슬릿으로부터의 회절

파동에 영향을 미치는 회절 프로세스는 정량적 설명과 분석에 적합하다.이러한 치료법은 폭이 파장의 비율로 지정된 하나 이상의 슬릿을 통과하는 파장에 적용된다.프레스넬 및 프라운호퍼 근사를 포함하여 수치 근사를 사용할 수 있다.

일반 회절

회절은 모든 방해받지 않는 경로를 따라 (주어진 파장의) 모든 파장의 추가의 결과이기 때문에, 통상적인 절차는 일정한 경로(이 기여를 보통 파장이라고 한다)를 중심으로 무한히 작은 동네의 기여를 고려한 다음(=이 기여를 파장이라고 한다) 소스에서 th까지 모든 경로에 걸쳐 통합(=모든 파장 추가)하는 것이다.e 디텍터(또는 화면의 지정된 지점)

따라서 회절에 의해 생성되는 패턴을 결정하기 위해 각 파장의 위상과 진폭을 계산한다.즉, 우주의 각 지점에서 우리는 들어오는 파동의 각 단순한 선원에 대한 거리를 결정해야 한다.각 단순 선원에 대한 거리가 정수 수의 파장 수로 차이가 날 경우 모든 파장은 위상이 되어 건설적인 간섭을 초래하게 된다.각 선원에 대한 거리가 정수에 파장의 1/2을 더하면 완전한 파괴적 간섭이 있을 것이다.일반적으로 관측된 회절 효과를 설명하기 위해 이러한 미니마와 최대치를 결정하는 것으로 충분하다.

회절의 가장 간단한 설명은 상황을 2차원 문제로 줄일 수 있는 것이다.물파의 경우 물파가 수면에서만 전파되기 때문에 이미 그렇다.빛의 경우, 확산되는 물체가 파장보다 훨씬 큰 거리에 걸쳐 그 방향으로 확장된다면 우리는 종종 하나의 차원을 소홀히 할 수 있다.작은 원형 구멍을 통해 빛이 비추는 경우 우리는 문제의 완전한 3차원적 특성을 고려해야 할 것이다.

몇 가지 정성적 관찰은 일반적으로 회절로 이루어질 수 있다.

• 회절 패턴에서 형상의 각도 간격은 회절을 일으키는 물체의 치수에 반비례한다.즉, 회절되는 물체가 작을수록 결과 회절 패턴이 넓어지며, 그 반대도 넓어진다.(더 정확히 말하면, 이는 각도의 씨네에 해당된다.)
• 회절각은 스케일링 하에서는 불변한다. 즉, 회절되는 물체의 크기에 대한 파장의 비율에만 의존한다.
• 확산 물체가 예를 들어 회절 격자처럼 주기적인 구조를 가질 때, 특징은 일반적으로 더 날카로워진다.예를 들어, 네 번째 그림은 한 슬릿의 중심과 다음 슬릿 사이의 간격이 동일한 두 슬릿 집합의 5개의 슬릿으로 구성된 패턴의 이중 슬릿 패턴을 비교한 것이다.

근사치

확산파가 어떻게 생겼는지 계산하는 문제는 들어오는 파도 전선에서 각각의 단순한 선원의 위상을 결정하는 문제다.멀리 있는 영역이나 프라운호퍼 회절의 경우를 수학적으로 고려하기가 더 쉬운데, 여기서 관찰 지점이 회절 장애의 그것과 멀리 떨어져 있고, 그 결과, 보다 일반적인 근거리 영역이나 프레스넬 회절의 경우보다 덜 복잡한 수학을 수반한다.이 문장을 좀 더 정량적으로 만들려면, ${\displaystyle$\$a}$ ${\displaystyle 크기}$의 원점에서 확산되는 물체를 고려하십시오$.$ 명확하게 하기 위해 우리는 빛을 분산하고 있으며 물체로부터 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$\$L}$ 떨어진$$ 화면에서 강도에 관심이 있다고 말할 수 있다.화면의 어느 지점에서 물체의 한쪽으로의 경로 길이는 피타고라스 정리에 의해 주어진다.

