이중 거품 추측

최소 표면의 수학적 이론에서, 이중 거품 추측에 따르면, 주어진 두 부피를 감싸고 분리하며 가능한 최소 표면적을 갖는 형태는 표준 이중 거품이라고 한다. 즉, 3개의 구형 표면이 공통 원 위에서 2°/3의 각도에서 만나는 것이다.그것은 2002년에 출판된 증거로서 지금은 정리된 것이다.^[1][2]

추측

고원의 법칙에 따르면, 어떤 부피나 부피 세트를 둘러싸는 최소 면적 모양은 일정한 평균 곡률의 표면이 3개에서 만나는 비누 거품에서 흔히 볼 수 있는 형태를 취해야 하며, 2/3의 이면 각도를 형성해야 한다.^[3]표준 이중 거품에서 이러한 표면은 구의 조각이며, 이들이 만나는 곡선은 원이다.밀폐된 두 권이 서로 다를 때, 두 권은 이중 거품 바깥에 두 권과 내부에 한 권씩 세 개의 구형 표면이 있어 두 권은 서로 분리된다; 구의 반경은 영-라플락(Young-Laplac)에 따르면 분리되는 권량 간의 압력 차이에 반비례한다.e ^[4]방정식두 권이 같을 때 중간 표면은 그 대신 평판 원반으로 되어 있어 무한 반지름 구의 패치로 해석할 수 있다.

이중 거품 추측에 따르면, 어떤 두 권에 대해서도 표준 이중 거품이 이들을 감싸는 최소 면적 형태라고 한다. 다른 어떤 표면도 같은 양의 공간을 더 적게 둘러싸고 있지 않다.

주어진 한 쌍의 영역을 둘러싸는 유클리드 평면의 최소 길이 곡선 세트에도 동일한 사실이 적용되며,^[5] 어떤 더 높은 차원으로도 일반화할 수 있다.^[6]

역사

3차원에 대한 이등분포는 표면적을 위해 최소 단일 부피를 감싸고 있는 형상이 구체라는 것을 명시한다; 그것은 아르키메데스에 의해 공식화되었지만 헤르만 슈바르츠에 의해 19세기까지 엄격하게 증명되지는 않았다.19세기에 조셉 고원은 이중 거품을 연구했고, 이중 거품 추측의 진실은 1896년 그의 비누 거품에 관한 책에서 C. V. 보이즈의 증거 없이 추측되었다.^[7][8]

1991년, 윌리엄스 칼리지의 학부생인 조엘 포이지(Joel Foisy)는 이중 버블 추측의 2차원 아날로그를 증명하는 학부생 팀의 리더였다.^[5][7]그의 학부 논문에서 포이시는 가장 먼저 3차원 이중 거품 추측에 대한 정확한 진술을 제공했지만 그것을 증명할 수는 없었다.^[9]

이중 버블 추측의 제한된 사례에 대한 증거는, 두 권에 대해, 조엘 해스와 로저 슐라플리에 의해 1995년에 발표되었고, 2000년에 출판되었다.^[10][11]허칭스, 모건, 리토레, 로즈의 완전한 추측에 대한 증거는 2000년에 발표되어 2002년에 발표되었다.^[1][9][12]

증명

브라이언 화이트의 보조정리자는 최소 면적 이중 거품이 혁명의 표면이 되어야 한다는 것을 보여준다.그렇지 않다면, 두 볼륨을 이등분하고, 다른 사분면의 표면의 반사로 사분면 중 두 개의 표면을 교체한 다음, 반사면의 특이점을 매끄럽게 하여 전체 면적을 줄이는 직교면을 찾을 수 있을 것이다.^[7]이 보조정리법을 바탕으로 마이클 허칭스는 비표준 최적 더블 버블의 가능한 형상을 토로이드 튜브 층으로 구성하도록 제한할 수 있었다.^[13]

또한 Hutchings는 비표준이지만 이중 거품을 최소화하는 토로이드의 수는 두 권의 함수에 의해 제한될 수 있다는 것을 보여주었다.특히 두 권의 동일한 부피에 대해 유일하게 가능한 비표준 더블 버블은 적도를 중심으로 한 하나의 토로이드가 있는 중앙 버블 하나로 구성된다.이러한 문제의 단순화를 바탕으로 조엘 해스와 로저 슐라플리는 이중 버블 추측의 이 사건의 증거를 컴퓨터화된 대규모 사례 분석으로 축소할 수 있었고, 1995년 PC에서 20분을 할애했다.^[7][11]

완전한 이중 버블 추측의 궁극적인 증거 또한 유한한 사례 분석으로 문제를 줄이기 위해 허칭스의 방법을 사용하지만, 그것은 컴퓨터 계산의 사용을 피하고, 대신 가능한 모든 비표준 이중 버블이 불안정하다는 것을 보여줌으로써 작용한다: 그것들은 임의로 적은 양으로 변질되어 다른 해결책 wi를 생산할 수 있다.저비용의이 결과를 증명하기 위해 필요한 동요는 신중하게 선택된 회전 집합이다.^[7]

관련 문제

John M. Sullivan은 어떤 차원 d에 대해서도 d + 1권까지의 최소 외장장치는 심플렉스의 입체 투영 형태를 가지고 있다고 추측했다.^[14]특히 이 경우 거품 사이의 경계는 모두 구의 조각이 될 것이다.2차원의 3가지 거품에 대한 이러한 추측의 특별한 경우는 입증되었다. 이 경우 3가지 거품은 6개의 원형 호와 직선 세그먼트에 의해 형성되어 사면체의 가장자리와 동일한 결합 패턴으로 만난다.^[15]그러나 수치 실험 결과 3차원의 6권 이상에 대해서는 거품 사이의 경계가 일부 비구형일 수 있다는 것이 밝혀졌다.^[14]

평면에서 무한히 많은 동일한 영역의 경우, 이러한 영역을 구분하는 최소 길이의 곡선은 벌들이 벌집을 형성하기 위해 사용하는 것으로부터 친숙한 육각형 타일링이며, 그 최적성(벌집형 추측)은 2001년 T. C. Hales에 의해 입증되었다.^[16]3차원의 동일한 문제에 대해 최적의 해결책은 알려지지 않았다; 켈빈 경은 그것이 잘게 깎인 입방체 벌집과 같은 구조물에 의해 주어졌다고 추측했지만, 이러한 추측이 웨이어-의 발견으로 반증되었다.펠란 구조는 셀당 표면적의 더 적은 양을 사용하여 두 개의 다른 모양의 동일한 부피 셀로 공간을 분할하는 구조다.^[17]

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Double Bubble". MathWorld.