분할군

수학에서, 특히 집단 이론의 분야에서, 분할할 수 없는 집단은 어떤 의미에서는 모든 원소가 양의 정수로 나누어질 수 있는 아벨 그룹이다, 또는 더 정확히 말하면, 모든 원소는 각각의 양의 정수 n에 대해 n번째 배수가 된다.분할할 수 없는 집단은 특히 주입 아벨리아 집단이기 때문에 아벨리아 집단의 구조를 이해하는 데 중요하다.

정의

만약, G{g\in G\displaystyle}∈ 모든 긍정적인 정수 n{n\displaystyle}과 모든 g에, y는 어떤 긍정적인 정수 n에 ∈ G{y\in G\displaystyle}가 n는 y)g{\displaystyle ny=g}.[1]유사한 상태는:{\displa 존재한abelian 그룹(G, +){\displaystyle(G,+)} 수가 있다.yst$yle n}$, ${\displaystyle nG=G}$, since the existence of ${\displaystyle y}$ for every ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle g}$ implies that ${\displaystyle nG\supseteq G}$, and in the other direction ${\displaystyle nG\subseteq G}$ is true for every group.세 번째 동등한 조건은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 아벨 그룹 범주에서 주입 대상인 경우에만 아벨 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 분할된다는$$ 것이다. 이러한 이유로 분할된 그룹을 주입 그룹이라고 부르기도 한다.

An abelian group is ${\displaystyle p}$-divisible for a prime ${\displaystyle p}$ if for every ${\displaystyle g\in G}$, there exists ${\displaystyle y\in G}$ such that ${\displaystyle py=g}$. Equivalently, an abelian group is ${\displaystyle p}$-divisible if and only if ${$$\displaystyle pG=G$

예

• 합리적인 숫자 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 추가 시 분할 그룹을 형성한다$$.
• 보다 일반적으로 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$대한 벡터 공간의 기본 가법 그룹은 분할할 수 있다$$.
• 분할할 수 있는 집단의 모든 몫은 분할할 수 있다.따라서 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$은(는) 분리할 수 있다$$.
• The p-primary component ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ of ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$, which is isomorphic to the p-quasicyclic group ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$ is divisible.
• 복합수 $∗{\$의 곱셈 그룹은 분리할 수 있다$$.
• 실존적으로 폐쇄된 모든 아벨 그룹(모델 이론적 의미에서의)은 분리될 수 없다.

특성.

• 만약 분리할 수 없는 집단이 아벨 집단의 부분군이라면, 그것은 그 아벨 집단의 직접적인 합계다.^[2]
• 모든 아벨 그룹들은 분리할 수 없는 그룹에 포함될 수 있다.^[3]
• 분리할 수 없는 그룹은 정확히 생성되지 않는다.
• 또한 모든 아벨 그룹들은 고유한 방법으로 필수적인 하위그룹으로서 분리할 수 있는 그룹에 포함될 수 있다.^[4]
• 아벨 집단은 모든 prime p에 대해 p-dival 할 수 있는 경우에만 분할된다.
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 링이 되게$$ 하라.$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 분할할 수 있는 그룹인 경우, $H{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ Z ${\displaystyle {\text{-Mod}(}_{}A}$,${\displaystyle }$T ) ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)$은 A${\displaysty$} - modules$$.^[5]

분리할 수 있는 그룹의 구조 정리

G는 분리할 수 없는 집단이 되도록 하자.그런 다음 G의 비틀림 부분군 Tor(G)를 분할한다.분할할 수 없는 그룹은 주입 모듈이기 때문에, 토르(G)는 G의 직접적인 합계인 셈이 된다.

${\displaystyle G=\mathrm {Tor}(G)\oplus G/\mathrm {Tor}(G)}$

분할할 수 있는 집단의 지수로 G/Tor(G)는 분할할 수 있다.게다가 비틀림도 없다.따라서 Q에 걸친 벡터 공간이기 때문에 다음과 같은 집합 I이 존재한다.

${\displaystyle G/\mathrm {Tor}(G)=\bigoplus _{i\in I}\mathb {Q} =\mathb {Q} ^{(I)}}}}$

비틀림 부분군의 구조는 결정하기 어렵지만, 모든 소수 p에 대해 $다음$과 같은$$ ${\displaystyle I_{}}$ p ${\$가 존재함을 보여줄^[6][7] 수 있다.

${\displaystyle (\mathrm {Tor}(G)_{p}=\bigoplus _{i_in{p}}\mathb {Z}[p^{\infult }]=\mathb {Z}[p^{\infult }]^{{(I_{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서${\displaystyle }$( ${\displaystyle T\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ r${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle {}_p}$ ${\$는 Tor(G)의 p-primary 성분이다.

