뎀스터-샤퍼 이론

근거 이론 또는 Dempster-Shafer 이론(DST)이라고도 하는 믿음 기능 이론은 불확실성을 가진 추론을 위한 일반적인 프레임워크로서, 확률, 가능성, 부정확한 확률 이론과 같은 다른 프레임워크에 대한 이해된 연결을 가지고 있다. 아서 P에 의해 처음 소개되었다. 통계적 추론의 맥락에서 뎀스터는^[1] 나중에 글렌 샤퍼에 의해 인식적 불확실성을 모델링하기 위한 일반적인 틀, 즉 수학적 증거 이론으로 발전되었다.^[2][3] 그 이론은 다른 출처에서 나온 증거를 결합하여 이용할 수 있는 모든 증거를 고려하는 믿음의 정도(믿음함수라고 하는 수학적 대상에 의해 표현됨)에 도달할 수 있게 한다.

좁은 의미에서 뎀스터-샤퍼 이론이라는 용어는 뎀스터와 샤퍼에 의한 이론의 원래 개념을 가리킨다. 그러나, 특정 종류의 상황에 적응한 것처럼, 동일한 일반적 접근법의 넓은 의미에서 이 용어를 사용하는 것이 더 일반적이다. 특히, 많은 저자들은 증거의 충돌을 더 잘 다루기 위해 종종 증거를 결합하기 위한 다른 규칙들을 제안했다.^[4] 초기 기여는 또한 전이 가능한 믿음 모델과 힌트 이론을 포함한 많은 중요한 발전의 출발점이 되었다.^[5]

개요

뎀스터-샤퍼 이론은 주관적 확률의 베이시안 이론을 일반화한 것이다. 믿음 함수는 관련 질문에 대한 주관적 확률에 대한 하나의 질문에 대한 믿음의 정도(또는 자신감 또는 신뢰)를 기초로 한다. 믿음의 정도 자체는 확률의 수학적 특성을 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있다; 그들이 얼마나 다른지는 두 문제가 얼마나 밀접하게 연관되어 있는지에 달려있다.^[6] 다른 방법으로 말하면, 그것은 인식론적 그럴듯함을 표현하는 방법이지만, 그것은 확률 이론을 사용하여 도달한 그것들과 모순되는 대답을 산출할 수 있다.

센서 융합 방법으로 자주 사용되는 뎀스터-샤퍼 이론은 관련 질문에 대한 주관적 확률에서 한 질문에 대한 믿음의 정도를 얻는 것과 독립적인 증거 항목에 기초할 때 그러한 믿음의 정도를 결합하는 뎀스터의 법칙이라는^[7] 두 가지 생각에 기초한다. 본질적으로, 명제에 대한 믿음의 정도는 명제를 포함하는 (관련 질문에 대한) 답변의 수와 각 답변의 주관적 확률에 주로 달려 있다. 데이터에 대한 일반적인 가정을 반영하는 조합 규칙도 기여한다.

이 형식주의에서 믿음의 정도(일명 질량이라고도 함)는 베이지안 확률 분포보다는 믿음 함수로 표현된다. 확률 값은 단일 사건보다는 가능성 집합에 할당된다. 그들의 호소는 그들이 명제에 유리한 증거를 자연적으로 암호화한다는 사실에 달려 있다.

뎀스터-샤퍼 이론은 그 중량을 시스템을 구성하는 명제의 모든 하위 집합(세트 이론적 용어, 명제의 힘 집합)에 할당한다. 예를 들어 시스템에 관련된 질문 또는 제안이 두 개 있는 상황을 가정해 보십시오. 이 시스템에서, 모든 믿음 함수는 첫 번째 명제, 두 번째 명제, 둘 다 또는 둘 다에 질량을 할당한다.

