프레넬 회절

광학에서 파도의 보급에 가까운 분야에서 적용할 수 있는 Kirchhoff–Fresnel한 회절, 근거 리장 회절의 프레넬 회절 하다.[1]그것은 회절 패턴 파도는 개구부 또는 정도에 비교적 가까운 거리에서 개체로 보는 개체를 통해 전달하여 만든 계산하는 데 사용됩니다.대조적으로 먼 분야 지역의 회절 패턴이 프라운 호퍼 회절 방정식에 의해서 주어진다.

그 가까운 분야는 광학 배열의 프레넬 수, F,에 의해 지정할 수 있다.언제 F{\displaystyle F\gg 1}1≫이 분산된 파도가 가까운 분야에 있는 것으로 간주된다.하지만, 프레넬 회절 적분의 유효성을 근사치 아래 파생에 의해 추론된다.특히 3급과 높은 단계 조건, 같이 쓸 수 있는 조건을 무시할 수 있어야 한다.

(\displaystyle {F\theta ^{2}}{4}}\ll 1,})

여기서 $\theta$ { $displaystyle \theta }$ 는 $\theta$ $\theta \approx a/L$ / $\theta \approx a/L$ L { $displaystyle \theta \approx$ a $/L$ $a$ $및$ L로 기술되는 최대 각도이며 플레넬 번호의 정의와 동일합니다.

중앙 아라고 지점을 나타내는 플레넬 회절

간격이 긴 주기적 융기(주름거울)에서 여러 개의 플레넬 회절은 경면 반사를 일으킵니다. 이 효과는 원자 ^[2]거울에 사용될 수 있습니다.

이 현상의 초기 치료

프레넬 회절이라고 알려지게 된 것에 대한 초기 연구 중 일부는 17세기에 이탈리아의 프란체스코 마리아 그리말디에 의해 수행되었다."빛"^[3]이라는 제목의 그의 논문에서는 리처드 C. 맥로린은 빛이 전파될 때 어떤 일이 일어나는지, 그리고 그 과정이 멀리 있는 광원에 의해 생성된 빔에 슬릿이나 구멍이 있는 장벽이 개입될 때 어떤 영향을 받는지 물어봄으로써 프레넬 회절을 설명한다.그는 Huygens의 원리를 고전적인 용어로 무엇이 일어나는지 조사하기 위해 사용합니다.슬릿에서 약간 떨어진 검출 스크린에 도달하는 파형 전선은 실제 물리적 가장자리와의 미세한 상호작용을 고려하지 않고 간격 영역을 가로질러 발생하는 파형 전선에 매우 근접합니다.

그 결과 간격이 매우 좁으면 중심부가 밝은 회절 패턴만 발생할 수 있습니다.간격이 점차 넓어지면 어두운 중심을 가진 회절 패턴과 밝은 중심을 가진 회절 패턴이 번갈아 나타납니다.갭이 커짐에 따라 더 이상 회절효과를 검출할 수 없을 때까지 다크밴드와 라이트밴드의 차이는 감소한다.

맥로린은 작은 구멍을 통해 빛이 비칠 때 생성되는 일련의 회절 고리의 중심이 검은색일 수 있다는 가능성을 언급하지 않았지만, 그는 작은 원형 물체에 의해 생성된 그림자가 역설적으로 밝은 중심을 가질 수 있는 역 상황을 지적한다.

Francis Weston Sears는 ^[4]광학에서 회절 패턴의 주요 특징을 예측하고 단순한 수학만을 사용하는 프레넬이 제안한 수학적 근사치를 제공합니다.또, 입사광의 파장과 함께 장벽 스크린의 구멍으로부터 근방의 검출 스크린까지의 수직 거리를 고려하면, 반주기 소자 또는 플레넬 존이라고 불리는 다수의 영역을 산출할 수 있다.내부 구역은 원이고 이후의 각 구역은 동심원 고리입니다.화면의 원형 구멍 직경이 첫 번째 또는 중앙 플레넬 영역을 노출하기에 충분한 경우, 검출 화면 중앙의 빛의 진폭은 검출 화면이 방해받지 않았을 때의 두 배가 됩니다.화면의 원형 구멍 직경이 두 개의 플레넬 구역을 노출하기에 충분한 경우 중앙의 진폭이 거의 0입니다.즉, 플레넬 회절 패턴은 어두운 중심을 가질 수 있습니다.이러한 패턴은 보고 측정할 수 있으며 계산된 값과 잘 일치합니다.

