특성 부분군

Characteristic subgroup

수학에서, 특히 집단 이론으로 알려진 추상 대수학의 영역에서, 특징적인 부분군은 모그룹의 모든 자동화에 의해 스스로 매핑되는 부분군이다.[1][2]모든 결합 지도가 내부 자동형이기 때문에 모든 특성 부분군은 정상이다. 역은 보장되지 않는다.특성 부분군의 예로는 정류자 부분군과 그룹의 중심이 있다.

정의

그룹 G의 부분군 H는 G의 모든 자동화 φ에 대해 φ(H) ≤ H를 가지고 있다면 특성 부분군이라고 부른다.

φ−1(H) ≤ H는 역포함 H ≤(H)를 의미하기 때문에 G의 모든 자동화 ism에 대해 더 강한 조건 φ(H) = H를 요구하는 것과 동등할 것이다.

기본 속성

H char G가 주어지면 G의 모든 자동형성은 지수군 G/H의 자동형을 유도하여 동형성 Aut(G) → Aut(G/H)를 산출한다.

G가 주어진 지수의 고유한 부분군 H를 가지고 있다면, H는 G에서 특징적이다.

관련개념

정규 부분군

주요 기사:정규 부분군

모든 내부 자동화에 따라 불변하는 H의 부분군을 정상이라고 한다. 또한 불변 부분군이라고도 한다.

∀φ ∈ Inn(G)： φ[H] ≤ H

Inn(G) ⊆ Aut(G)와 특성 부분군은 모든 자동화 하에서 불변하므로 모든 특성 부분군은 정상이다.그러나 모든 정상 부분군이 특징이 있는 것은 아니다.여기 몇 가지 예가 있다.

  • H를 비경쟁집단으로 하고, G를 직접생산인 H × H. 그러면 하위집합인 {1} × H와 H × {1}은(는) 모두 정상이지만 둘 다 특성이 없다.특히 이 두 가지 요인을 전환하는 자동형성(x, y)→(y, x)하에서는 이 두 부분군 모두 불변성이 없다.
  • 구체적인 예를 들면, V를 클라인 4그룹(직접 제품인2 , × ×에2 이형체)으로 한다.이 집단은 아벨이기 때문에 모든 부분군은 정상이지만, 3개 비식별 요소의 순열은 모두 V의 자동형이기 때문에 순서 2의 3개 부분군은 특징이 없다.여기서 V = {e, a, b, ab}. H = {e, a}을(를) 고려하고 자동형성, T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab를 고려한다. 그러면 T(H)는 H에 포함되지 않는다.
  • 순서 8의 쿼터니온 그룹에서, 순서 4의 주기적 부분군은 각각 정상이지만, 이들 중 어느 것도 특색이 없다.그러나 순서 2의 유일한 부분군인 {1, -1}이(가) 특성이다.
  • n이 짝수일 경우 순서 2n의 이음부 그룹은 지수 2의 3개 부분군을 가지며, 모두 정상이다.그 중 하나가 주기적인 부분군인데, 이것이 특징이다.다른 두 부분군은 분면형이다; 이것들은 상위 그룹의 외부 자동형성에 의해 순열되므로, 따라서 특성이 없다.

엄격히 특성화된 부분군

엄격히 특징적인 부분군 또는 구별되는 부분군이며, 이는 굴절성 내형성 하에서는 불변이다.유한집단의 경우, 내분모형의 굴절성은 주입성을 내포하므로, 내분모형성은 자동모형이다. 따라서 엄격히 특성화하는 것은 특성과 동등하다.무한대의 집단은 더 이상 그렇지 않다.

완전 특성 부분군

훨씬 더 강한 제약조건의 경우, 그룹 G의 완전 특성 부분군(역시 완전 불변 부분군; cf. 불변 부분군), H는 G의 모든 내형성 하에서 불변성으로 남아 있는 그룹이다. 즉,

∀φ ∈ End(G)： φ[H] ≤ H.