믿음과 신뢰성

샤퍼의 형식주의는 고려 중인 일련의 가능성으로부터 시작된다. 예를 들어 변수의 수치적 가치나 "유물의 날짜와 장소"와 같은 언어 변수 쌍(고미술품인지 최근의 가짜인지를 묻는 것)이다. 가설은 (명나라, 중국) 또는 (19세기, 독일)^{[2]: p.35f.} 과 같이 이러한 분별의 틀의 부분집합으로 표현된다.

Shafer의 프레임워크는 그러한 명제에 대한 믿음이 믿음(또는 지지)과 신뢰성이라는 두 가지 가치로 경계를 이루며 간격로 표현될 수 있도록 한다.

믿음 ≤ 타당성.

첫 번째 단계에서 주관적 확률(질량)은 프레임의 모든 하위 집합에 할당된다. 일반적으로 제한된 수의 집합만 0이 아닌 질량(초점 요소)을 갖는다.^{[2]: 39f.} 가설에 대한 믿음은 가설 집합의 모든 부분 집합의 질량의 합으로 구성된다. 주어진 가설이나 보다 구체적인 가설 중 하나를 직접 지지하여 그 확률에 하한을 형성하는 믿음의 양이다. 믿음(일반적으로 Bel로 표현됨)은 명제 p에 유리한 증거의 강도를 측정한다. 이 범위는 0(증거 없음)부터 1(확실성 표시)까지입니다. 신뢰성은 1에서 가설과의 교차점이 비어 있는 모든 집합의 질량의 합을 뺀 값이다. 또는 가설과의 교차점이 비어 있지 않은 모든 집합의 질량의 합으로 얻을 수 있다. 가설은 사실일 수 있는 가능성에 대한 상한값으로, 즉 그 가설과 모순되는 증거가 너무 많기 때문에 그 값까지 "아마도 시스템의 실제 상태일 수 있다"는 것이다. 신뢰성(Pl로 표시됨)은 Pl(p) = 1 - Bel(~p)로 정의된다. 또한 0부터 1까지이며 ~p에 찬성하는 증거가 p에 대한 믿음의 여지를 남기는 정도를 측정한다.

예를 들어, 우리가 제안으로 0.5를 믿는다고 가정하자, "상자 속의 고양이는 죽었다"고 하자. 0.5의 자신감으로 명제가 사실임을 강력히 진술할 수 있는 증거를 확보했다는 뜻이다. 그러나 그 가설(즉, "고양이는 살아있다")에 반하는 증거는 0.2의 자신감밖에 없다. 나머지 질량 0.3(한편에는 0.5를 뒷받침하는 증거와 다른 쪽에는 0.2의 반대 증거 사이의 간격)은 '미확정'으로, 고양이가 죽거나 살아 있을 수 있다는 뜻이다. 이 간격은 시스템의 증거에 기초한 불확실성의 수준을 나타낸다.

Hypothesis	Mass	Belief	Plausibility
Null (neither alive nor dead)	0	0	0
Alive	0.2	0.2	0.5
Dead	0.5	0.5	0.8
Either (alive or dead)	0.3	1.0	1.0

The null hypothesis is set to zero by definition (it corresponds to "no solution"). The orthogonal hypotheses "Alive" and "Dead" have probabilities of 0.2 and 0.5, respectively. This could correspond to "Live/Dead Cat Detector" signals, which have respective reliabilities of 0.2 and 0.5. Finally, the all-encompassing "Either" hypothesis (which simply acknowledges there is a cat in the box) picks up the slack so that the sum of the masses is 1. The belief for the "Alive" and "Dead" hypotheses matches their corresponding masses because they have no subsets; belief for "Either" consists of the sum of all three masses (Either, Alive, and Dead) because "Alive" and "Dead" are each subsets of "Either". The "Alive" plausibility is 1 − m (Dead): 0.5 and the "Dead" plausibility is 1 − m (Alive): 0.8. In other way, the "Alive" plausibility is m(Alive) + m (Either) and the "Dead" plausibility is m(Dead) + m(Either). Finally, the "Either" plausibility sums m(Alive) + m(Dead) + m(Either). The universal hypothesis ("Either") will always have 100% belief and plausibility—it acts as a checksum of sorts.