플레넬 회절 적분

좌표계가 있는 조리개(또는 회절 물체) 평면과 이미지 평면을 보여주는 회절 형상.

점(x, y, z)에서의 전계 회절 패턴은 다음과 같이 구한다.

{\displaystyle E\left(x,y,z\right)=syfrac {1}{i\infty}^{+\infty}{E\left(x',y',0\right){\frac {e^{ikr}}}{\fracz}{\frac}}dy}dy}dy}dy

어디에

$E\left(x',y',0\right)\,$ ( $E\left(x',y',0\right)\,$ $E\left(x',y',0\right)\,$ , $E\left(x',y',0\right)\,$ , $E\left(x',y',0\right)\,$ ) { $displaystyle$ E \ $left$ ( $x$ ' , $y$ ' , $0$ \ $right$ ) }는 $E\left(x',y',0\right)\,$ 개구부의 전계입니다.
$displaystyle$ $r={\sqrt {\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2}+z^{2}}}\,$
$k\,$ { $display style$ k , $k\,$ }는 $k\,$ $2\pi /\lambda \,$ 2 $2\pi /\lambda \,$ / $（$ \ $display style$ 2 \ $pi$ / \ displayda ; $2\pi /\lambda \,$ 입니다.
$($ i $)$ 는 $i\,$ 상상의 단위입니다.

이 적분의 해석해는 가장 단순한 회절기하학을 제외한 모든 기하학에서 빠르게 실용적으로 복잡해집니다.따라서 보통 숫자로 계산됩니다.

플레넬 근사

레일리-소머펠트 방정식, (근축) 프레넬 근사 및 (원거리) 프라운호퍼 근사에서 얻은 회절 패턴의 비교.

적분을 푸는 주된 문제는 r의 표현이다.첫째, 치환을 도입함으로써 대수를 단순화할 수 있다.

\displaystyle \rho ^{2}=\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^2},}

r의 식에 대입하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

r=sqrt {rho ^{2}+z^{2}}=zqrt {1+{\frac {rho ^{2}}}}}

다음으로, 이항 확장에 의해,

{1+u}=(1+u)^{\frac {1}{2}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}+\cdots

r $\displaystyle$ r은 다음과 $r$ 같이 $r$ 할 수 있습니다.

({displaystyle {rho ^{2} } {\frac {rho ^{2}} {z^{2}})\&=z\left[1+{\frac {rho ^{2}}-{\frac {1}{8}\left\frac {rho ^{2}}} {\frac {\frh } {\frh } {\frh } } } } } {\fright} {\frh } } } } } } {\frh

이항 급수의 모든 항을 고려하면 ^[5]근사치가 없습니다.적분 내의 지수 인수에 이 식을 대입해 봅시다.프레넬 근사치의 핵심은 세 번째 항이 매우 작으며 무시될 수 있으며, 따라서 더 높은 차수를 갖는다고 가정하는 것입니다.이를 가능하게 하기 위해서는 거의 영에 가까운 항에 대한 지수 변동에 기여해야 합니다.즉, 복소수 지수 기간보다 훨씬 작아야 합니다. $2\pi$ , 2 $†$ (\ $display style 2$ \pi $)$ :

kho^{4}{8z^{3}}\ll 2\pi

k를 파장으로 표현하고,

k=syslogfrac {2\pi}{\syslogda }

다음과 같은 관계를 얻을 수 있습니다.

(\displaystyle\frac{rho^{4}}{z^{3}\sqda}}\ll 8})

양 $z^{3}/\lambda ^{3}$ 에 $z^{3}/\lambda ^{3}$ z 3 / ${\$ $z^{3}/\lambda ^{3}$ 을 곱하면({ $displaystyle z^{$ 3}/\ $lambda ^{3$ 다음과 같이 됩니다.

