동적 유체 필름 방정식

비누 필름과 같은 유동적인 필름은 일상 경험에서 흔히 접하게 된다.오른쪽 그림과 같이 닫힌 윤곽선을 비눗물에 담가 비누막을 형성할 수 있다.또는 비눗물에 두 개의 고리를 담갔다가 동축 구성을 유지하면서 분리함으로써 카티노이드를 형성할 수 있다.

고정 유체 필름은 최소 표면적의 표면을 형성하여 고원 문제를 일으킨다.

반면에 유체 필름은 풍부한 동적 특성을 보여준다.그들은 평형 구성으로부터 떨어져서 엄청난 변형을 겪을 수 있다.게다가, 그들은 나노미터에서 밀리미터까지의 두께의 변화를 여러 차례 보여준다.따라서 유체막은 나노스케일과 매크로스케일 현상을 동시에 표시할 수 있다.

비누 필름과 같은 유체 필름의 역학 연구에서는 필름을 2차원 다지관으로 모델링하는 것이 일반적이다.그런 다음 필름의 가변 두께는 2차원 밀도$\rho {\displaystyle }$ {\$displaystyle \rho }$에 의해 포착된다$.$

유체 필름의 역학관계는 다음과 같은 정확한 비선형 해밀턴 방정식으로 설명할 수 있는데, 그러한 점에서 유체 역학의 오일러의 비결정적 방정식의 완전한 아날로그다.실제로 이러한 방정식은 정지된 유클리드 공간의 흐름에 대한 오일러의 동적 방정식으로 감소한다.

전술한 내용은 종합 규약과 텐서 지수의 상승과 하강을 포함한 텐서들의 형식주의에 의존한다.

풀 다이내믹 시스템

고정된 닫힌 등고선 경계에 걸쳐 있는$$ 얇은 유체 $필름{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$을(를) 고려하십시오.$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) 속도장의 정상 성분이 되게$$ 하고 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$을(를) 접선 속도 투영의 대립성 성분으로 한다$$.Let ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$ be the covariant surface derivative, ${\displaystyle B_{\alpha \beta }}$ be the covariant curvature tensor, ${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$ be the mixed curvature tensor and ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$ be its trace, that is평균 곡률또한 총 잠재적 에너지 $E{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle E\left(\rho \right)$가 제공되도록$$$$ 단위 질량 함수당 내부 에너지 밀도를 $e{\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$) ${\$$displaystyle E}$에 두십시오.

${\displaystyle E=\int _{S}\rho e\left(\rho \right)\,dS.}$ 

$이{\displaystyle }$ e${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \rho }$) ${\$ 선택:$$

${\displaystyle e\left(\rho \오른쪽)={\fractma}{\rho }}}$ 

여기서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$은(는) 표면 장력에 대한 라플레이스의 고전적 모델에서 나타나는 표면 에너지 밀도 결과물이다.

$(\displaystyle E=\sigma A\,}$

여기서 A는 비누 필름의 총 면적이다.

지배체제는 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\delta)}{\delta지}}+\nabla _ᆭ\left(\rho V^{\alpha}\right)&, =\rho CB_{\alpha}^{\alpha}\\\\\rho \left({\frac{\delta C}{\delta t}}+2V^{\alpha}\nabla_{\alpha}C+B_{\alpha \beta}V^{\alpha}V^{\beta}\right)&, =-\rho ^{2}e_{\rho}B_{\alpha}^{\alpha}\\\\\rho \left({\frac{\delta V^{\alpha}.}{\deltat}}+V^{\beta }\nabla _{\beta }V^{\alpha }-C\nabla ^{\alpha }C-2CV^{\beta }B_{\beta }^{\alpha }\right)&=-\nabla ^{\alpha }\left(\rho ^{2}e_{\rho }\right)\end{aligned}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$/ ${\displaystyle \Delta }$ t ${\displaystyle {\delta }/{\delta }t}$ -deivative는$$ 원래 '이동 표면의 미적분학'에서 자크 하다마드에 기인하는 중심 연산자다.압축 가능한 모델에서 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\$ 조합은 일반적으로$$ $압력{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p$로 식별된다.위의 통치 체계는 원래 참고서 1에서 공식화되었다.

표면$$ 장력의 라플라스 선택$({\displaystyle e}$ (${\displaystyle \sigma }$) = ${\displaystyle )}$ / ${\displaystyle \rho }$ ) ${\$\righo \$right)}:$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\delta)}{\delta지}}+\nabla _ᆭ\left(\rho V^{\alpha}\right)&, =\rho CB_{\alpha}^{\alpha}\\\\\rho \left({\frac{\delta C}{\delta t}}+2V^{\alpha}\nabla_{\alpha}C+B_{\alpha \beta}V^{\alpha}V^{\beta}\right)&, =\sigma B_{\alpha}^{\alpha}\\\\{\frac{\delta V^{\alpha}}{\delta지}}+V^{\beta}.\nabla_{\\beta }V^{\v^{\c\c\nabla ^{\c-2V^{\beta }B_{\beta }^{\alpha }&=0\ended}}}}}}}}}}}$

참고로 평면(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ =${\displaystyle {}_{}}$0 ${\displaystyle B_{\alpha \beta }=0}$) 정지 상태에서(${\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}${\$displaystyle C=0$ ) 다지관은 시스템이 된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla _{\alpha }\left(\rho V^{\alpha }\right)&=0\\&\\\rho \left({\frac {\partial V^{\alpha }}{\partial t}}+V^{\beta }\nabla _{\beta }V^{\alpha }\right)&=-\nabla ^{\alpha }\left(\rho ^{2}e_{\rho }\right)\end{aligned}}}$

정확히 고전적인 오일러의 유체 역학 방정식이지

단순화된 시스템

박유액막 연구에서 흔히 행해지는 것처럼 속도장의 접선성분을 무시한다면, 2차원 밀도 ${\디스플레이$ 스타일 $\rho}$와 정상 속도 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$의 두 가지 미지의 단순화된 시스템에 도달한다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho }{\delta t}}&=\rho CB_{\alpha }^{\alpha }\\&\\\rho {\frac {\delta C}{\delta t}}&=\sigma B_{\alpha }^{\alpha }\\\end{aligned}}}$

참조

1. 유체 필름에 대한 정확한 비선형 방정식과 고전적인 수역학 P로부터 보존 이론의 적절한 적응.그릭펠드, J. 검Sym. Phys. 16, 2009