거리 상관 관계

통계와 확률 이론에서 거리 상관 또는 거리 공분산은 반드시 동일하지는 않지만 임의의 임의의 두 쌍의 랜덤 벡터 사이의 의존성 측도다. 모집단 거리 상관 계수는 랜덤 벡터가 독립적인 경우에만 0이다. 따라서 거리 상관관계는 두 랜덤 변수 또는 랜덤 벡터 사이의 선형 및 비선형 연관성을 모두 측정한다. 이는 두 랜덤 변수 사이의 선형 연관성만 검출할 수 있는 피어슨의 상관관계와는 대조적이다.

거리 상관관계는 순열시험으로 의존성의 통계적 시험을 수행하는 데 사용될 수 있다. 하나는 먼저 두 개의 랜덤 벡터 사이의 거리 상관 관계(유클리드 거리 행렬의 재중심화)를 계산한 다음 이 값을 데이터의 많은 슈플의 거리 상관과 비교한다.

배경

전통적인 의존도 측정인 Pearson 상관 계수는 주로 두 변수 사이의 선형 관계에 민감하다.^[1] 거리 상관관계는 2005년 피어슨의 상관관계의 이러한 결여, 즉 종속변수에 대해서는 쉽게 0이 될 수 있다는 것을 해결하기 위해 가보르 J. 세켈리에 의해 여러 강연에서 소개되었다. 상관 = 0(비상관성)은 독립성을 의미하지 않으며 거리 상관 = 0은 독립성을 의미한다. 거리 상관에 대한 첫 번째 결과는 2007년과 2009년에 발표되었다.^[2][3] 거리 공분산이 브라운 공분산과 동일하다는 것이 증명되었다.^[3] 이러한 척도는 에너지 거리의 예다.

거리 상관관계는 특히 거리 분산, 거리 표준 편차 및 거리 공분산 등 규격에 사용된 여러 다른 수량에서 도출된다. 이러한 수량은 Pearson 제품-순간 상관 계수의 사양에 해당하는 이름을 가진 일반적인 순간과 동일한 역할을 한다.

정의들

거리 공분산

먼저 샘플 거리 공분산의 정의부터 시작합시다. Let (X_k, Y_k), k = 1, 2, ..., n은 실제 값 또는 벡터 값 랜덤 변수 쌍(X, Y)의 통계 표본이다. 첫째, 모든 쌍별 거리를 포함하는 n by n 거리 행렬(a_{j, k}) 및 (b_{j, k})를 계산한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&=\ X_{j}-X_{k}\ ,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\\b_{j,k}&=\ Y_{j}-Y_{k}\ ,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\end{aligned}}}$

여기서 ⋅은 유클리드 규범을 나타낸다. 그런 다음 두 배로 중심화된 거리를 모두 취하십시오.

${\displaystyle A_{j,k}:=a_{j,k}-{\overline {a}}_{j\cdot }-{\overline {a}}_{\cdot k}+{\overline {a}}_{\cdot \cdot },\qquad B_{j,k}:=b_{j,k}-{\overline {b}}_{j\cdot }-{\overline {b}}_{\cdot k}+{\overline {b}}_{\cdot \cdot },}$

where ${\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{j\cdot }}$ is the j-th row mean, ${\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{\cdot k}}$ is the k-th column mean, and ${\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{\cdot \cdot }}$ is the grand mean of the distance matrix of the X s충분하다. 표기법은 b 값과 비슷하다. (중심 거리 행렬(A_{j, k}) 및 (B_j,k)에서 모든 행과 모든 열의 합은 0이다.) 표본 거리 공분산 제곱(스칼라)은 단순히 AB 제품의_{j, k j, k} 산술 평균이다.

