포일법

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중등학교에서, FLOLL은 두 개의^[1] 이항체를 곱하는 표준 방법의 니모닉이다. 즉, 이 방법을 FLOLL 방법이라고 할 수 있다.FLOLL이라는 단어는 제품의 네 가지 용어의 약어다.

• 첫 번째("각 이항 분포의 첫 번째" 항을 함께 곱함)
• 외부("외부" 항을 곱함—즉, 첫 번째 이항 분포의 첫 번째 항과 두 번째 항)
• 내부("내부" 항을 곱함—첫 번째 이항 및 두 번째 기간의 두 번째 항)
• 각 이항 분포의 마지막("마지막" 항을 곱함)

일반적인 형태는

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}+\underbrace {ad} _{\text{first}+\underbrace {bc} _{bd} _\text{last}.}$

a는 "첫" 용어와 "외부" 용어 둘 다이며, b는 "마지막" 및 "내부" 용어 등이라는 점에 유의한다.합계에서 4개의 용어의 순서는 중요하지 않으며 FLOLL이라는 단어의 문자 순서와 일치할 필요가 없다.

역사

FLOME 방법은 분포 법칙을 이용하여 대수적 표현을 곱하기 위한 보다 일반적인 방법의 특수한 경우다.FLOLL이라는 단어는 원래 대수를 배우는 고등학생들을 위한 니모닉으로 의도되었다.이 용어는 윌리엄 베츠의 1929년 본문 '오늘을 위한 대수학'에 나타나는데, 여기서 그는 다음과 같이 말한다.^[2]

…첫번째 용어, 바깥쪽 용어, 안쪽 용어, 마지막 용어. (위에서 언급된 규칙은 첫째, 바깥쪽, 안쪽, 마지막 단어의 첫 글자로 제안된 FLOLL이라는 단어로도 기억될 수 있다.)

윌리엄 베츠는 당시 미국에서 수학 개혁 운동에 적극적이었고, 초등 수학 주제에 관한 많은 글을 썼으며, "수학 교육의 향상에 인생을 바쳤다"^[3]고 했다.

현재 미국의 많은 학생들과 교육자들은 "FOIL"이라는 단어를 "두 이항체의 생산물을 확장하기 위해"라는 뜻의 동사로 사용한다.^[4]

예

이 방법은 선형 이항체를 곱하기 위해 가장 일반적으로 사용된다.예를 들어,

${\displaystyle {\displaysty}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+3\cdot 5+3\cdot 5\&=x^{2}+5x3x+15\&=x^{2}+8x+15}\end{정렬}}}$

두 이항 중 하나가 뺄셈을 포함하는 경우, 해당 항은 반드시 부정되어야 한다.예를 들어,

${\displaystyle {\x-3)(2x-3)=(2x)(3x-4)+(2x)+(4)+(3x)+(3x)+(3-4)\&=6x^{2}-8x-9x+12\&=6x^{2-17x+12}\end{정렬}}}$

분배법

FLOME 방법은 분배법을 포함하는 2단계 공정에 해당한다.^[5]

${\displaystyle {\cHB}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\&=ac+ad+bc+bd.\end{정렬}}}$

첫 번째 단계에서 (c + d)는 첫 번째 이항 분포의 추가에 걸쳐 분포한다.두 번째 단계에서는 분배법을 사용하여 두 용어를 각각 단순화한다.이 과정은 총 세 가지 분배속성 적용을 수반한다는 점에 유의한다.FLOME 방식과 대조적으로, 삼원형 이상과 같은 용어가 더 많은 제품에는 유통성을 이용한 방법을 쉽게 적용할 수 있다.

리버스 포일

FLOME 규칙은 2개의 이항 분포의 곱을 4개의 단항 합으로 변환한다.^[6]그 역 과정을 팩토링 또는 인수화라고 한다.특히 위의 증거를 역순으로 읽으면 그룹화에 의한 팩토링이라는 기법을 예시한다.

FLOME의 대안으로서 표

시각적 메모리 도구는 한 쌍의 다항식에 대한 FLOLL 니모닉을 임의의 수의 항으로 대체할 수 있다.왼쪽 가장자리의 첫 번째 다항식 항과 위쪽 가장자리의 두 번째 항이 있는 표를 만든 다음, 표에 제품을 채운다.FLATE 규칙에 해당하는 테이블은 다음과 같다.

${\displaystyle {\bd}{ccc}\c&d\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

다항식인 경우(ax + b)(cx + d)는 항지관절(antidiagonals)을 따라 첨가하여 주어진 정도의 항을 찾는다.

${\displaystyle {\cd{array}{ccc}\cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx\end{array}}}}$

so${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle b}$ ) ${\displaystyle (c}$+${\displaystyle b}$) = ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$+ (${\displaystyle d}$ +${\displaystyle b}$ ) x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$. ${\$d $디스플레이$ 스타일 $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$$$

(a + b + c)(w + x + y + z)를 곱하려면 표는 다음과 같아야 한다.

${\displaystyle {\cs{array}{c cccc}\cnd&w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&c&cz\end{array}}}}}$

표 항목의 합은 다항식의 산물이다.그러므로

${\displaystyle {\displaysty}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(Aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{정렬}}}$

마찬가지로 (ax² + bx + c)(dx³ + ex² + fx + g)를 곱하려면 같은 표를 쓴다.

${\displaystyle {\cd&e&f&g\nd{array}{cccc}\nd&e&f&g\\hline a&ad&ae&ag\b&bd&be&be&bg\cd&cd&cf&cf&cf&nd\end{array}}}}}}}}}}}$

그리고 반다이곤을 따라 다음과 같이 요약한다.

${\displaystyle {\displaysty}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fline+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+\end{정렬}}}$

일반화

FLOLL 규칙은 2개 이상의 승수 또는 2개 이상의 합수를 가진 제품을 확장하는 제품에는 직접 적용할 수 없다.그러나 연관법과 재귀적 기포법을 적용하면 이런 제품을 확대할 수 있다.예를 들어.

${\displaystyle {\cuprated}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+b)+(c+d)(x+y)+(z+w)\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\&(c+d)+(x+d)+(x+y)+(x+y)+bx+bx+bx+bw\&+x+c+x+c+c+cz+c+cw+d+d+z+z+d+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+z+\end{정렬}}}$

배포를 기반으로 하는 대체 메서드는 FLOLL 규칙의 사용을 포기하지만 기억 및 적용이 더 쉬울 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle {\caprated}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ai+az+az+bx+bx+by+by+bz+bw\&\qqqad+cx+cz+cw+dy+dy+dz+diz+dz+dy+di+dz+di+di+di+dz+di+di+d\end{정렬}}}$

참고 항목

• 이항 정리
• 인자화

참조

추가 읽기

• Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Schaum's Outline of Theory and Problems of Intermediate Algebra. Schaum's Outline Series. New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-060839-9.