(\displaystyle {\frac ^{4}}{\ll 8gfrac {z^{3}}}{\frac ^{3}}})

$\rho ^{2}$ § 2 $(\$ ^{ $2$ 의 이전 표현으로 대체하여

{{displaystyle {1}{\fracda ^{4}}\left[\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2}\ll 8gfrac {z^{3}}}}}}

이 조건이 x, $x',$ $y$ 및 $y'$ 의 $모든$ 값에 대해 참이면 Taylor 식에서 세 번째 항을 무시할 수 있습니다.게다가 3번째 조건이 무시할 수 있는 경우, 상위 조건은 모두 작아지기 때문에 무시할 수 있습니다.

광학 파장을 수반하는 애플리케이션의 경우, 일반적으로 파장 $θ$ 는 관련된 물리 치수보다 훨씬 작은 크기입니다.특히:

\displaystyle \ll z

그리고.

\displaystyle \ll \rho }

따라서, 실제적인 문제로서, 요구되는 불평등은 항상 진실일 것이다.

\displaystyle \rho \ll z

그런 다음 처음 두 개의 항만 사용하여 식을 근사할 수 있습니다.

r\approx z+{\frac {rho ^{2z}}={\frac {\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2z}}}

이 방정식은 플레넬 근사치이며, 위에 언급된 부등식은 근사치의 유효성에 대한 조건이다.

플레넬 회절

유효성에 대한 조건은 매우 약하며, 경로 길이에 비해 개구부가 작으면 모든 길이 파라미터가 동등한 값을 취할 수 있습니다.분모의 $r$ 에 대해서는 한 걸음 더 나아가 첫 번째 항인 $r\approx z$ $r\approx z$ z $r\approx z$ $display style$ r \ $about$ z $r\approx z$ only만으로 근사합니다. $이$ 는 특히 x와 y 값이 z보다 $훨씬$ 작은 원점에 가까운 작은 영역에서의 필드 동작에만 관심이 있는 경우에 유효합니다.일반적으로 플레넬 회절은 플레넬 번호가 약 1일 때 유효합니다.

플레넬 회절의 경우 지점 $(x,y,z)$ , $(x,y,z)$ , $(x,y,z)$ )의 전계({displaystyle $(x,y,z)})$ 는 $(x,y,z)$ 다음과 같이 구합니다.

(\displaystyle E(x,y,z)=frac {e^{ikz}{i\infty}^{-\infty}{+\infty}}E^{\left(x',y',0\right){\frac {2z}\left[\left(x-x-x'\y)\y+y^2})

롬멜 함수로 플롯된 원형 개구부의 플레넬 회절

이것은 플레넬 회절 적분입니다.프레넬 근사가 유효할 경우 전파장이 개구부에서 시작하여 z를 $따라$ 이동하는 구형 파형임을 의미합니다.적분은 구형파의 진폭과 위상을 변조합니다.이 식의 해석적 해법은 여전히 드문 경우에만 가능합니다.회절 선원에서 훨씬 더 먼 거리에 대해서만 유효한 더 간단한 경우는 Fraunhofer 회절을 참조하십시오.프라운호퍼 회절과 달리 플레넬 회절은 간섭파의 상대위상을 정확하게 계산하기 위해 파면의 곡률을 설명한다.

대체 양식

컨볼루션

적분은 몇 가지 수학적 특성을 사용하여 계산하기 위해 다른 방법으로 표현할 수 있습니다.다음 함수를 정의하는 경우:

h(x,y,z)=paramfrac {e^{ikz}{i\paramda z}}e^{i\paramfrac {k}{2z}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}

적분은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z)

즉, 우리는 선형 필터 모델링을 사용하여 전파를 표현하고 있습니다.그렇기 때문에 $h(x,y,z)$ ( $h(x,y,z)$ , y $h(x,y,z)$ , z $){$ $displaystyle$ h ( $x$ , $y$ , $z$ )를 $h(x,y,z)$ 자유 공간 전파의 임펄스 응답이라고 부를 수 있습니다.