${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y):={\frac {1}{n^{2}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}}A_{j,k}\,B_{j,k}.}$

통계 T_n = n dCov²_n(X, Y)는 임의 치수에서 랜덤 벡터의 독립성에 대한 일관된 다변량 검정을 결정한다. 구현의 경우 R 에너지 패키지의 dcov.test 기능을 참조하십시오.^[4]

거리 공분산의 모집단 값은 동일한 선을 따라 정의할 수 있다. X는 확률분포 μ가 있는 p-차원 유클리드 공간에서 값을 취하고 Y는 확률분포 μ가 있는 q차원 유클리드 공간에서 값을 취하는 랜덤 변수가 되게 하며, X와 Y는 기대치가 유한하다고 가정한다. 쓰다

${\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [\ X-x\ ],\quad D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)],\quad d_{\mu }(x,x'):=\ x-x'\ -a_{\mu }-a(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu ).}$

마지막으로 X와 Y의 거리 공분산 제곱의 모집단 값을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.}$

이것이 다음과 같은 정의와 동등하다는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):={}&,\operatorname{E}[)X-X'\ \,\ Y-Y'\]+\operatorname{E}[)X-X'\]\,\operatorname{E}[)Y-Y'\]\\&,\qquad{}-\operatorname{E}[)X-X'\ \,\ Y-Y")]-\operatorname{E}[)양쪽")\,\ Y-Y'\]\\={}&,\operatorname{E}[)X-X'\ \,\ Y-Y'\]+\operatorname{E}[)X-X'\]\,\operatorname{E}[)Y-Y'\]\\&,\qquad{}-2\operatorname{E}는 경우)양쪽.'\ \,\ Y-Y"\와 같이],\end{정렬}}}$

여기서 E는 기대값을 나타내며$,{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\$${\displaystyle ),\}(<img\; alt="\backslash textstyle\; (X,Y),"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/06d6d70b78831d25ce3adcfee50a9fb7d1842598"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:7.243ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="74">{}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \prime ,}$${\displaystyle }$$'),$${\$$$$X',Y')$은 독립적이며$$ 동일하게 분포한다. The primed random variables ${\displaystyle \textstyle (X',Y')}$ and ${\displaystyle \textstyle (X'',Y'')}$ denote independent and identically distributed (iid) copies of the variables ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ and are similarly iid.^[5] 거리 공분산은 다음과 같이 고전적인 피어슨의 공분산인 cov 단위로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=\operatorname {cov}(\ X-X'\ ,\ Y-Y'\ )-2\operatorname {cov}(\ X-X'\ ,\Y'\)}$

이 정체성은 거리 공분산이 거리의 공분산인 cov(X - X' , Y - Y' )와 같지 않음을 보여준다. 이는 X와 Y가 독립적이지 않더라도 0일 수 있다.

또는 거리 공분산은 랜덤 변수의 결합 특성 함수와 한계 특성 함수의 산물 사이의 거리의² 가중 L 규범으로 정의할 수 있다.^[6]

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)={\frac {1}{c_{p}c_{q}}}\int _{\mathbb {R} ^{p+q}}{\frac {\left \varphi _{X,Y}(s,t)-\varphi _{X}(s)\varphi _{Y}(t)\right ^{2}}{ s _{p}^{1+p} t _{q}^{1+q}}}\,dt\,ds}$

where ${\displaystyle \varphi _{X,Y}(s,t)}$, ${\displaystyle \varphi _{X}(s)}$, and ${\displaystyle \varphi _{Y}(t)}$ are the characteristic functions of (X, Y), X, and Y, respectively, p, q denote the Euclidean dimension of X and Y, and thus of s and t, and c_p, c_q are constants. 체중 함수$({\displaystyle c{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ s ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle t{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 +${\displaystyle q_{}^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$t$_{q}^{1+q}}}})^{-1}$는 종속 변수에 대해 0으로 가지 않는 스케일 등가 및 회전 불변량 측정을 생성하기 위해 선택된다$$.^[6][7] 그 특성 함수 정의의 어느 해석이 변수와 eitY 서로 다른 시기 s, 그리고 t에 의해 주어지고, 표현 ϕX eisX의 거리 공분산의 특성 함수 정의의 분자에 Y(s, t)− ϕX(s)ϕY(t)은 단순히 고전적인 공 분산 및 X, Y의 순환 표상 eisX 있다.eitY. 특성 함수 정의에 따르면 dCov²(X, Y) = X와 Y가 독립적일 경우에만 0으로 나타난다.