Here is a somewhat more elaborate example where the behavior of belief and plausibility begins to emerge. We're looking through a variety of detector systems at a single faraway signal light, which can only be coloured in one of three colours (red, yellow, or green):

Hypothesis	Mass	Belief	Plausibility
Null	0	0	0
Red	0.35	0.35	0.56
Yellow	0.25	0.25	0.45
Green	0.15	0.15	0.34
Red or Yellow	0.06	0.66	0.85
Red or Green	0.05	0.55	0.75
Yellow or Green	0.04	0.44	0.65
Any	0.1	1.0	1.0

Events of this kind would not be modeled as disjoint sets in probability space as they are here in mass assignment space. Rather the event "Red or Yellow" would be considered as the union of the events "Red" and "Yellow", and (see probability axioms) P(Red or Yellow) ≥ P(Yellow), and P(Any) = 1, where Any refers to Red or Yellow or Green. In DST the mass assigned to Any refers to the proportion of evidence that can not be assigned to any of the other states, which here means evidence that says there is a light but does not say anything about what color it is. In this example, the proportion of evidence that shows the light is either Red or Green is given a mass of 0.05. Such evidence might, for example, be obtained from a R/G color blind person. DST lets us extract the value of this sensor's evidence. Also, in DST the Null set is considered to have zero mass, meaning here that the signal light system exists and we are examining its possible states, not speculating as to whether it exists at all.

믿음의 결합

서로 다른 출처의 믿음은 다양한 퓨전 연산자와 결합하여, 예를 들어 힌트를^[5] 결합하거나 선호를 결합하는 경우와 같이 독립적인 믿음 출처에 의해 지시되는 믿음 제약조건을^[8] 결합하는 뎀스터의 조합 규칙과 같은 구체적인 상황들을 모델링할 수 있다.^[9] 서로 모순되는 명제의 확률 질량은 독립적 믿음 출처 사이의 갈등의 척도를 얻기 위해 사용될 수 있다는 점에 유의한다. 다른 상황들은 다른 퓨전 연산자로 모델링될 수 있다. 예를 들어, 누적 퓨전 연산자와 함께 모델링할 수 있는 독립 출처로부터의 믿음의 누적 퓨전이다.^[10]

뎀스터의 조합 법칙은 때때로 베이즈 통치의 대략적인 일반화로 해석되기도 한다. 이 해석에서는 대칭(미니맥스 오차) 인수를 사용하여 무작위 변수에 사전 확률을 할당하는(예: 어떤 정보를 사용할 수 없는 이진수 값에 0.5를 할당하는) 기존 베이지안 방식과는 달리 사전 및 조건부는 지정할 필요가 없다. 그러나 누락된 이전 정보와 조건들에 포함된 모든 정보는 간접적으로 얻을 수 없는 한 뎀스터의 조합 규칙에서 사용되지 않으며, 그 다음 베이즈 방정식을 사용하여 계산에 이용할 수 있다.

뎀스터-샤퍼 이론은 단합을 더하는 사전 확률을 제공하도록 강요 받는 대신 이 상황에서 무지의 정도를 명시할 수 있게 한다. 이런 종류의 상황, 그리고 위험과 무지의 진정한 구분이 있는지 여부는 통계학자와 경제학자에 의해 광범위하게 논의되어 왔다. 예를 들어, 다니엘 엘스버그, 하워드 라이파, 케네스 애로우, 프랭크 나이트의 대조적인 견해를 보라.^{[citation needed]}

형식 정의

X를 우주로 하자: 고려 중인 시스템의 모든 가능한 상태를 나타내는 집합. 전원 세트

${\displaystyle 2^{X}\,\!}$

빈 집합${\displaystyle \mathrm{}}$▼ ${\displaystyle \emptyset }$을(를) 포함한 X의 모든 하위 집합 집합$.$ 예를 들어 다음과 같은 경우:

$X=\left\{a, b\right\}\,\!}$

그때

${\displaystyle 2^{X}=\왼쪽\{\emptyset,\왼쪽\{a\right\}\왼쪽\{b\right\},X\right\},}$

파워 세트의 요소는 명제가 참인 모든 상태와 유일한 상태를 포함함으로써 시스템의 실제 상태에 관한 명제를 나타내는 것으로 취할 수 있다.

