {\rm {{decimal\ degrees}\rfloor }}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{decimal\ degrees}-{\rm {{degrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{decimal\ degrees}-{\rm {{degrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}}$

좌표계 변환

좌표계 변환은 두 좌표계가 동일한 측지점 기준점에 기초하여 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환하는 것이다. 일반적인 변환 작업으로는 측지 및 지구 중심, 지구 고정(ECEF) 좌표 간 변환, 지도 투영 유형 간 변환 등이 있다.

측지점에서 ECEF 좌표로

측지 좌표(위도 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \\pi$ $\},$ 경도 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda$ $\},$ 높이 $h{\displaystyle }$ ${\displaysty h$는 다음 방정식을 사용하여 ECEF 좌표로 변환할 수 있다.^[3]

$#\displaystyle {\begin}X&=\왼쪽(N(\phi )+h\오른쪽)\coses {\lambda }coses {\lambda }\\\\\\Y&=\좌(N(\phi )+h\오른쪽)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\\Z&=\좌({\frac {b^{2}}:{a^{2}}:N(\phi )+h\우)\sin {\\phi}}정렬}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}:{\sqrt {a^{2}\coses ^{2}\b^{2}}\sin ^{2}={\frac {a}{1-e^{2}\sin ^{2}pi}}}}}}}}}}}}}$

그리고 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$과 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은 각각 적도 반지름(최대 축)과 극 반지름(최대 축)이다$$. ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle b\frac{{}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{a\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\$는 타원체 최초의 수치 편심률의 제곱이다. 곡률 ${\displaystyle N}$ (${\displaystyle \varphi }$ ) ${\displaystyle \,N(\phi )}$의 초기 수직 반지름은 타원체 정규를 따라 표면에서 Z 축까지의 거리다$$.

특성.

다음 조건은 지리 좌표계와 같은 방법으로 경도에 대해 유지된다.

${\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }-{\frac {Y}{\sin \lambda }}}=0.}$

그리고 위도에 대한 다음은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }-{\frac {Z}{\sin \phi }}{\sin \phi }}{2}N(\phi )=0,}$

여기서 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle X\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$ p$={\sqrt {X^{2}+$$Y^{2$ 매개 $변수{\displaystyle }$ h ${\displaystyle$ h$}$을(를) 빼서 제거하므로$$

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \pi }}=N+h}$

그리고

${\displaystyle {\frac {Z}{\sin \pi }}={\frac {b^{2}}:{a^{2}}N+h.}$

게다가:

${\displaystyle \tan(\phi )=(Z/p)/(1-e^{2}N/(N+h)).}$

직교성

좌표의 직교도는 분화를 통해 확인된다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\begin{pmatrix}dX\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda&-\sin \phi\cos \lambda&\cos 및 \lambda, -\sin\sin \lambda 및 \phi\lambda \\\cos \cos \phi, \cos \phi\sin \lambda \\0&, \cos \phi&\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N.(\phi)+h\right)\cos\phi&0&, 0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}d\lambda \d\d\ph\end{pmatrix},\end{pmatrix}}}}$

어디에

${\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\오른쪽)}{\좌측(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \오른쪽)^{\frac {3}}}}}}}$

("타원형 위의 Meridian arc" 참조).

ECEF에서 측지 좌표로

ECEF 좌표를 경도로 변환하는 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle \lambda }$= ${\displaystyle \mathrm{atan2}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (Y}$, ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2}(Y,X$

여기서 atan2는 사분원-사분원-아크-탕트 함수다. 지구중심 경도와 측지경도는 동일한 값을 가지고 있다; 이것은 지구와 다른 유사한 형태의 행성들이 스핀 축 주위에 많은 양의 회전 대칭을 가지고 있기 때문에 사실이다. (일반화는 삼축 타원성 경도 참조)

위도와 높이에 대한 변환은 위도의 함수인 N을 포함하는 순환 관계를 포함한다.