${\displaystyle S={\sqrt {L^{2}+(x+a/2)^{2}}}}$^{[필요한 설명 필요]}

${\displaystyle 지금}$ ${\displaystyle L(}$ ( ${\displaystyle x}$+ a${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\displaystyle$\$L\gg (x+a/2)}$의 상황을 고려한다면$,$ 경로 길이는

${\displaystyle S\ 약 \left(L+{\frac {(x+a/2))^{2}}{2L}\오른쪽)=L+{\frac {x^{2}}:{2}L}}+{\frac {xa}{2L}}+{\frac{a^{2}}{8}L}}$

이것은 프레스넬 근사치 입니다.작업을 더욱 단순화하는 방법확산 물체가 거리 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$\$L}$보다 훨씬 작을 경우$,$ 마지막 용어는 경로 길이에 파장보다 훨씬 적게 기여하며, 그런 다음 위상을 눈에 띄게 변경하지 않을 것이다.$저것$은 2 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle {\frac{a^{2}}:{L}\ll \lambda}}.$그 결과는 프라운호퍼 근사치로, 물체로부터 아주 멀리 떨어져서만 유효하다.

${\displaystyle S\ 약 L+{\frac {x^{2}}:{2}L}}+{\frac {xa}{2L}}$

회절 물체의 크기, 물체와의 거리 및 파장, 프레스넬 근사치, 프라운호퍼 근사치 또는 어느 근사치도 유효하지 않을 수 있다.측정된 회절점과 방해점 사이의 거리가 증가함에 따라 예측된 회절 패턴이나 결과는 가시광선의 파장이 극히 작아 자연에서 더 자주 관찰되는 프라운호퍼 회절점 쪽으로 수렴한다.

다중 좁은 슬릿

간단한 정량적 설명

다중 슬릿 배열은 슬릿이 충분히 좁은 경우 수학적으로 다중 단순 파원으로 간주될 수 있다.빛의 경우 슬릿은 한 차원 무한히 확장된 개구부로, 이는 3D 공간의 파동 문제를 2D 공간의 단순한 문제로 줄이는 효과가 있다.가장 간단한 경우는 두 개의 좁은 슬릿으로, 간격을 ${\displaystyle 두고}$ a ${\displaystyle$\$a}$ 간격으로$$ 배치한 것이다.진폭에서 최대값과 최소값을 결정하려면 첫 번째 슬릿과 두 번째 슬릿에 대한 경로 차이를 결정해야 한다.프라운호퍼 근사치에서 관찰자가 슬릿으로부터 멀리 떨어져 있을 때, 두 슬릿에 대한 경로 길이의 차이는 이미지에서 볼 수 있다.

$\displaystyle \Delta S={a}\sin \theta }$

강도의 최대값은 이 경로 길이 차이가 파장의 정수일 때 발생한다.

$\displaystyle \{a}\sin \theta =n\da }$		어디에 ${\displaystyle n}$ $[\displaystyle$\$n}$은(는) 각 최대값의 순서를 표시하는 정수입니다. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle$\\ $\dada }$이(가) 파장이고, ${\displaystyle a}$ $[\displaystyle$\$a}$은(는) 슬릿 사이의 거리. ${\displaystyle 그리고}$ $【\displaystyle \\theta }$은(는) 건설적인 간섭이 발생하는 각도다.

해당 미니마는 정수 숫자에 파장의 1/2을 더한 경로 차이에 있다.

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ =${\displaystyle \lambda }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\$

일련의 슬릿의 경우, 미니마 및 최대 위치는 변경되지 않으며, 화면에 보이는 프링크는 이미지에서 볼 수 있듯이 더 날카로워진다.

수학적 설명

이 강도 패턴을 계산하려면 좀 더 정교한 방법을 도입할 필요가 있다.방사파의 수학적 표현은 다음과 같다.

$[\displaystyle \ E(r)=A\cos(kr-\omega t+\phi )/r}$

여기서 ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{2\pi }}{}}$ $\$ {$2\pi }{\$$lambda$ $}}},$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega}}$은 파장의 주파수, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$은 t=0의 슬릿에서 파장의 위상이다$$.슬릿의 평면에서 어느 정도 떨어진 스크린에서의 파도는 각 슬릿에서 나오는 파도의 합에 의해 주어진다.${\displaystyle 이\mathrm{}}$ 문제를 좀 더 쉽게 하기 위해 ${\displaystyle 우리}$는 E ${\displaystyle$$\Psi }$과$($와$)$ 같은 복잡한 파형을 도입한다.