증거 이론은 세트의 각 요소에 믿음의 덩어리를 할당한다. 형식적으로, 함수

${\displaystyle m:2^{X}\오른쪽 화살표 [0,1]\,\!}$

두 가지 성질을 가지고 있을 때, 기본 신념 할당(BBA)이라고 불린다. 첫째, 빈 세트의 질량은 0:

$(\displaystyle m(\emptyet )=0.\,\!}$

둘째로, 전원 집합의 모든 구성원의 질량은 총 1로 합한다.

${\displaystyle \sum _{A\in 2^{X}m(A)=1\,\!}$

동력 집합의 주어진 멤버인 A의 질량 m(A)은 실제 상태가 A에 속하지만 A의 특정 부분 집합에 속하지 않는다는 주장을 뒷받침하는 모든 관련 및 가용 증거의 비율을 나타낸다. m(A)의 값은 A 집합에만 관련되며, A의 하위 집합에 대한 추가 클레임은 없으며, 각 하위 집합은 정의상 자체 질량을 갖는다.

질량 할당에서 확률 구간의 상한과 하한을 정의할 수 있다. 이 간격은 (고전적 의미에서의) 관심 집합의 정확한 확률을 포함하며, 믿음(또는 지원)과 신뢰성이라고 하는 두 가지 비첨가적 연속적 조치에 의해 제한된다.

${\displaystyle \operatorname {bel}(A)\leq P(A)\leq \operatorname {pl}(A).}$

A 집합에 대한 믿음 bel(A)은 관심 집합의 모든 하위 집합 질량의 합으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {bel}=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B).\,}$

신뢰성 플(A)는 관심 집합 A를 교차하는 집합 B의 모든 질량의 합이다.

$\displaystyle \operatorname {pl}(A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \emptyset }m(B).\,}$

이 두 가지 조치는 다음과 같이 서로 관련된다.

${\displaystyle \operatorname {pl}(A)=1-\operatorname {bel}({\overline {A})\,}$

그리고 반대로 유한 A의 경우, A의 모든 하위 집합 B에 대한 믿음 측정 bel(B)을 고려할 때 다음과 같은 역함수를 갖는 질량 m(A)을 찾을 수 있다.

${\displaystyle m(A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}(1)^{ A-B }\\operatorname {bel}(B)\,}$

여기서 A - B는 두 집합의 추기경의 차이다.^[4]

유한 집합 X의 경우, 나머지 두 개의 값을 추론하기 위해 세 개의 값(질량, 믿음 또는 신뢰성) 중 하나만 알면 되지만, 특정 집합에 대한 다른 값 중 하나를 계산하기 위해서는 많은 집합의 값을 알아야 할 필요가 있을 수 있다는 것은 마지막 두 방정식에서 비롯된다. 무한 X의 경우, 잘 정의된 믿음과 신뢰성 함수는 있을 수 있지만 잘 정의된 질량 함수는 있을 수 없다.^[11]

뎀스터의 조합 법칙

우리가 지금 직면하고 있는 문제는 특정한 상황에서 두 개의 독립적인 확률 질량 할당을 어떻게 결합하는가 하는 것이다. 힌트를 주는 경우나 선호를 표현하는 경우 등 신념 제약의 관점에서 프레임 위에 서로 다른 출처가 자신의 신념을 표현하는 경우, 뎀스터의 조합 법칙이 적절한 융합 연산자다. 이 규칙은 복수의 출처 간에 공통된 믿음을 도출하고, 정상화 요소를 통해 상충되는 (공유되지 않은) 모든 믿음을 무시한다. 믿음 제약조건의 결합이 아닌 다른 상황에서 이 규칙을 사용하는 것은, 제약조건이 아닌 누적된 방식으로 통합되어야 하는 복수의 출처로부터 분리된 믿음 추정치를 융합하는 경우처럼 심각한 비판을 받게 되었다. 누적 핵융합은 다른 출처의 모든 확률 질량이 파생된 믿음에 반영되므로 확률 질량은 무시되지 않는다는 것을 의미한다.