푸리에 변환

다른 가능한 방법은 푸리에 변환을 사용하는 것입니다.적분에서는 k를 파장으로 $표현$ 하면 다음과 같습니다.

k=syslogfrac {2\pi}{\syslogda }

가로 변위의 각 성분을 확장한다:

{{displaystyle {displaystyle }\left(x-x'\right)^{2}+{x'+{x'',\\left(y-y'\right)^{2}+{y'^{2}-2y',\end{aligned}}

2차원 푸리에 변환의 관점에서 적분을 표현할 수 있습니다.다음 정의를 사용합니다.

G(p,q)=mathcal {F}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \iint_{-\infty}{\infty}g(x,y)e^{-i2\pi(px+qy)},dy,dy,

$여기$ 서 $p$ 와 q는 공간 주파수(파수)입니다.플레넬 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

(\displaystyle\begin{aligned}E(x,y,z)&=왼쪽).({frac {e^{ikz}}{i\frac z}}e^{i\frac {pi }{\hibda z}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\mathcal {F}\left\{E(x',y',0)e^{i\frac {\pi}{\da z}}}})

즉, 먼저 전파되는 필드에 복소지수를 곱한 후 2차원 푸리에 변환을 계산하고 ( $(p,q)$ , $q$ ) { $displaystyle ($ p $,$ $\left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)$ ) } 를 $(p,q)$ ( $\left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)$ $\left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)$ $\left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)$ $\left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)$ ) { $displaystyle \left$ ( { \ $tfrac$ { $x$ } { \ $lambda$ z} , { \ $tfrac$ { \ $lambda$ } \ $light$ } )로 $\left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)$ $(p,q)$ 바꿉니다.이 식은 프로세스가 알려진 푸리에 변환으로 이어지고 아래에서 설명하는 선형 표준 변환에서 푸리에 변환과의 연결이 강화될 때 다른 표현보다 좋습니다.

선형 표준 변환

선형 표준 변환의 관점에서 프레넬 회절은 푸리에 변환이 시간 주파수 영역에서의 회전인 것에 대응하는 시간 주파수 영역에서의 전단이라고 볼 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ M. Born & E. Wolf, Principes of Optics, 1999, 케임브리지 대학 출판부, 케임브리지
^ http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PhysRevLett_94_013203.pdf H.Overst, D.Kouznetsov, K.시미즈, J. 후지타, F.시미즈.원자파용 플레넬 회절 거울, Physical Review Letters, 94, 013203(2005).
^ https://archive.org/details/lightrichard00maclrich 라이트 (Richard C)맥로린, 1909년 컬럼비아 대학 출판부
^ 광학, 프란시스 웨스턴 시어스, 248ff, 애디슨-웨슬리,
^ $e^{ikr}/r$ k $e^{ikr}/r$ / $e^{ikr}/r$ r \ $displaystyle$ e $^{ikr}/r$ 을 실제 $e^{ikr}/r$ 파형으로 $e^{ikr}/r$ 할 때 이전 단계에서 실제로 근사치가 있었다.사실 이것은 벡터 헬름홀츠 방정식에 대한 실제 해답이 아니라 스칼라 방정식에 대한 해답입니다.'스칼라파 근사' 참조

레퍼런스

Goodman, Joseph W. (1996). Introduction to Fourier optics. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-024254-2.

[1] M. Born & E. Wolf, Principes of Optics, 1999, 케임브리지 대학 출판부, 케임브리지

[2] ttp://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PhysRevLett_94_013203.pdf H.Overst, D.Kouznetsov, K.시미즈, J. 후지타, F.시미즈.원자파용 플레넬 회절 거울, Physical Review Letters, 94, 013203(2005).

[3] ttps://archive.org/details/lightrichard00maclrich 라이트 (Richard C)맥로린, 1909년 컬럼비아 대학 출판부

[4] 광학, 프란시스 웨스턴 시어스, 248ff, 애디슨-웨슬리,

[5] $e^{ikr}/r$ k $e^{ikr}/r$ / $e^{ikr}/r$ r \ $displaystyle$ e $^{ikr}/r$ 을 실제 $e^{ikr}/r$ 파형으로 $e^{ikr}/r$ 할 때 이전 단계에서 실제로 근사치가 있었다.사실 이것은 벡터 헬름홀츠 방정식에 대한 실제 해답이 아니라 스칼라 방정식에 대한 해답입니다.'스칼라파 근사' 참조

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