${\displaystyle \Psi(r)=Ae^{i(kr-\omega t+\phi )}/r}$

${\displaystyle \ E(r)=Re(\PSI(r))}$

이 함수의 절대값은 파장 진폭을 제공하며, 함수의 복잡한 위상은 파장의 위상에 해당한다.${\displaystyle \mathrm{\psi }}$ ${\displaystyle \Psi }$을(를) 복합 진폭이라고 한다$$.${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$\$N}$ 슬릿을$$ 사용하는 경우 화면에$$ ${\displaystyle 나타나는}$ 포인트$$x {\$displaystyle$\ $x}$의 총 파형은

${\$$=Ae^{i(-\omega t+\phi )}\sum _{n=0}^{{n-1}{\frac {e^{e^{\sqrt{(x-na)^{2}+L^{2$$}$$}}}}{\sqrt{(x-na)^{2}+L^{2$$}$$}}}}}$.

Since we are for the moment only interested in the amplitude and relative phase, we can ignore any overall phase factors that are not dependent on ${\displaystyle \ x}$ or ${\displaystyle \ n}$. We approximate ${\displaystyle {\sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}\approx L$$+(x-na)^{2}/2L$ 프라운호퍼 제한에서 주문 조건을 무시할 수 있음: ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{L}{}}$ ${\$}지수 L$$$}$과(와) ${\displaystyle 분모}$에 /${\displaystyle }$L ${\displaystyle$\ a/$L}$ ${\displaystyle 또는}$ x$$/${\displaystyle L}$ {\$displaystyle$\ x$/L}$과(와) 관련된 모든 용어합이 되다

${\displaystyle \Psi =A{\frac {e^{i\왼쪽(k)({\frac {x^{2}}){2}L}}+L)-\omega t+\phi \오른쪽)}}}{L}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-ik{\frac {xna}{L}}}$

합은 기하학적 합의 형태를 가지고 있으며, 평가하여 줄 수 있다.

${\displaystyle \PSI =A{\frac {e^{i\왼쪽(k)({\frac {x^{2}-(N-1)ax}{2L}+L)-\omega t+\phi \right)}}{{{\\pi}}}}}}}{{{}}}}}}}{L}{{\frac {\sin \왼쪽({\frac {Nkax}{2)L}\오른쪽)}{\sin \leftfrac\frac {kax}{2L}\오른쪽)}}}$

강도는 제곱된 복합 진폭의 절대값으로 주어진다.

${\displaystyle I(x)=\PSI \PSI ^{*}= \PSI ^{2}=I_{0}\왼쪽({\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2)L}\오른쪽)}{\sin \leftfrac\frac {kax}{2L}}\오른쪽)}^{2}}$

여기서 ${\$는 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Psi }$의 복잡한 결합을 의미한다$.$

싱글 슬릿

예를 들어, 단일 슬릿 회전의 경우 각도의 함수로서 회절 패턴의 강도에 대해 정확한 방정식을 도출할 수 있다.

Huygens의 원리에 대한 수학적인 표현은 방정식을 시작하는 데 사용될 수 있다.

폭 a의 슬릿에 파장 $\lambda 사건$의 단색 복합 평면파 $\{\$을 고려한다.

슬릿이 원점에 있는 x′-y lies 평면에 있는 경우, 회절은 슬릿에서 떨어진 r 방향으로 방사상으로 이동하는 복합파 ψ을 발생시킨다고 가정할 수 있으며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \psi =\int _{\mathrm {slit}}{\frac {i}{r\lambda }}\psi^{\primate ^{-ikr}\,d\mathrm {slit}}}}}}}}$

(x′,y′,0)이 슬릿이 통합되고 있는 슬릿 내부의 지점이 되도록 한다.If (x,0,z) is the location at which the intensity of the diffraction pattern is being computed, the slit extends from ${\displaystyle x^{\prime }=-a/2}$ to ${\displaystyle +a/2\,}$, and from ${\displaystyle y'=-\infty }$ to ${\displaystyle \infty }$.

슬롯에서 r까지의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle r={\sqrt}\\좌(x-x^{\premy }\우)^{2}+y^{\premy 2}+z^{2}}}}}$

${\displaystyle r=z\왼쪽(1+{\frac(x-x^{\premy }\오른쪽)^{2}+y^{{z^{2}}\premy2}}\오른쪽)^{\frac {1}{1}{1}2}}:}$

프라운호퍼 회절이 결론 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gg }$ ${\displaystyle ({}^{}}$- x $displaystyle$ z$\g {\big }\left (x-x^{\prime }\right){\big$ $\}\}\}\}\}\}.$ 즉, 대상까지의 거리가 대상의 회절폭보다 훨씬 큰 것이다.이항 확장 규칙에 의해 2차 이상 항을 무시한 채 우측의 수량은 다음과 같이 추정할 수 있다.