${\displaystyle h={\frac {p}{\cos \phi }}-N,}$

${\displaystyle \phi =\arctan \left(Z/p)/(1-e^{2}N/(N+h)\right)).}$

예를 들어,^[4][5] 첫 번째 추측 h00부터 시작하여 N을 갱신하는 등 반복적으로 해결할 수 있다. 보다 정교한 방법은 다음과 같다. 그러나 이 절차는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$과(와) $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 10개⁶ 정도 떨어져 있기 때문에 작은 정확도에 민감하다.^[6][7]

뉴턴-래프슨 방식

다음의 Bowring의 비합리적인 측지-위도 방정식은^[8] 뉴턴-Raphson 반복법으로 해결하기에 효율적이다.^[9][10]

${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\\sqrt {p^{2}+\왼쪽(1-e^{2}\오른쪽)Z^{2}\카파 ^{2}}=0,}$

여기서$$ $\kappa {\displaystyle }$= ${\displaystyle p\frac{}{}}$ Z ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \varphi }$ϕ {\$displaystyle \cappa ={\frac {p}}\tan \pi }$ $및{\displaystyle }$p = ${\displaystyle \sqrt{{X\mathrm{}}^{}}}$2 + ${\displaystyle \sqrt{{Y\mathrm{}}^{}}}$ 2$${\$displaystyle p={\sqrt {X^{2}+}+$$Y^{2$}}: 이전과$$ 같이$.$ 높이는 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle {\begin}h&=e^{-2}\왼쪽(\kappa ^{-1}-{\1}-{0}^{0}}}\sqrt {p^{2}+Z^{2}}\카파 ^{2}},\\\카파 _{0}&=\왼쪽(1-e^{2}\오른쪽)^{-1}.\end{정렬}}}$

반복은 다음과 같은 계산으로 변환할 수 있다.

${\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\왼쪽(1-e^{2}\오른쪽)Z^{2}\kappa _{i}^{3}{c_{i}-p^{2}}:}=1+{\frac{p^{2}+\왼쪽(1-e^{2}\오른쪽)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}}}$

여기서 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$=${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{{p\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2{}^{}}^{}}{}}$+ (${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$1${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{{{e\mathrm{}}^{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{}}$) Z ${\displaystyle \frac{{{2\mathrm{}}^{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{{}^{}{}_{}^{}}^{}}{}}$ i ${\displaystyle \frac{{{}_{}^{}}^{}}{}}$) 3 ${\displaystyle \frac{a^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ .${\displaystyle c_{i}={\frac(p^{2}+\left(1-e^{2}\오른쪽)$$Z^{2}\kappa _{i}^{2}\오른쪽)^{\frac{3}{2}}:{ae^{2}}.$$}$

상수 ${\displaystyle \kappa {}_{}}$ ${\$은 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$0$${\$displaystyle h\$ 약$0$}일 때 반복에 대한 좋은 시작 값이다$.$ Bowring은 단일 반복이 충분히 정확한 솔루션을 생산한다는 것을 보여주었다. 그는 원래 제형에 여분의 삼각함수를 사용했다.

페라리 솔루션

위에서 도출한$$${\displaystyle \kappa }$의 사분위 방정식은 페라리의 양보 솔루션으로^[11][12] 해결할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\zeta&=\left(1-e^{2}\right){\frac{{2z^}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho&={\frac{1}{6}}\leftᆯ,\\[4pt]s&, ={\frac{e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&, ={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt{s(s+2)}}}},\\[4pt]u&,=\rho \leftᆱ,\\[4pt]v&^{\sqrt{u^{.2}+e^{4}\zeta}},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt{u+v+w^{2}}}}+w}{u+v}}.\end{정렬}}}$

페라리 솔루션 적용

주 교수에 따르면 여러 기술과 알고리즘이 이용 가능하지만 가장 정확한 것은 주 교수가 인용한 헤이크키넨에 의해 확립된 다음의 절차라고 한다.^[13][14] 측지학적 파라미터 {${\displaystyle a}$,${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle e}$}${\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}$이(가) 알려져 있다고$$ 가정한다.