거리 분산 및 거리 표준 편차

거리 분산은 두 변수가 동일한 경우 거리 공분산의 특별한 경우다. 거리 분산에 대한 모집단 값은 제곱근이다.

${\디스플레이 스타일 \operatorname {dVar} ^{2}(X):=\operatorname {E}[\ X-X'\ ^{2}]+\operatorname {E}^{2}[\ X-X'\ ]-2\operatorname {E}[\ X-X'\,\ X-X'\,},}$

where ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X'}$, and ${\displaystyle X''}$ are independent and identically distributed random variables, ${\displaystyle \operatorname {E} }$ denotes the expected value, and ${\displaystyle f^{2}(\cdot )=(f(\cdot ))^{2}}$ for function $$${\displaystyle f}$ (${\displaystyle \cdot )}$ ${\displaystyle$ f$(\$$cdot$ 예: ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle \cdot }$]${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( E ${\displaystyle }$[${\displaystyle }$⋅ ${\displaystyle ]{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$])=(\operatorname {E}[\$cdot ]^{2$

표본 거리 분산은 제곱근이다.

${\dVar} _{n}(X):=\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,X)={\tfrac {1}{n^{1}2}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }^{2}}}$

1912년에 도입된 코라도 지니의 평균 차이에 대한 친척이다(그러나 지니가 중심 거리로 작동하지 않았다).^[8]

거리 표준 편차는 거리 분산의 제곱근이다.

거리 상관 관계

두 랜덤 변수의 거리 상관관계는 거리 공분산을 거리 표준 편차의 곱으로 나누어 얻는다. 거리 상관관계는

${\dplaystyle \operatorname {dCor}(X,Y)={\frac {\\operatorname {dCov^{2}}(X,Y)}{\\sqrt {\\properatorname {dVar}(X)\\dVar}(Y)}}}}}}}}}}}},},},},},},},},$

표본 거리 상관 관계는 위의 모집단 계수에 대해 표본 거리 공분산과 거리 분산을 대체하여 정의된다.

샘플 거리 상관 관계를 쉽게 계산하려면 R 에너지 패키지의 dcor 함수를 참조하십시오.^[4]

특성.

거리 상관 관계

거리 공분산

이 마지막 성질은 중심 거리로 작업할 때 가장 중요한 효과다.

The statistic ${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)}$ is a biased estimator of ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$. Under independence of X and Y ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\left\{(n-2)\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)+\operatorname {E} [\ X-X'\ ]\,\operatorname {E} [\ Y-Y'\ ]\right\}\\[6pt]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\operatorname {E} [\ X-X'\ ]\,\operatorname {E} [\ Y-Y'\ ].\end{정렬}}}$

székeley와 Rizzo는 ${\displaystyle {\mathrm{dCov}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (X}$, Y${\displaystyle }$) ${\dplaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,$^[10]Y)}의 불편 추정기를 제공한다.

거리 분산

랜덤 변수 X 또는 Y 중 하나가 상수인 경우에만 동등성이 (iv)를 유지한다.

