디락 척도

수학에서 Dirac 척도는 고정 원소 x를 포함하는지 여부에 따라서만 한 세트에 크기를 할당한다. 그것은 물리학과 다른 기술 분야에서 중요한 도구인 디락 델타 함수의 개념을 공식화하는 한 방법이다.

정의

Dirac 측정치는 주어진 x ∈ X에 대해 정의된 세트 X(X의 하위 집합의 σ-algebra 포함) 및 (측정 가능한) 모든 ⊆ X에 대한 측정값이다_x.

${\displaystyle \delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{case}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{case}}}$

여기서 1은_A A의 표시기 기능이다.

Dirac 측정은 확률 측정이며, 확률 면에서 표본 공간 X에서 거의 확실한 결과 x를 나타낸다. 우리는 또한 x에서 측정치가 단일 원자라고 말할 수 있다. 그러나 디락 델타의 순차적 정의를 델타 시퀀스의 한계로 고려할 때 디락 델타(Dirac delta)를 원자 측정으로 취급하는 것은 옳지 않다. 디락 측정은 X에 대한 확률 측정의 볼록 집합의 극한 지점이다.

명칭은 Dirac 델타 함수의 백포메이션으로, 예를 들어 실선에서 슈워츠 분포로 간주된다. 특별한 종류의 분포로 조치를 취할 수 있다. 아이덴티

${\displaystyle \int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x(y)=f(x),}$

어떤 형태로든

${\d}y(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d}y=f(x),}$

종종 "델타 함수"의 정의의 일부로서, 르베그 통합의 정리로서 보유된다.

디락 측정값의 속성

Δ는_x 어떤 측정 가능한 공간(X, σ)에서 어떤 고정점 x를 중심으로 한 디락 측정치를 나타내도록 한다.

• Δ는_x 확률 측정값이며, 따라서 유한한 측정값이다.

(X, T)가 위상학적 공간이고 σ이 적어도 X의 보렐 σ-알제브라 σ(T)만큼 미세하다고 가정하자.

• Δ는_x 토폴로지 T가 예를 들어 사소한 토폴로지 {,, X}의 경우처럼 비어 있지 않은 모든 오픈 세트 내에 있는 경우에만 엄격하게 양의 측정값이다.
• Δ는_x 확률 측정이므로 국소적으로 유한한 측정이기도 하다.
• X가 보렐 σ-알제브라(Borel dor-algebra)를 가진 하우스도르프_x 위상학적 공간이라면, Δ는 내부 정규 척도가 되는 조건을 만족시키는데, 이는 {x}과 같은 싱글톤 세트가 항상 콤팩트하기 때문이다. 따라서 Δ도_x 라돈 측정값이다.
• 위상 T가 {x}이(가) 닫힐 정도로 괜찮다고 가정하면 Δ의_x 지원은 {x}이다. (그렇지 않으면 Δ_x)는 (X, T)에서 {x}의 닫힘이다. 더욱이 Δ는_x 지원 범위가 {x}인 유일한 확률 측정값이다.
• X가 일반적인 usual-알제브라와 n-차원 르베그 측정값 λ으로ⁿ n-차원 유클리드 공간ⁿ R인 경우 Δ는_x λ에ⁿ 관한 단수 측정값이다: 단순히 R을ⁿ A = Rⁿ = R \ {x}, B = {x}로 분해하고 Δ_x(A) = λⁿ(B) = 0임을 관찰한다.
• 디락 척도는 시그마 마무리 척도다.

일반화

이산형 척도는 디락 척도와 유사하지만, 단일 점 대신 카운트할 수 있는 여러 점에 집중되어 있다는 점을 제외하면 디락 척도는 디락 척도와 유사하다. 좀 더 형식적으로, 실제 라인에 관한 조치를 (레베스그 조치에 관해서) 그 지원이 기껏해야 카운트할 수 있는 세트라면 별개의 조치라고 한다.

참고 항목

• 이산측량
• 디라크 델타 함수

참조

• Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
• Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, δ". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6.