모든 집단은 그들 자신(부적절한 부분군)과 사소한 부분군을 완전한 특징적인 두 개의 하위집단으로 가지고 있다.그룹의 정류자 하위 그룹은 항상 완전 특성 하위 그룹이다.[3][4]

G의 모든 내형성은 G/H의 내형성을 유도하여 지도 End(G) → End(G/H)를 산출한다.

구어 부분군

더욱 강력한 제약조건은 언어적 부분군인데, 이것은 동형상 아래 있는 자유 집단의 완전히 불변적인 부분군의 이미지다.좀 더 일반적으로, 어떤 언어 부분군도 항상 완전하게 특징지어진다.감소된 자유 그룹, 특히 자유 그룹의 경우, 역은 또한 유지된다: 모든 완전 특징적인 하위 그룹은 언어적이다.

트란시즘

특성 또는 완전한 특성의 속성은 전이적이다. H가 K의 (완전) 특성 부분군이고 K가 G의 (완전) 특성 부분군이라면 H는 G의 (완전) 특성 부분군이다.

H char K char G ⇒ H char G.

더욱이 정규성은 타동성은 아니지만, 정상 부분군의 모든 특성 부분군이 정상인 것은 사실이다.

H char K ⊲ G ⇒ H ⊲ G.

마찬가지로 엄밀한 특성(구체화)이 전이되는 것은 아니지만, 엄밀한 특성 부분군의 모든 완전 특성 부분군이 엄밀하게 특성화된 것은 사실이다.

그러나 정규성과 달리 H char G와 K가 H를 포함하는 G의 부분군이라면, 일반적으로 H가 K에서 반드시 특징적인 것은 아니다.

H char G, H < K < G > H char K

밀폐합물

완전한 특성을 가진 모든 부분군은 확실히 특징과 특성이 있다. 그러나 특성 또는 심지어 엄격하게 특징지어지는 부분군은 완전하게 특징지어질 필요가 없다.

집단의 중심은 항상 엄밀하게 특징지어지는 부분군이지만 항상 완전하게 특징지어지는 것은 아니다.예를 들어, 순서 12의 유한집단인 Sym(3) × ℤ/2ℤ은 중심인 1 × ℤ/y2ℤ를 Sym(3) × × × 1의 하위그룹으로 가져가는 동형성을 가지고 있는데, 이는 정체성 안에서만 중심을 충족한다.

이러한 부분군 특성 간의 관계는 다음과 같이 표현할 수 있다.

부분군 ⇐ 정상 부분군 ⇐ 특성 부분군 ⇐ 엄격히 특징적인 부분군 ⇐ 완전 특성 부분군 ⇐ 구두 부분군

예

유한예

그룹 G = S3 × ℤ2 (주문 6의 대칭 그룹과 순서 2의 주기적 그룹의 직접적인 산물인 순서 12의 그룹)을 고려한다.G의 중심은 그것의 두 번째 인자 Ⅱ에2 이형성이다.첫 번째 요인 S는 표시된3 부분군에 대한 ℤ에2 대한 이형 부분군을 포함한다는 점에 유의하십시오(예: {e, (12)}). f: ℤ2 → S를3 지정된 부분군에 대한 형태론2 매핑으로 한다.그런 다음 두 번째 인자 Ⅱ에2 대한 G의 투영 구성 f에 이어 그 첫 번째 인자로 G에 S를3 포함시키는 것은 중심인 Ⅱ의2 이미지가 중심부에 포함되지 않는 G의 내형성을 제공하므로 여기서 중심은 G의 완전한 특성 부분군이 아니다.

순환군

순환 그룹의 모든 부분군이 특징이다.

부분군 펑커

그룹의 파생 부분군(또는 정류자 부분군)은 언어 부분군이다.아벨 그룹의 비틀림 부분군은 완전히 불변하는 부분군이다.

위상군

위상학 그룹의 정체성 요소는 항상 특성 부분군이다.

참고 항목

참조

  1. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
  2. ^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
  3. ^ Scott, W.R. (1987). Group Theory. Dover. pp. 45–46. ISBN 0-486-65377-3.
  4. ^ Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004). Combinatorial Group Theory. Dover. pp. 74–85. ISBN 0-486-43830-9.