초점(지오메트리)

기하학에서 초점 또는 초점(//foʊkaɪ/)은 다양한 곡선이 구성되는 특수 지점이다. 예를 들어 원뿔 단면 정의에 1, 2개의 포커스를 사용할 수 있으며, 원, 타원, 파라볼라, 하이퍼볼라 4가지 유형이 있다. 또한 카시니 타원형 및 카르테시아 타원형 정의에는 2개의 포커스가 사용되며, n-엘리프 정의에는 2개 이상의 포커스가 사용된다.

원뿔단면

두 가지 포커스를 기준으로 원뿔을 정의

타원은 주어진 두 초점에 대한 거리의 합이 일정한 점의 중심점으로 정의될 수 있다.

원은 두 개의 초점이 서로 일치하는 타원의 특별한 경우다. 따라서 원은 주어진 단일 초점으로부터의 고정 거리인 점의 위치로서 보다 단순하게 정의될 수 있다. 원은 아폴로니우스의 원으로도 정의될 수 있으며, 두 개의 다른 초점에 대한 거리의 고정 비율을 가진 점의 위치로서 두 개의 초점에 관한 관점에서도 정의될 수 있다.

포물선은 타원의 제한적인 경우로, 포물선 중 하나가 무한대의 점이다.

하이퍼볼라는 주어진 두 개의 초점 사이의 거리에 대한 차이의 절대값이 일정한 점의 중심점으로 정의될 수 있다.

포커스 및 Directrix 관점에서 코닉 정의

또한 포커스를 포함하지 않는 주어진 선인 단일 포커스 및 단일 다이렉트릭스 측면에서 모든 원뿔 단면을 설명할 수 있다. 원뿔은 초점까지의 거리를 다이렉트릭스까지의 거리로 나눈 각 점의 위치로서 편심 e라고 불리는 고정된 양의 상수로 정의된다. 0 < e < 1 원뿔은 타원형이고, e = 1이면 원뿔은 포물선이고, e > 1이면 하이퍼볼라형이다. 초점까지의 거리가 고정되어 있고 다이렉트릭스가 무한의 선이기 때문에 편심도가 0이면 원뿔은 원이다.

포커스 및 Directrix 원을 기준으로 원뿔 정의

또한 모든 원뿔 부분을 단일 초점과 단일 원형 다이렉트릭스로부터 등거리인 점의 로크로 설명할 수 있다. 타원의 경우, 다이렉트릭스 원의 초점과 중심은 모두 유한 좌표를 가지며 다이렉트릭스 원의 반경은 이 원의 중심과 초점 사이의 거리보다 크므로, 초점은 다이렉트릭스 원 안에 있다. 이렇게 생성된 타원은 다이렉트릭스 원의 중심에 두 번째 초점을 두고 있으며 타원은 전적으로 원 안에 있다.

포물선의 경우 다이렉트릭스의 중심이 무한대의 점으로 이동한다(프로젝티브 기하학 참조). 다이렉트릭스 "원"은 곡률이 0인 곡선이 되어 직선과 구별할 수 없다. 포물선의 두 팔은 팽창하면서 점점 평행해지고, "무한에서"는 평행하게 된다; 투영 기하학의 원리를 이용하여 두 개의 평행선이 무한의 지점에서 교차하고 포물선은 닫힌 곡선(엘리피컬 투영)이 된다.

하이퍼볼라를 생성하기 위해 다이렉트릭스 원의 반지름은 이 원의 중심과 초점 사이의 거리보다 작도록 선택된다. 따라서 초점은 다이렉트릭스 원 외부에 있다. 하이퍼볼라 접근법의 팔과 하이퍼볼라 한 가지의 "우측" 팔은 무한의 지점에서 하이퍼볼라 다른 가지의 "좌측" 팔을 만난다. 이것은 투영 기하학에서 하나의 선이 무한의 한 지점에서 자신을 만난다는 원리에 기초한다. 따라서 하이퍼볼라의 두 가지 가지는 무한대에 걸쳐 닫힌 곡선의 두 반쪽이다.

투영 기하학에서, 한 사람을 위해 진술될 수 있는 모든 정리가 다른 사람들을 위해 진술될 수 있다는 점에서 모든 원뿔은 동등하다.

천문학적 의의

중력 2체 문제에서, 서로에 대한 두 신체의 궤도는 두 신체의 질량 중심(바리 중심)에 있는 다른 신체의 중심 중 하나와 일치하는 하나의 초점인 두 개의 겹치는 원뿔 부분으로 설명된다.

