일반화 구조 텐서

이미지 분석에서 일반화 구조 텐서(GST)는 데카르트 구조 텐서를 곡선 ^[1]좌표로 확장한 것이다.데카르트 구조 텐서가 데카르트 좌표로 방향을 검출하고 나타내는 것처럼 곡선의 "방향" 매개변수를 검출하고 나타내는 데 주로 사용됩니다.로컬 직교 함수 쌍에 의해 생성된 곡선 패밀리가 가장 잘 연구되었습니다.

지문에 ^[2]의한 생체 인식, 인체 조직 부분 ^[3]연구 등 컴퓨터 비전을 포함한 영상 및 비디오 처리 분야에서 널리 알려진 방법입니다.^[4]

2D 및 국소 직교 베이스의 GST

image라는 용어는 $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ f ( $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ ( $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ , $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ ) , $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ , $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ ) $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ , { $displaystyle$ f $( x , y$ ) $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ } , { $displaystyle$ f $( x$ , y $x,y$ $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ ) } 。 $\xi ,\eta$ , $y$ 는 실수 변수이고, $\xi ,\eta$ $、$ { $displaystyle \xi$ , \ $eta$ $f(\xi (x,y),\eta (x,y))$ $\xi ,\eta$ $및$ f { $displaystyle$ f $f$ 는 실수 함수입니다.GST는 $이미지$ f {\ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 다음 조건을 충족하는 "라인"을 따라 최소(총 최소 제곱) 오차로 극소 변환을 수행할 수 있는 방향을 나타냅니다.

1. "선"은 곡선 좌표 기준 $\xi ,\eta$ , ${\,$ \ $displaystyle \xi,$ \ $eta$ 의 보통선이다 $.$

\displaystyle \cos(\theta)\xi(x,y)+\sin(\theta)\eta(x,y)=text{text}}

위의 방정식으로 설명된 대로 데카르트 좌표의 곡선입니다.오류는 $({$ L $^{2})$ 의 $L^{2}$ $L^{2}$ 로 측정되며, 오류의 최소성은 L2 규범을 나타냅니다.

(2) 함수 $\xi (x,y),\eta (x,y)$ ( $\xi (x,y),\eta (x,y)$ x , $\xi (x,y),\eta (x,y)$ ) , $\xi (x,y),\eta (x,y)$ ( $\xi (x,y),\eta (x,y)$ , $\xi (x,y),\eta (x,y)$ $){$ $displaystyle \xi ( x$ , $y$ )\ $eta ( x$ , $y$ )}는 $\xi (x,y),\eta (x,y)$ 조화쌍을 구성하며, 즉 코시-리만 방정식을 만족시킨다.

{\displaystyle}&{\frac {\frac x}=-{\frac {\frac \xi}{\frac y},\[4pt]&{\frac {\frac \xi}{\frac y}=frac {\frac \eta }{\frac x}{\frac x}{\frac x}{\frac}}{\frac}}{\frac}{\f}}}}}{\frac}{\frac}{\frac}}}}}}\end { aligned}}

따라서 이러한 $(\displaystyle\xi,\eta)$ 는 $\xi ,\eta$ 국소적으로 직교한다.

다음으로 GST는 다음과 같이 구성됩니다.

(\displaystyle GST=(\lambda _{max}-\lambda _{min})\int w(\xi,\eta})\left[\frac {\frac {\frac f}{\frac f}{\frac f}{\frac f}{\f}}{\endarray}\fc}\frac}{\f}\lac}{\f}\lambda}{\lambd}{\f}{\lambd}\lamb나