${\displaystyle r\cHB(1+{\frac {1}{1}{2}}: {\frac(x-x^{\prime }\오른쪽)^{2}+y^{z^{2}}:}\오른쪽)}$

${\displaystyle r\preason z+{\fract}\\좌측(x-x^{\premy }\우측)^{2}+y^{\premy2}}:{2z}$

방정식 앞의 1/r이 비오실로스코프임을 알 수 있다. 즉, 강도의 크기에 대한 기여도가 우리의 지수적 요인에 비해 작다.따라서 1/z로 근사하게 계산하면 정확도가 거의 떨어지지 않을 것이다.

${\displaystyle \Psi \,}$	${\displaystyle ={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[z+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy^{\prime }\,dx^{\prime }}$
	${\displaystyle ={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy^{\prime }}$
	${\displaystyle =\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime }}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\,dx^{\prime }}$

물건을 더 깨끗하게 만들기 위해 자리 표시자 'C'를 사용하여 방정식의 상수를 나타낸다.C는 가상의 숫자를 포함할 수 있기 때문에 파동 기능이 복잡할 것이라는 점을 명심해야 한다.그러나 마지막에 ψ은 고사리(高理)가 되어 어떠한 상상적 요소도 제거될 것이다.

Now, in Fraunhofer diffraction, ${\displaystyle kx^{\prime 2}/z}$ is small, so ${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\approx 1}$ (note that ${\displaystyle x^{\prime }}$ participates in this exponential and it is being integrated).

${\displaystyle {\frac{이}{}}^{}}$와는 대조적으로 $e{\displaystyle {}^{\frac{}{}}}$- i ${\displaystyle {\frac{k}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}^{}}{\mathrm{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$z {\$displaystyle$e^{\$frac${-$ikx^{2}}:{2z}}$라는 용어는 괄호로 묶으면 1이 되기 때문에 방정식에서 제거할 수 있다$$.

${\displaystyle \langle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}} e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\rangle =e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}(e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}})^{*}=e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}e^{\frac {+ikx^{2}}{2z}}=e^{0}=1}$

($같은{\displaystyle {}^{}}$ 이유로 e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ z ${\$ e$^{-ikz})$라는 용어도 삭제했다$.$

$C{\displaystyle }$ =${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{z}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{\lambda }{}}}$ ${\$ C$=\psi ^{\prime ^}{\sqrt {\frac{i}{z\lambda }}}}}}$을(를) 복용하면 다음과 같은 결과가$$ 나타난다.

${\displaystyle \Psi \,}$	${\displaystyle =C\int _{-{\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikx^{\prime}}}{z}}\dx^{\prime}}}}}}}}$
	${\displaystyle =C{\frac {\frac(e^{\fracs}{2z}}-e^{\frac}{2z}\오른쪽){\frac {ikax}}{z}}}}{\frac {ikx}{z}}}}}}}}}}}}}}}}}:{\frac {na}$

오일러의 공식과 그 파생상품을 통해 ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle x=}$ ${\displaystyle \frac{e^{}}{}}$ ${\displaystyle x\frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{e^{}{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{e^{}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{i^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{i}{}}$ ${\$ x$={\e^{e^}-e^{-$ix$$$}}},$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{x}{}}$z {\$displaystyle$ \$sin \theta$= ${\frac {x}{$z$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$을 알 수 있다.

${\displaystyle \psi =aC{\frac {\frac {\ka\sin }{2}}:00}{{2}}: aC\좌측[\operatorname {sinc} \좌측({\frac {ka}\sin }{2}}\오른쪽)}}}}}}$

여기서 (비정규화된) sinc 함수는 ${\displaystyle \mathrm{sinc}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{e}}}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{}\stackrel{}{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$에 의해 정의된다$.$

$자{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$, 2 ${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}=k$ 강도(제곱 진폭)${\displaystyle }$θ각에서 확산 파동의 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle$ I$}$은(는) 다음을 통해 주어진다.

$I(\displaystyle I)(\theta )\,}$

${\displaystyle =I_{0}{\왼쪽[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}}}}\sin \theta \right]}^{2}}:$

다중 슬릿

Huygens의 원리에 대한 수학적인 표현으로부터 다시 시작합시다.