일반화

거리 공분산은 유클리드 거리의 힘을 포함하도록 일반화할 수 있다. 정의

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha }):={}&\operatorname {E} [\ X-X'\ ^{\alpha }\,\ Y-Y'\ ^{\alpha }]+\operatorname {E} [\ X-X'\ ^{\alpha }]\,\operatorname {E} [\ Y-Y'\ ^{\alpha }]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\ X-X'\ ^{\alpha }\,\ Y-Y''\ ^{\alpha }].\end{정렬}}}$

모든 0<>를;α<>만일dCov 2⁡(X, Y, α))0(^ᆮ(X,Y, \alpha)=0}2{\displaystyle 0<, \alpha<>2}, X{X\displaystyle}, Y{Y\displaystyle}독립적이다. 이 특성화 지수 α=2를 위하여 고수하지 않는 것 중요하다. {\displays$tyle \alpha =2$ 이 경우 bivarate${\displaystyle }$(X${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle (X,$ ,$$${\displaystyle \mathrm{dCor}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, Y ;${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$= 2${\displaystyle }$) ${\displaysty \operatorname {dCor} (X,Y;\alpha =$2)은$$Pearson 상관관계의 결정론적 함수다$$.^[2] 해당 거리의 모임이라면 k, ℓ{\displaystyle a_{k,\ell}}와 bk, ℓ{\displaystyle b_{k,\ell}}이α{\displaystyle \alpha}의 힘 0<>α ≤ 2{\displaystyle 0<, \alpha \leq 2}, 그때 α{\displaystyle \alpha}샘플 거리 공분산 w.의 비음의 개수로 정의될 수 있hich

${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y;\alpha ):={\frac {1}{n^{2}}\\sum _{k,\ell }A_{k,\ell },B_{k,\ell }}}}}}$

One can extend ${\displaystyle \operatorname {dCov} }$ to metric-space-valued random variables ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$: If ${\displaystyle X}$ has law ${\displaystyle \mu }$ in a metric space with metric ${\displaystyle d}$, then define ${\displaystyle a_{\mu }(x):=\mathrm{E}[d(X,x)]}$${\displaystyle a_{\mu }(x):$$=\operatorname {E} [d(X,x$ $D{\displaystyle (\mu }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \mathrm{E}}$μ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ D$(\mu ):$$=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)]}$, and (provided ${\displaystyle a_{\mu }}$ is finite, i.e., ${\displaystyle X}$ has finite first moment), ${\displaystyle d_{\mu }(x,x'):=d(x,x')-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu )}$. $그런{\displaystyle }$ 다음 Y ${\displaystyle Y}$에 법칙 finite ${\displaystyle \nu}$이(가) 있는$$ 경우($$제한된 첫 번째 순간을 가진 다른 메트릭 공간에서) 정의하십시오.

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.}$

두 메트릭 공간이 모두 음의 유형인 경우$$ 이는 모든 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$,Y}$에 대해 음이 아니다.^[11] 여기서 미터법 공간$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle d}$) ${\디스플레이$ 스타일$($$M,$$d)}$이$(가)$ 힐버트 공간의 하위 집합에 대한 등축인 경우 음의 유형이$$ 있다${\displaystyle {.}^{}}$^[12] 두 메트릭 공간 모두 음의 유형이 강한 경우 ${\displaystyle {\mathrm{dCov}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}(X}$, Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\dCov} ^{2}(X,Y)=0}$ $X$인 경우,${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$은(는) 독립적이다.^[11]

거리 공분산의 대체 정의

The original distance covariance has been defined as the square root of ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$, rather than the squared coefficient itself. ${\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)}$ has the property that it is the energy distance between the joint distribution of ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{X}}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {X}, Y}$ 및 여백의 제품. 그러나 이 정의에 따르면 거리 표준 편차가 아닌 거리 분산은 $X{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname {X}$거리와$$ 동일한 단위로 측정된다.

Alternately, one could define distance covariance to be the square of the energy distance: ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y).}$ In this case, the distance standard deviation of ${\displaystyle X}$ is measured in the same units as ${\displaystyle X}$ distance, and there exists an unbiased e모집단 거리 ^[10]공분산 자극기

이러한 대체 정의에서 거리 상관관계는 제곱근보다는 제곱${\displaystyle \mathrm{dCor}}$2${\displaystyle }$square (${\displaystyle X^{}}$ , ${\displaystyle {Y\mathrm{}}^{}}$ ) ${\dplaystyle \operatorname {dCor}$$^{2}(X,Y)}$로도 정의된다.