$0\leq \lambda _{min}\leq \lambda _{max}$ 서 0 $0\leq \lambda _{min}\leq \lambda _{max}$ $0\leq \lambda _{min}\leq \lambda _{max}$ $0\leq \lambda _{min}\leq \lambda _{max}$ n $0\leq \lambda _{min}\leq \lambda _{max}$ x ${\$ 0 $\leq \leq da$ _ ${min}\leq \leq da _{$ max}}는 $0\leq \lambda _{min}\leq \lambda _{max}$ 최적의 방향(\ $displaystyle \theta$ 및 최악의 방향 $display$ style \ $ta$ } $\theta +\pi /2$ + $\theta +\pi /2$ 로 지정)으로의 변환 오류입니다. $w(\xi ,\eta )$ ( $w(\xi ,\eta )$ , $w(\xi ,\eta )$ ) $w(\xi ,\eta )$ { $displaystyle$ w ( \ $xi$ , \ $eta$ ) } ${\$ {\ {\ {\ {\ 、 \ $displaystyle$ w ( $\theta$ \xi $\theta$ , \ $eta$ )의 $w(\xi ,\eta )$ 검출이 실행되는 "외부 스케일"을 정의하는 윈도우 기능으로, f{ $displaystyle$ f}에 $f$ $이미$ 포함되어 있거나f {\ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ (로컬이 아닌 전체 이미지일 $경우$ 생략할 수 있습니다. $매트릭스 I$ 은 $I$ 아이덴티티 매트릭스입니다.연쇄규칙을 이용하여 $g(z)$ g $z$ 의 실수부분과 허수부분을 $\xi ,\eta$ , $\xi ,\eta$ \ $displaystyle$ \ $xi$ ,\ $eta }$ 가 $\xi ,\eta$ 쌍으로 할 때, 상기의 적분이 일반 구조텐서에 적용되는 데카르트 좌표의 곡선으로 구현될 수 있음을 알 수 있다.

{array}{c}\xi(x,y)=\Re g(z)\eta(x,y)=\Im g(z)\end {array}

$z=x+iy$ 서 z $z=x+iy$ + $z=x+iy$ { $style$ z $=x+iy$ ^[5] 분석 함수의 예로는 $g(z)=\log z=\log(x+iy)$ g ( $g(z)=z^{n}=(x+iy)^{n}$ $=$ $g(z)=\log z=\log(x+iy)$ z = $log$ $g(z)=\log z=\log(x+iy)$ + $g(z)=z^{n}=(x+iy)^{n}$ $）$ 、 displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay $=$ $g(z)=z^{n}=(x+iy)^{n}$ $g(z)=z^{n}=(x+iy)^{n}$ $g(z)=z^{n}=(x+iy)^{n}$ （ $g(z)=z^{n}=(x+iy)^{n}$ $x$ + $g(z)=z^{n}=(x+iy)^{n}$ ） $style$ $g$ ( x + iy )가 있습니다. ${n$ , $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ ( $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ z ) $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ / $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ ( $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ + $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ ) $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ n / $g(z)=z^{n/2}=(x+iy)^{n/2}$ { { $displaystyle$ g ( z ) = $z ^{n$ / $2}$ = (x + iy $)$ 서 $n$ {\ $displaystyle$ n $}$ 은 $n$ 임의의 양의 정수 또는 음의 정수입니다. $g(z)=z^{n}$ g ( $g(z)=z^{n}$ ) $=$ $g(z)=z^{n}$ n {\ $displaystyle$ g $(z$ )= $z^{n}}$ 은 $g(z)=z^{n}$ 컴퓨터 비전 및 이미지 처리에서 고조파 함수라고도 합니다.

따라서 데카르트 구조 텐서는 GST의 특수한 경우이며, 여기서 $\eta =y$ $\xi =x$ \ $displaystyle \xi$ $\xi =x$ $=x$ $,$ $\eta =y$ $\eta =y$ $g(z)=z=(x+iy)$ 고조파 함수는 단순히 $g(z)=z=(x+iy)$ g ( $g(z)=z=(x+iy)$ $g(z)=z=(x+iy)$ $g(z)=z=(x+iy)$ $g(z)=z=(x+iy)$ ( $g(z)=z=(x+iy)$ $g(z)=z=(x+iy)$ $g(z)=z=(x+iy)$ { $displaystyle$ g $(z$ ) = $g(z)=z=(x+iy)$ z $(x+i$ 이다.따라서 고조파 $함수$ g $displaystyle$ g를 선택하면 $\xi ,\eta$ ${\,$ {\ \ $displaystyle \xi$ , \eta $\xi ,\eta$ $}$ 이(가) 아닌 경우에도 (직사각형) 이미지 그리드 상에서만 실제 부분과 가상 부분의 선형 조합인 곡선을 모두 검출할 수 있습니다.또한 구조 텐서의 복소판에 적용되는 복잡한 필터를 사용하여 컨볼루션 연산을 할 수 있다.따라서, GST 구현은 (1,1) 텐서를 사용하는 대신 구조 텐서의 복잡한 버전을 사용하여 자주 수행되었습니다.

GST의 복잡한 버전

일반 [구조 텐서]의 복잡한 버전이 있으므로, GST의 복잡한 버전도 있습니다.