${\displaystyle \psi =\int _{\mathrm {slit}}{\frac {i}{r\lambda }}\psi^{\primate ^{-ikr}\,d\mathrm {slit}}}}}}}}$

$x{\displaystyle {}^{}}$$prime{\displaystyle }${\$displaystyle x^{\prime }$ 축을$$ 따라 펼쳐지는$$ $동일$한 크기의 기본 평면에서$$$N$ {\$displaystyle$ $N$$}$ 슬릿을$$ 고려하십시오$.$위와 같이 슬릿 1에서 $r$ ${\displaystyle$ r$}$의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle r=z\왼쪽(1+{\frac(x-x^{\premy }\오른쪽)^{2}+y^{{z^{2}}\premy2}}\오른쪽)^{\frac {1}{1}{1}2}}:}$

이를 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 슬릿으로$$ 일반화하기 위해 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$은(는) 일정하게 유지되는$$ $반면{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${$${\$displaystyle$ x$^{\prime}}}$은(는) 교대조씩$$ 교대한다고 관찰했다.

${\displaystyle x_{j=0\cdots n-1}^{\premy }=x_{0}^{\premy }-jd}$

그러므로

${\displaystyle r_{j}=z\좌(1+{\frac {\x^{\premy }-jd\오른쪽)^{2}+y^{{z^{2}}}\prime{1}{1}:{\frac {1}{1}2}}:}$

파형 기능에 대한 모든 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 기여도의$$ 합은 다음과 같다.

${\displaystyle \Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }}$

Again noting that ${\displaystyle {\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}}$ is small, so ${\displaystyle e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1}$, we have:

${\displaystyle \Psi \,}$	${\displaystyle =C\sum _{j=0}^{{N-1}\int _{-{\frac {a}{2}}:^{2}}e^{\frac {ikx\왼쪽(x^{}-jd\right)}{z}\,dx^{primeprim }}}}}}}}}}}}$
	${\displaystyle =aC\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^{{\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}}$
	${\displaystyle =aC\sum _{j=0}^{{N-1}e^{\fract{ijkxd}{z}}}{z}}}{\frac{2z}}{2z}}}}{\frac {2ikax}{2z}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
	${\displaystyle =aC{\jkd\sin {\frac {\ka\sin \theta}{2}}}{\frac {ka\sin }{2}}}\sum _{j=0}^{{n-1}e^{ijkd\sin \sin }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이제 우리는 다음과 같은 정체성을 사용할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{nx}}{1-e^{x}}}}}$

우리의 방정식으로 대체하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \Psi \,}$	${\displaystyle =aC{\frac {\frac {\ka\sin \theta}{2}}:}}{\frac {ka\sin }{2}}:}\좌({\frac {1-e^{i-ekd\sin }}}}}}{1-e^{ikd\}}}}}}}\오른쪽)}$
	${\displaystyle =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)}$
	${\displaystyle =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)}$
	${\displaystyle =aC{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin }{2}}\오른쪽){\frac {ka\sin }{2}}}{\frac {Nkd\sin }{2}}}}{\sin \reflprip)}}{\sin \왼쪽 \frac {kd\sin \theta }{2}}\오른쪽)}}}e^{i\왼쪽(N-1\오른쪽)kd{\frac{\sin \theta }{2}}:$

이제 이전과 같이 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$을(를) 대체하고 1-슬릿 회절에서와 $같이{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ 변수에$$ 의해 모든 비 스케일링 상수를 나타내며 결과를 괄호로 묶는다.그 것을 기억하라.

$\displaystyle \langle e^{ix}{\큰 }e^{ix}\rangele \ =e^{0}=1}$

이것은 우리가 미행 지수를 폐기할 수 있게 해주며 우리는 다음과 같은 답을 가지고 있다.

$왼쪽(\displaystyle I\left(\theta \right)=I_{0}\왼쪽[\operatorname {sinc} \pi a}{\lambda }}}{\lambda }}}{\lambda }}}{\cdot \좌측[{\frac {N\pi d}{\lambda \}}}}}}}오른쪽 \cdin \theeta \theeta \cda \cda \cda \cda \cda.}}{\sin \왼쪽 \frac {\pi d}}{\pida }}}}\sin \theta \오른쪽)}^{2}}:$

원거리장 일반사례

r이 본질적으로 일정한 먼 장에서 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \psi =\int _{\mathrm {slit}}{\frac {i}{r\lambda }}\psi^{\primate ^{-ikr}\,d\mathrm {slit}}}}}}}}$

장벽의 틈새에서 푸리에 변환을 수행하는 것과 같다.^[1]

참고 항목

• 회절 그링
• 봉투(파형)
• 푸리에 분석
• N-슬릿 간섭계
• 전파망원경

참조