${\displaystyle {\begin}p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}:{a^{2}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}}\\[3pt]G&=p^{2}+\왼쪽(1-e^{2}\오른쪽)Z^{2}-e^{2}\왼쪽(a^{2}-b^{2}\오른쪽)\\\[3pt]c&={\frac {e^{4]}}{{{G^{3}}\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{{c^{2}+2}}\[3pt]P&={\frac {F}{3\왼쪽(s+1+{\frac {1}{s}\오른쪽)^{2}G^{2}}\\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}+{1\sqrt{1}{1}:{2}}a^{1}{1}}}\좌측(1+{\frac {1}{Q}\오른쪽)-{\prac {P\좌측(1-e^{0}).Z^{2}}:{Q(1+Q)}-{\frac{1}{2}}Pr^{2}}\\[3pt]U&={\sqrt {\좌(p-e^{2}r_{0}\우)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\좌(p-e^{2}r_{0}\우)^{2}+\좌(1-e^{2}\우)Z^{2}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}\[3pt]h&=U\left(1-{\frac{b^{aV}\2}}:{aV}\오른쪽)\\[3pt]\pi &=\arctan \left[{\fract]{{2}z_{0}}}}}{p}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{arged}}}$

주: 아크탄2[Y, X]는 4 사분원 역 접선 함수다.

파워 시리즈

소형 e의² 경우 파워 시리즈

${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\reason _{i}e^{2i}}}$

로 시작하다.

${\displaystyle {\begin}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}={\frac {a}{\sqrt{2}+p^{2}}}}};\\\알파 _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt{Z^{2}+p^{2}}}}}+2a^{2}p^{2}}:{2\왼쪽(Z^{2}+p^{2}\오른쪽)^{2}}.\end{정렬}}}$

ENU 좌표 간 측지점

측지 좌표에서 국부 접선 평면(ENU) 좌표로 변환하는 것은 2단계 과정이다.

1. 측지 좌표를 ECEF 좌표로 변환
2. ECEF 좌표를 로컬 ENU 좌표로 변환

ECEF에서 ENU로

ECEF 좌표에서 로컬 좌표로 변환하려면 로컬 참조점이 필요하다. 일반적으로, 이곳은 레이더의 위치일 수 있다. If a radar is located at ${\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}$ and an aircraft at ${\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}$, then the vector pointing from the radar to the aircraft in the ENU frame is

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle 참고}$: ▼ ${\displaystyle \pi }$은 측지상 위도로서, 측지상 위도는 국부 접선 평면의 수직 방향을 나타내기에 적합하지 않으며, 필요한 경우 변환해야 한다.

ENU에서 ECEF로

이것은 단지 ECEF에서 ENU로의 변환의 역행일 뿐이다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}$

지도 투영에 걸친 변환

동일한 기준점에 대한 서로 다른 지도 투영 간에 좌표와 지도 위치의 변환은 한 투영에서 다른 투영으로 직접 변환 공식 또는 먼저 $투영{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에서 ECEF와 같은 중간 좌표계로 변환한 다음 ECEF에서 p로 변환함으로써 이루어질 수 있다.$로션{\displaystyle }$ B ${\displaystyle$ B$\}.$ 관련된 공식은 복잡할 수 있으며, 위의 ECEF에서 측지 변환과 같은 경우에, 변환은 폐쇄 형태 솔루션이 없으며 대략적인 방법을 사용해야 한다. DMA 기술 매뉴얼 8358.1과^[15] USGS 종이 지도 투영: 작업 설명서에는^[16] 지도 투영의 변환 공식이 포함되어 있다. DoD, NGA가 지원하는 GEOTRANS 프로그램과 같이 컴퓨터 프로그램을 사용하여 좌표 변환 작업을 수행하는 것이 일반적이다.^[17]

기준 변환

기준점 간의 변환은 여러 가지 방법으로 이루어질 수 있다. 측지 좌표를 기준점에서 다른 기준점으로 직접 변환하는 변환이 있다. 측지 좌표에서 ECEF 좌표로 변환하고, 한 기준점에서 다른 기준점으로 ECEF 좌표를 변환한 다음, 새 기준점의 ECEF 좌표를 측지 좌표로 다시 변환하는 간접 변환이 더 많다. 한 쌍(데이터텀, 맵 투영)에서 다른 쌍(데이터텀, 맵 투영) 쌍으로 직접 변환하는 그리드 기반 변환도 있다.