따라서 P가 소수집합이라면,

${\displaystyle G=\왼쪽(\bigoplus _{p\in \p}}}}\mathb {Z}[p^{\infit }}^{{p}}\right)\plus \mathb {Q} ^{(I)}}}}}}}}}$

p ∈ P에 대한 집합 I과 I의_p 기질은 G 그룹에 의해 독특하게 결정된다.

주입 봉투

위에서 언급한 바와 같이, 어떤 아벨 그룹 A도 본질적인 부분군으로서 분리할 수 없는 그룹 D에 독특하게 내장될 수 있다.이 분리할 수 있는 그룹 D는 A의 주입식 봉투로, 이 개념은 아벨리아 그룹의 범주에서 주입식 선체다.

환원된 아벨 그룹

아벨 집단은 그것의 유일한 분할할 수 있는 하위 집단이 {0}일 경우 감소한다고 한다.모든 아벨 집단은 분할할 수 없는 부분군과 축소된 부분군의 직접적인 합이다.사실, 어떤 그룹이든 가장 큰 분할할 수 있는 부분군이 있는데, 이 분할할 수 있는 부분군은 직접적인 합계다.^[8]이것은 정수 Z와 같은 유전적 고리의 특색이다: 주입 모듈의 직접 합은 노메테리아인이기 때문에 주입이 되고, 주입의 몫은 링이 유전적이기 때문에 주입이 이루어지기 때문에 주입이 이루어지기 때문에 주입 모듈에서 생성되는 모든 하위 모듈들은 주입이 된다.역은 (Matlis 1958)의 결과물이다: 모든 모듈에 고유한 최대 주입 하위 모듈이 있다면, 링은 유전된다.

계수 가능한 주기적 감소 아벨리아 집단의 완전한 분류는 울름의 정리에 의해 주어진다.

일반화

몇 가지 뚜렷한 정의는 분할할 수 있는 그룹을 분할할 수 있는 모듈로 일반화한다.문헌에는 다음과 같은 정의가 링 R에 걸쳐 분할할 수 있는 모듈 M을 정의하기 위해 사용되었다.

1. rM = R의 모든 nonzero r에 대한 M.^[9] (r이 0 divisor가 아닌 경우도 있고, 일부 저자는^[10][11] R이 도메인임을 요구하는 경우도 있다.)
2. 모든 주요 왼쪽 이상 Ra에 대해, Ra에서 M까지 모든 동형성은 R에서 M으로 동형성으로 확장된다. ^[12][13](이 타입의 분리할 수 있는 모듈을 주로 주입 모듈이라고도 한다.)
3. 모든 미세하게 생성된 왼쪽 이상 L의 경우, L에서 M으로 가는 모든 동형성은 R에서 M으로 가는 동형성으로 확장된다.^[14]

마지막 두 조건은 Baer의 주입 모듈 기준의 "제한된 버전"이다.주입 좌측 모듈은 모든 좌뇌 이상에서 R까지 동형성을 확장하므로 주입 모듈은 의미 2와 3에서 분명히 분리된다.

R이 추가적으로 도메인인 경우, 세 가지 정의가 모두 일치한다.R이 주좌우 이상 영역인 경우, 분할할 수 있는 모듈은 주입 모듈과 일치한다.^[15]따라서 주요 이상 영역인 정수 Z의 링의 경우, Z-모듈(정확히 아벨 그룹)은 주입된 경우에만 분할된다.

만약 R이 역행영역이라면, R이 디데킨드 도메인인 경우에만 주입 R 모듈은 분할할 수 있는 R 모듈과 일치한다.^[15]

참고 항목

• 주입물체
• 주입 모듈

메모들

참조

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), Homological algebra, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. xvi+390, ISBN 0-691-04991-2, MR 1731415 데이비드 A의 부록과 함께.북스바움; 1956년 원본의 재인쇄
• Feigelstock, Shalom (2006), "Divisible is injective", Soochow J. Math., 32 (2): 241–243, ISSN 0250-3255, MR 2238765
• Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
• Hall, Marshall, jr (1959). The theory of groups. New York: Macmillan. 13.3장.
• Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press.
• Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups Vol 1. Academic Press.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Serge Lang (1984). Algebra, Second Edition. Menlo Park, California: Addison-Wesley.
• Matlis, Eben (1958). "Injective modules over Noetherian rings". Pacific Journal of Mathematics. 8: 511–528. doi:10.2140/pjm.1958.8.511. ISSN 0030-8730. MR 0099360.
• Nicholson, W. K.; Yousif, M. F. (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xviii+307, doi:10.1017/CBO9780511546525, ISBN 0-521-81593-2, MR 2003785