{displaystyle _{c}\kappa _{20}=(\displayda _{1}-\displayda _{2})\exp(i2\theta)&=\w*(h*f)^2}\kappa _{11}=\displaystystyda _{1}+\kappa _{{{2}&w*{{f}\d}\da _{f}\xp

이 필터는 사촌과동일하지만 $w$ w $\displaystyle$ w는 $복잡한$ 필터입니다.통상 구조 $텐서$ w $\displaystyle$ w는 $w$ 실제 필터이며, 일반적으로 외부 척도라고도 하는 근방을 묘사하기 위해 샘플링 및 스케일링된 가우스에서 정의됩니다.이러한 단순성이 GST 구현에서 주로 위의 복잡한 버전을 사용하는 이유입니다. $해석함수$ g $\displaystyle$ g $g$ displaystyle에 의해 정의된 $\xi ,\eta$ $\xi ,\eta$ ${\$ { $displaystyle$ \ $xi$ , \ $eta$ }의 $\xi ,\eta$ 경우, 근린 정의 함수가 복합적으로 평가되고 있음을 알 수 있다.

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

(

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

x ±

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

)

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

exp

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

(

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

- (

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

+

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

/ (

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

2 )

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

exp

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

( -

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

(

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

+

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

) /

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

(

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

2)

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

{

display style

w = (

x

\

pm

i )^ n

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

} \ exp (

x

{

2

+ y

w=(x\pm iy)^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))\propto (D_{x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))

^ {

2

} / { 2

}

)

이른바 가우스 대칭 도함수따라서, 찾는 패턴의 방향별 변화는 근린 정의 함수에 직접 통합되고, 검출은 (일반) 구조 텐서의 공간에서 발생한다.

이미지 처리 및 컴퓨터 비전에 사용하기 위한 기본 개념

${\$ $\xi$ \ $display$ $\theta$ style \ $theta }$ {\ \ display $style$ \ $\xi$ $、$ $style$ \ display $style$ \ eta $\theta$ $\eta$ 쌍의 화상처리를 통해 효율적인 검출이 가능합니다.복잡한 컨볼루션(또는 대응하는 매트릭스 연산)과 점 $\theta$ 비선형 매핑은 GST 구현의 기본 연산 요소입니다.다음으로 $({displaystyle$ 2 $\theta})$ 의 $2\theta$ 총 최소 제곱 오차 추정치를 $\lambda _{max}$ ( $x\$ displaystyle $\lambda$ _ ${max})$ 및 $\lambda _{max}$ $\lambda _{min}$ n $(\$ _ ${min$ 과 함께 구한다. 추정 각도는 데카르트 구조 텐서와 마찬가지로 이중 각도 표현이다. $2\theta$ ${\$ { $display style$ 2 \ $theta }$ 는 $2\theta$ 연산에 의해 전달되며 형상 피쳐로 사용할 수 있습니다. 반면 $\lambda _{max}-\lambda _{min}$ $\lambda _{max}-\lambda _{min}$ $\lambda _{max}-\lambda _{min}$ x - $\lambda _{max}-\lambda _{min}$ $\lambda _{max}+\lambda _{min}$ $\lambda _{max}-\lambda _{min}$ _ { $display$ style \ $display$ style \ $displayda$ _ { $max$ } - \ $displayda$ $_$ { max $\lambda _{max}+\lambda _{min}$ } + $\lambda _{max}+\lambda _{min}$ $\lambda _{max}+\lambda _{min}$ _ $\lambda _{max}-\lambda _{min}$ { $display$ da _ min } } $aloneination$ inationinationinationinationination ( (inationinationinationination ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( （ \ display sty ）） ( ( ( ( (각도 추정을 용이하게 합니다.

예를 들어 원을 포함한 로그 나선형은 (복잡한) 곡선과 비선형 ^[1]매핑을 통해 탐지될 수 있습니다.Spiral(나선형)은 회색(값) 영상 또는 이진 영상일 수 있습니다. 즉, 원 또는 Spiral(나선형) 윤곽선과 같은 해당 패턴의 가장자리 요소의 위치를 알거나 달리 표시해서는 안 됩니다.

일반화된 구조 텐서는 예를 들어 접합점 등 국소적인 방향을 모델링할 수 있는 패턴을 검출하기 위해 화상 처리 및 컴퓨터 비전에서의 Hough 변환의 대안으로 사용할 수 있다.주요 차이점은 다음과 같습니다.

부정 투표는 물론 복잡한 투표도 허용된다.
하나의 템플릿을 사용하여 동일한 패밀리에 속하는 여러 패턴을 검출할 수 있습니다.
이미지 2치화는 필요하지 않습니다.