헬머트 변환

기준점 $A{\displaystyle }${\displaystyle A}의 측지 $좌표$에서 $기준점$ B$${\$displaystyle B}$의 측지 좌표로 변환할 때 Helmert 변환을 사용하는 것은$$ 3단계 프로세스의 맥락에서 이루어진다.^[18]

1. 측지 좌표에서 기준점 $A$의 ECEF 좌표로 변환 ${\displaystyle A}$
2. 적절한 ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle A\to B}$ 변환$$ 매개 변수를 사용하여 Helmert 변환을 적용하여 기준점 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ECEF$$ 좌표를 기준점 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ECEF$$ 좌표로 변환
3. 기준 $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle B}$에 대한 ECEF 좌표를 측지 좌표로 변환

ECEF XYZ 벡터 측면에서 헬머트 변환은 형태를 가지고^[18] 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.}$

The Helmert transform is a seven-parameter transform with three translation (shift) parameters ${\displaystyle c_{x},\,c_{y},\,c_{z}}$, three rotation parameters ${\displaystyle r_{x},\,r_{y},\,r_{z}}$ and one scaling (dilation) parameter ${\displaystyle s}$. 헬머트 변환은 ECEF 벡터의 크기에 비해 변환 파라미터가 작을 때 정확한 대략적인 방법이다. 이러한 조건에서 변환은 되돌릴 수 있는 것으로 간주된다.^[19]

각 파라미터에 대해 선형 시간 의존성을 갖는 14-모수 Helmert 변환을 사용하여 대륙 이동 및 지진과 같은 지오동형 프로세스로의 지리 좌표 색조의 시간 진화를 포착할 수 있다.^{[19]: 131-133 [20][21]} 이것은 미국 NGS의 수평적 시간 의존적 위치설정(HTDP) 도구와 같은 소프트웨어에 통합되었다.^[22]

몰로덴스키-바데카스 변환

헬머트 변환의 회전과 변환 사이의 결합을 없애기 위해, 변환되는 좌표에 더 가까운 새로운 XYZ 회전 중심을 제공하기 위해 3개의 추가 파라미터를 도입할 수 있다. 이 10개 변수 모델을 몰로덴스키-바데카스 변환이라고 하며 보다 기본적인 몰로덴스키 변환과 혼동해서는 안 된다.[19]:133-134

헬머트 변환과 마찬가지로 몰로덴스키-바데카스 변환을 사용하는 것은 3단계 과정이다.

1. 측지 좌표에서 기준점 $A$의 ECEF 좌표로 변환 ${\displaystyle A}$
2. $기준점{\displaystyle }$A {\$displaystyle$ A} ECEF$$ 좌표를 기준점 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $B$$}$ ECEF$$ 좌표로 변환하려면 적절한 A → ${\$displaystyle $A$$}$ $변환$ 매개변수를 $사용$하여 Molodensky-Badekas 변환을 적용하십시오.
3. 기준 $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle B}$에 대한 ECEF 좌표를 측지 좌표로 변환

변형에는^[23] 형태가 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.}$

여기서$({\displaystyle X{}_{}^{}}$ ${\displaystyle A_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle A_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle Z{}_{}^{}}$ A ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\$$A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)$는 회전 및 스케일링 변환의 원점이고 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ S ${\displaystyle \Delta$ S$}$는 스케일링$$ 계수다.

Molodensky-Badekas 변환은 국소 측지 측지 기준점을 WGS 84와 같은 지구 측지 기준점으로 변환하는데 사용된다. Helmert 변환과는 달리, Molodensky-Badekas 변환은 원래 기준점과 연관된 회전 원점 때문에 되돌릴 수 없다.^{[19]: 134}

몰로덴스키 변환

몰로덴스키 변환은 지리중심 좌표(ECEF)로 변환하는 중간 단계 없이 서로 다른 기준점의 측지 좌표계 간에 직접 변환한다.^[24] 기준점 중심 간의 3교대 및 기준 타원형 반주축과 평탄화 매개변수 간의 차이를 요구한다.