구체적으로는 다음과 같은 방법으로 조합(이음 질량이라 함)을 두 세트의₂ 질량 m과₁ m에서 계산한다.

${\displaystyle m_{1,2}(\emptyet )=0\,}$

${\displaystyle m_{1,2}(A)=(m_{1}\oplus m_{2})(A)={\frac {1}{1-K}\sum_{B\cap C=A\neq \empt }m_{1}(B)_{2}(C)\,\!}$

어디에

${\displaystyle K=\sum _{B\cap C=\emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C)\,}$

K는 두 질량 집합 사이의 갈등의 양을 나타내는 척도다.

갈등의 영향

위의 정규화 요인 1 - K는 충돌을 완전히 무시하고 충돌과 관련된 질량을 null 집합으로 귀속시키는 효과가 있다. 따라서 증거에 대한 이 조합 규칙은 다음에 보여주듯이 직관에 반하는 결과를 낳을 수 있다.

높은 충돌의 경우 올바른 결과 생성 예제

다음의 예는 뎀스터의 규칙이 갈등이 높은 상황에서도 선호 융합 상황에서 적용할 때 직관적인 결과를 어떻게 도출하는지를 보여준다.

앨리스와 밥이라는 두 친구가 어느 날 저녁 영화관에서 영화를 보고 싶어하고, 상영하는 영화가 X, Y, Z 세 편뿐이라고 가정해 보자. 앨리스는 영화 X에 대한 선호를 확률 0.99로 표현하고, 영화 Y에 대한 선호를 확률은 0.01에 불과하다. 밥은 확률 0.99로 영화 Z에 대한 선호를, 확률 0.01에 불과한 영화 Y에 대한 선호를 표현한다. 선호도를 뎀스터의 조합 규칙과 결합하면, 그들의 조합 선호도를 합치면 필름 Y의 확률 1.0이 된다는 것이 밝혀졌는데, 이는 이 영화가 그들 둘 다 보는데 동의하는 유일한 영화이기 때문이다.

뎀스터의 조합 법칙은 이런 식으로 해석될 때 완전히 상반되는 신념이 있는 경우에도 직관적인 결과를 만들어낸다. 앨리스가 확률 1.0의 필름 X를 선호하고, 밥이 확률 1.0의 필름 Z를 선호한다고 가정해 보자. 그들의 선호도를 뎀프스터의 규칙과 결합하려고 할 때, 이 경우 정의되지 않은 것으로 밝혀져 해결책이 없다는 뜻이다. 이것은 그들이 어떤 영화도 함께 보는 것에 동의할 수 없다는 것을 의미할 것이고, 그래서 그들은 그날 저녁에 함께 영화관에 가지 않는다. 그러나 선호를 확률로 해석하는 의미론들은 모호하다: 만약 그것이 오늘밤에 영화 X를 볼 확률을 언급하고 있다면, 우리는 배제된 중간: 실제로 일어나는 사건, 즉 오늘 밤 어떤 영화도 보지 못하며, 확률 질량이 0이다.

높은 충돌의 경우 직관에 반하는 결과 생성 예제

갈등이 심할 때 뎀스터의 통치에 의해 생성된 직관에 반하는 결과를 지적하기 위해 1979년 자데에 의해 정확히 동일한 수치 값을 가진 예가 도입되었다.^[12][13][14] 예는 다음과 같다.