물리적 및 수학적 해석

GST의 곡선 좌표는 이미지에 적용되는 물리적 과정을 설명할 수 있습니다.잘 알려진 프로세스 쌍은 회전과 줌으로 구성됩니다.이들은 $\xi =\log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ $\xi =\log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ log $\xi =\log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ ( $\xi =\log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ 2 + $\xi =\log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ 2 ){ $displaystyle$ \xi = \ $logs$ $\logrt {x^{2}+y^{$ 2}}}} $\eta =\tan ^{-1}(x,y)$ = $\eta =\tan ^{-1}(x,y)$ - 1 $\eta =\tan ^{-1}(x,y)$ ( x $\eta =\tan ^{-1}(x,y)$ , $\eta =\tan ^{-1}(x,y)$ y ){ $display style$ \eta = \ $tan$ ^ { - $1 }$ ( x , y ) $\eta =\tan ^{-1}(x,y)$ ( $\eta =\tan ^{-1}(x,y)$ , y )와 관련이 $\xi =\log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ 있습니다.

$이미지$ f {\ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ \xi$로만 설명할 수 있는 iso-curves로 구성된 경우, 즉,그 등각선은 원 f $f(\xi ,\eta )=g(\xi )$ $f(\xi ,\eta )=g(\xi )$ $f(\xi ,\eta )=g(\xi )$ $=$ $)$ $displaystyle$ f $(\xi,\eta$ )= $g(\xi$ 로 구성됩니다. $g$ 서g { $displaystyle$ g $}$ 는 $g$ 1D에서 정의된 실제 가치 있는 미분 함수이며 이미지는 ( $f(\xi ,\eta )=g(\xi )$ 주위의) 회전과 불변합니다.

줌(줌 해제) 동작도 마찬가지로 모델링됩니다.이미지에 "별" 또는 자전거 스포크처럼 보이는 Iso-display가 있는 $g$ $f$ 경우( $f(\xi ,\eta )=g(\eta )$ : $f(\xi ,\eta )=g(\eta )$ ( $f(\xi ,\eta )=g(\eta )$ , $f(\xi ,\eta )=g(\eta )$ ) $f(\xi ,\eta )=g(\eta )$ ( $f(\xi ,\eta )=g(\eta )$ ) { $displaystyle$ f( \ $xi$ , \ $eta$ ) $= g$ ( \ $eta )$ ） r $f(\xi ,\eta )=g(\eta )$ ther 、 t rr the rr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr therrrrtrrr。 1Displaystyle f ( \ $displaystyle$ $f$ ( \ $display$

조합해서

$(\displaystyle f(\xi,\eta)=g(\cos(\theta)\logs\logrt {x^{2}+y^{2}})+\sin(\theta)\tan^{-1}(x,y)}})$

는 스케일링과 조합된 특정 회전량에 따라 변하지 않으며, 여기서 파라미터 ${\$ {\ $displaystyle \theta$ $\theta$ 에 의해 값이 사전 지정됩니다.

마찬가지로 데카르트 구조 텐서도 번역의 표현이다.여기서 물리적인 과정은 x $\displaystyle$ x $\$ $x$ y $y$ \displaystyle의 일반적인 번역과 결합되어 있습니다.

\displaystyle \cos(\theta)x+\sin(\theta)y=text{text}}

여기서 금액은 파라미터 $"\displaystyle \theta$ 로 지정됩니다.여기서 $"\displaystyle \theta"$ 는 $\theta$ 회선의 방향을 나타냅니다.

일반적으로 $\theta$ ${\({displaystyle \theta})$ 는 극소 변환이 이미지를 불변하게 하는 방향 $({displaystyle \xi,\eta}$ 좌표 $\xi ,\eta$ )을 나타냅니다 $\theta$ (실제로는 최소 변형).따라서 모든 곡선 좌표 기저 쌍에 대해, 선형 조합이 미분 연산자인 한 쌍의 극소 변환자가 있습니다.후자는 리 대수와 관련이 있다.

여러가지 종류의

GST의 콘텍스트에서의 「이미지」는, 콘텍스트에 따라, 통상의 화상 및 그 화상 근방(로컬 화상)을 모두 의미할 수 있다.예를 들어, 사진은 그 주변의 어느 곳과 마찬가지로 이미지입니다.

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레퍼런스

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목차

2D 및 국소 직교 베이스의 GST

GST의 복잡한 버전

이미지 처리 및 컴퓨터 비전에 사용하기 위한 기본 개념

물리적 및 수학적 해석

여러가지 종류의

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