Molodensky 변환은 NGA(National Geospatial Intelligence Agency)가 표준 TR8350.2에서 사용하고 NGA는 GEOTRANS 프로그램을 지원한다.^[25] 몰로덴스키 방법은 현대 컴퓨터가 등장하기 전에 인기가 있었고 이 방법은 많은 측지 프로그램의 일부분이다.

그리드 기반 방법

그리드 기반 변환은 지도 좌표를 한 쌍(지도-투영, 측지 기준)에서 다른 쌍(지도-투영, 측지 기준)의 지도 좌표로 직접 변환한다. 예를 들어 북미 기준점(NAD) 1927에서 NAD 1983 기준점으로 변환하기 위한 NADCON 방법이 있다.^[26] NADCON 변환의 높은 정확도 버전인 HARN(High Accuracy Reference Network)은 정확도가 약 5cm이다. NTv2(National Transformation version 2)는 NAD 1927과 NAD 1983 사이의 변환을 위한 캐나다 버전 NADCON이다. HARN은 NAD 83/91 및 HPGN(High Precision Grid Networks, HPGN)으로도 알려져 있으며,^[27] 이후 호주와 뉴질랜드는 NTv2 형식을 채택하여 자체 지역 기준점 사이에서 그리드 기반 변환 방법을 만들었다.

다중 회귀 방정식 변환과 마찬가지로 그리드 기반 방법은 지도 좌표를 변환하는 데 저차 보간법을 사용하지만 3차원이 아닌 2차원이 사용된다. NOAA는 NADCON 변환 수행을 위한 소프트웨어 도구(NGS Geodetic Toolkit의 일부로)를 제공한다.^[28][29]

다중 회귀 방정식

경험적 다중 회귀법을 사용한 기준 변환은 표준 몰로덴스키 변환보다 작은 지리적 영역에 걸쳐 더 높은 정확도 결과를 얻기 위해 만들어졌다. MRE 변환은 대륙 크기 또는 작은 지역에 걸쳐 지역 기준점을 WGS 84와 같은 글로벌 기준점으로 변환하는 데 사용된다.^[30] 표준 NIMA TM 8350.2,^[31] 부록 D에는 여러 로컬 기준점에서 WGS 84로 MRE 변환이 나열되어 있으며 정확도는 약 2m이다.^[32]

MRE는 중간 ECEF 단계가 없는 측지 좌표의 직접적인 변환이다. Geodetic coordinates ${\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}}$ in the new datum ${\displaystyle B}$ are modeled as polynomials of up to the ninth degree in the geodetic coordinates ${\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}}$ of the original datum ${\displaystyle A}$${\displaystyle A$ ${\displaystyle {예}_{}}$를 들어 instance B ${\$의 변경은 (최대 2차 항만 표시됨)^{[30]: 9} 로 매개 변수화할 수 있다$$.

${\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots }$

어디에

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle a_{i}}$ 다중 회귀 분석에서 적합된 매개$$ 변수

${\displaystyle {\reasoned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m}\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m}\\end{arged}}}}}$

${\displaystyle K}$, ${\displaystyle$ K$,}$척도$$ 인자

${\displaystyle {datm}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\lambda m}_{}}$, ${\displaystyle \phi _{m}\,\lambda _{m}}}$ 기준점의$$ 기원 $A{\displaystyle }$. ${\displaystyle A.$$}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$ $\$ {\$displaystyle \Delta \lambda$$$} $및{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$h {\$displaystyle \Delta$h}에 대한 유사한 방정식$.$ 양호한 통계를 위해 양쪽 기준점 내 랜드마크에 대한 충분한 수의$A, B)$를 주어진 경우, 이러한 다항식의 매개변수를 맞추기 위해 여러 회귀 방법을 사용한다. 다항식은 적합 계수와 함께 다중 회귀 방정식을 형성한다.

참고 항목

• 가우스-크뤼거 좌표계
• 지도 투영 목록
• 공간 참조 시스템
• 위상좌표계
• 유니버설 폴라 스테레오 좌표계
• 범용 횡단 메르카토르 좌표계

참조