따라서, 예를 들어, 작은 행성인 명왕성의 가장 큰 달 카론은 명왕성-카론 계의 바리 중심에서 한 개의 초점이 맞춰져 있는 타원 궤도를 가지고 있는데, 이것은 명왕성과 카론 계의 바리 중심에서 두 몸 사이의 공간에 있는 지점이다. 명왕성 또한 타원 궤도를 따라 움직인다. 명왕성의 타원은 이 시스템의 애니메이션에서 보여지듯이 전적으로 카론의 타원 안에 있다.

그에 비해 지구의 달은 달과 지구의 중심부에 초점을 맞춘 타원형으로 움직이며, 이 타원형은 지구 자체 내에 있는 반면, 지구(더 정확히 말하면, 그 중심)는 지구 내 같은 타원형에서 하나의 초점을 맞춘 타원형으로 움직인다. 바리 중심은 지구 중심에서 표면까지의 거리의 약 4분의 3이다.

게다가, 명왕성-채론 시스템은 지구-달 시스템 (그리고 태양계의 다른 모든 행성-달 시스템 또는 달이 없는 행성)과 마찬가지로 태양과의 중심 주위를 타원형으로 움직인다. 두 경우 모두 중추는 태양의 몸 안에 잘 있다.

2진수 별 두 개도 2진수 중심에서 포커스를 공유하는 타원형으로 이동한다. 애니메이션은 여기를 참조하십시오.

데카르티안과 카시니 난자

데카르트 타원형은 주어진 두 포커스에 대한 거리의 가중 합계가 일정한 각 점의 집합이다. 무게가 같을 경우 타원의 특별한 경우가 발생한다.

카시니 타원형은 주어진 두 개의 초점까지의 거리의 곱이 일정하게 나타나는 각각의 점들의 집합이다.

일반화

n-엘립스는 모두 n 포커스에 대한 거리의 합이 같은 점 집합이다(n = 2 케이스는 재래식 타원이다).

초점의 개념은 임의의 대수곡선으로 일반화될 수 있다. C는 클래스 m의 곡선이 되고 I와 J는 무한대의 원형 점을 나타내도록 한다. 각 I와 J를 통해 m 접선을 C에 그리십시오. m² 교차로점을 갖는 m 선은 두 세트로 되어 있는데, 경우에 따라서는 특이점 등으로 인한 예외도 있다. 이러한 교차점은 C의 초점으로 정의된다. 즉, PI와 PJ가 모두 C에 접하면 P점이 된다. C가 실제 곡선일 때는 공극 쌍의 교차점만 실제이기 때문에 실제 포커스와 m -m² 가상 포커스에 m이 있다. C가 원뿔형일 때, 이렇게 정의되는 진짜 초점은 정확히 C의 기하학적 구조에 사용될 수 있는 초점이다.

컨포칼 곡선

P₁, P₂, ..., P를_m 클래스 m의 커브 C에 포커스로 주어라. P는 이 점들의 접선 방정식의 산물이 되고 Q는 무한대의 원형 점들의 접선 방정식의 산물이 되게 하라. 그런 다음 P = 0과 Q = 0에 모두 공통 접선인 모든 선이 C에 접선된다. 그래서 AF+BG 정리에서는 C의 접선 방정식은 HP + KQ = 0의 형태를 가지고 있다. C는 등급 m을 가지므로 H는 상수와 K여야 하지만 m - 2보다 작거나 같은 정도를 가져야 한다. 사례 H = 0은 퇴행성으로 제거할 수 있으므로 C의 접선 방정식은 P + fQ = 0으로 작성할 수 있으며 여기서 f는 도 m 2의 임의 다항식이다.^[1]

예를 들어, m = 2, P₁ = (1,0), P₂ = (-1,0)로 한다. 접선 방정식은 X + 1 = 0이고 X - 1 = 0이므로 P = X - 1² = 0이다. 무한대의 원형점에 대한 접선 방정식은 X + iY = 0과 X - iY = 0이므로 Q = X + Y이다 ^{2 2}. 따라서 주어진 포커스를 가진 원뿔의 ² 접선 방정식은 X - 1 + c(X ² + Y ²) = 0 또는 (1 + c) X ² + cY ² = 1이고 여기서 c는 임의 상수다. 점 좌표에서 이것은

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{1+c}+{\frac {y^{2}}:{c}=1}}$

참조

• Hilton, Harold (1920). Plane Algebraic Curves. Oxford. p. 69.
• Weisstein, Eric W. "Focus". MathWorld.