절연점

수학에서 점 x는 부분집합 S(위상학적 공간 X에서)의 절연점이라고 하는데, x가 S의 다른 점을 포함하지 않는 x의 근방이 존재하는 경우 x를 s의 절연점이라고 한다.이는 싱글톤 {x}이(가) 위상학적 공간 S(X의 하위공간으로 간주됨)에 있는 오픈 세트라고 말하는 것과 맞먹는다.다른 등가 공식은 다음과 같다: S의 원소 x는 S의 한계점이 아닌 경우에만 S의 절연점이다.

공간 X가 유클리드 공간(또는 다른 미터 공간)인 경우, 다른 S 지점이 없는 x 주위에 열린 공이 있으면 S의 요소 x는 S의 고립된 지점이다.

관련 개념

분리된 점으로만 구성된 세트를 이산형 집합(이산형 공간 참조)이라고 한다.유클리드 공간의 모든 이산 하위 집합 S는 계산 가능한 것이어야 하는데, 그 각 점들이 현실에서 조밀하다는 사실과 함께 분리된다는 것은 S의 점들이 합리적 좌표를 가진 점들의 집합으로 매핑될 수 있다는 것을 의미하기 때문이다. 그 중 상당수는 셀 수 있을 뿐이다.그러나 모든 계산 가능한 집합이 별개의 것은 아니며, 그 중 통상적인 유클리드 메트릭스 아래의 합리적 숫자가 표준적인 예다.null

고립된 점이 없는 집합은 자체 밀도라고 한다(점 주변의 모든 이웃은 집합의 다른 점을 포함한다).격리된 지점이 없는 닫힌 세트를 완벽한 세트라고 부른다(모든 한계점을 가지고 있고 그것으로부터 격리된 것은 없다).null

고립된 점의 수는 위상학적 불변성, 즉 두 개의 위상학적 $공간{\displaystyle }$ X[\$displaystyle$ X$}$와 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 동형인 경우 각각에 있는 격리된 점의 수가 같다.null

예

표준 예

다음의 세 가지 예에서 위상학적 공간은 표준 위상과 함께 실제 선의 하위공간으로 간주된다.null

• $설정{\displaystyle }$S${\displaystyle }$= { ${\displaystyle 0}$}${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ]}${\$displaystyle S=\{0\}\cup [1,2]}$의 경우 점 0은 고립된 점이다$.$
• $S{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$}${\displaystyle \cup \{}$ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ , ${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$, 1${\displaystyle }$/ 3 ,${\displaystyle \dots \}}$ ${\displaystyle$ S$=\{0\}\cup \{1/2,1/$3,\$dots$ 집합의 경우, 각 점 1/k는 절연점이지만, S에 원하는 대로 0에 가까운 다른 점이 있기 때문에 0은 절연점이 아니다.
• 자연수의 $N$${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots \}}$ ${\displaystyle {\mathb {N}}=\{0,1,2,\ldots \}}$은(는) 이산형 집합이다.

In the topological space ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ with topology ${\displaystyle \tau =\{\emptyset ,\{a\},X\}}$, the element ${\displaystyle a}$ is an isolated point, even though ${\displaystyle a}$ belongs to the closure of ${\displaystyle \{b\}}$ (and is therefore, in s오메 감지, $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 "닫힘".하우스도르프 공간에서는 그런 상황이 가능하지 않다.null

Morse 보조정리에서는 특정 기능의 비감소 임계점이 격리되어 있다고 기술하고 있다.null

직관에 반하는 두 가지 예

실제 간격$({\displaystyle 0}$, $){\displaystyle x}$에서 포인트$$ $x{\displaystyle }$ ${\$displaystyle x}의$$ 설정된 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$을(를$)$ 고려하여 이진 표현의 모든$$ 자릿수 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 다음 조건을 충족하도록 하십시오$$.

• $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ 또는$$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle i_{}}$= 1 ${\displaystyle x_{i}=1$
• ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{i}=1$}개만 정확하게$$ 많은 $지수{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$에 대해$.$
• $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{x}}$ m${\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\displaystyle x_{m}=1}$과$($와) 같은 가장 큰 인덱스를 나타내는$$ 경우, ${\displaystyle x_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1{}_{}}$= 0 ${\displaystyle x_{m-1}=0$
• $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{i}=1}$ 및 i$$<>이가) ${\displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$$<m}$인 경우 x ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\displaystyle x_{$$i-1$$}=1}$ $또는$ x +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystystyle x_{i+1}=$1}=1}=$1$

비공식적으로, 이러한 조건은 1과 같은$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$}의 이진 표시의 모든 자릿수가 쌍 ...0110...에 속함을 의미하며, ...010을 제외한다.맨 끝에null

이제 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 완전히 고립된 지점으로 구성된 명시적 집합으로$$, 폐쇄는 셀 수 없는 집합이라는 반직관적 속성을 가지고 있다.^[1]null

동일한 속성을 가진$$ 또 다른 집합 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$을(를) 다음과 같이 얻을 수 있다.Let ${\displaystyle C}$ be the middle-thirds Cantor set, let ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots }$ be the component intervals of ${\displaystyle [0,1]-C}$, and let ${\displaystyle F}$ be a set consisting of one point from each ${\displaystyle I_{k}}$. S각 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 F$${\$displaystyle F}$로부터 한 점만 포함하고$$ 있으며$,$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 모든 지점은 격리된 지점이다$$.그러나, $만약{\displaystyle }$ p ${\$$displaystyle$ $p}$이(가) 칸토어 집합의 어떤 점이라면, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 모든 주변은 적어도 하나의 ${\displaystyle I_{}}$ k ${\$ $I_$${k}$를 포함하고$,$ 따라서 $적어도{\displaystyle }$ $F{\displaystyle }${\$displaystyty$ F$}$의 닫힘에 놓여 있다$.$d 따라서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 셀 수 없는 폐쇄성을 갖는다$$.null

참고 항목

• Acnode
• 부연점
• 한계점

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Isolated Point". MathWorld.