대체 공식: 브라운 공분산

브라운 공분산은 공분산 개념을 확률적 과정으로 일반화함으로써 동기부여가 된다. 랜덤 변수 X와 Y의 공분산 제곱은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)^{2}=\operatorname {E} \left[{\big (}X-\operatorname {E} (X){\big )}{\big (}X^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (X^{\mathrm {'} }){\big )}{\big (}Y-\operatorname {E} (Y){\big )}{\big (}Y^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (Y^{\mathrm {'} }){\big )}\right]}$

여기서 E는 기대값을 나타내고 prime은 독립적이고 동일한 분산 복사본을 나타낸다. 우리는 이 공식의 다음과 같은 일반화가 필요하다. U(s), V(t)가 모든 실제 s에 대해 정의된 임의의 무작위 프로세스인 경우, 다음에 따라 U 중심 버전의 X를 정의하십시오.

${\displaystyle X_{U}=U(X)-\operatorname {E} _{X}\좌측[U(X)]\중간 \좌측\{U(t)\우측\}우측]}}$

감산된 조건부 기대값이 존재할 때마다_V Y는 V 중심 버전의 Y를 나타낸다.^[3][13][14] (X,Y)의 (U,V) 공분산은 제곱을 가진 음수가 아닌 숫자로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {coV} _{U,V}^{2}(X,Y):=\operatorname {E} \left[X_{U}X_{{{U}X_}{{{}}}}}{{U}}}}}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}U}^{\mathrm {'} }Y_{V}Y_{V}^{\mathrm {'} }\오른쪽]}$

우측이 음성이 아니고 유한할 때마다 가장 중요한 예는 U와 V가 기대치가 0이고 공분산 s + t - s - t = 2 min(비 음의 s, t에만 해당)인 양면 독립 브라운 운동/와이니어 과정일 때 입니다. (이것은 표준 Wiener 공정의 공분산의 두 배다. 여기서 인자 2는 계산을 단순화한다.) 이 경우 (U,V) 공분산을 브라운 공분산이라고 하며 다음과 같이 나타낸다.

${\displaystyle \operatorname {cov} _{W}(X,Y)}$

놀라운 우연이 있다: 브라운 공분산은 거리 공분산과 동일하다.

${\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {W}}(X,Y)=\operatorname {dCov}(X,Y),}$

따라서 브라운의 상관관계는 거리 상관관계와 동일하다.

반면에, 우리가 브라운 운동을 결정론적 정체성 함수 id로 대체한다면, Cov_id(X,Y)는 단순히 고전적인 Pearson 공분산의 절대값일 뿐이다.

${\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {id}}(X,Y)=\left\vert \operatorname {cov}(X,Y)\right\vert .}$

관련 측정지표

커널 기반 상관 관계 메트릭(Hilbert-Schmidt 독립성 기준 또는 HSIC 등)을 포함한 다른 상관 관계 메트릭도 선형 및 비선형 상호작용을 탐지할 수 있다. 거리 상관 관계 분석과 커널 기반 메트릭스는 모두 표준 상관 분석과 독립적인 구성요소 분석과 같은 방법에 사용되어 더 강력한 통계적 힘을 산출할 수 있다.

참고 항목

• RV 계수
• 관련 3차 통계량은 거리 왜도를 참조하십시오.

메모들

참조

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• Klebanov, L. B. (2005). N-distances and their applications. Prague: Karolinum Press, Charles University. ISBN 9788024611525.
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• Székely, Gábor J.; Rizzo, Maria L.; Bakirov, Nail K. (2007). "Measuring and testing independence by correlation of distances". The Annals of Statistics. 35 (6): 2769–2794. arXiv:0803.4101. doi:10.1214/009053607000000505. S2CID 5661488.
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외부 링크

• E-통계(에너지 통계)