한 명의 의사가 동등하게 신뢰할 수 있는 두 명의 의사를 가지고 있고 한 명의 의사는 환자가 뇌종양에 걸릴 확률이 0.99(즉, 기본적인 믿음의 임무—bba 또는 믿음의 질량)이거나 뇌수막염(meningitis)이며, 확률은 0.01에 불과하다고 믿는다고 가정하자. 두 번째 의사는 환자가 뇌진탕에 걸릴 확률은 0.99로, 뇌수막염에 걸릴 확률은 0.01에 불과한 것으로 보고 있다. 뎀스터의 규칙을 적용하여 이 두 가지 믿음 덩어리를 결합하면 마침내 m(메뉴링염)=1(메뉴링염은 100% 자신감으로 진단된다.

이 같은 결과는 두 의사 모두 환자가 뇌막염에 걸릴 가능성이 거의 없다는 데 동의하기 때문에 상식에 어긋난다. 이 예는 뎀스터의 지배와 뎀스터-샤퍼 이론의^[15][16] 기초에 대한 확고한 정당성을 찾거나 이 이론의 불일치를 보여주기 위해 노력한 많은 연구 연구의 출발점이 되어 왔다.^[17][18][19]

충돌이 적은 경우 직관에 반하는 결과 생성 예제

다음 예는 충돌이 적은 경우에도 뎀스터의 규칙이 직관에 반하는 결과를 산출하는 곳을 보여준다.

한 의사가 환자가 0.99 확률의 뇌종양 또는 뇌수막염을 가지고 있다고 믿는다고 가정하자. 두 번째 의사도 환자가 뇌종양에 걸릴 확률은 0.99로 추정되며 뇌진탕에 걸릴 확률은 0.01에 불과하다고 보고 있다. 뎀스터의 법칙으로 m(뇌종양)을 계산하면 우리는 얻는다.

${\displaystyle m({\text{brain terminal}}=\operatorname {Bel}({\text{brain terminal}})=1.\,}$

이 결과는 두 의사 모두 가능성이 매우 높다고 믿었던 뇌종양 진단에 대한 완전한 지원을 의미한다. 이 합의는 두 의사의 의견에 의해 구성된 두 세트의 증거들 사이의 낮은 수준의 충돌에서 비롯된다.

두 경우 모두 다음을 예상하는 것이 합리적일 것이다.

${\displaystyle m({\text{brain terminal})<1\text{{brainername {Bel}({\text{brain terminal})<1,\,}$

다른 진단에 대한 0이 아닌 믿음 확률은 뇌종양 진단에 대한 완전한 지원보다 작다는 것을 의미하기 때문이다.

베이지안 이론의 일반화로서 뎀스터-샤퍼

As in Dempster–Shafer theory, a Bayesian belief function ${\displaystyle \operatorname {bel} :2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$ has the properties ${\displaystyle \operatorname {bel} (\emptyset )=0}$ and ${\displaystyle \operatorname {bel} (X)=1}$. The third condition, however은 DS 이론에 의해 포함되지만 완화된다.^{[2]: p. 19}

${\displaystyle {\text{}}}A\cap B=\emptyset ,{\text{}}\operatorname {bel}(A\cuper B)=\operatorname {bel}(A)+\operatorname {bel}(B)(B)}$

예를 들어 베이시안(Bayesian)은 자동차의 색상을 (빨간색, 녹색, 파란색) 위에 확률 분포로 모델링하여 각 색상에 하나의 번호를 할당한다. 뎀스터-샤퍼는 (빨간색, 녹색, 파랑색, (빨간색 또는 파랑색), (빨간색 또는 파랑색), (빨간색 또는 파랑색), (빨간색 또는 파랑색), 예를 들어 벨(빨간색)+벨(녹색) !=벨(빨간색 또는 녹색)에 번호를 할당한다. 만약 증인이 "차가 파란색 또는 녹색인 것을 알았다"고 보고한다면 이는 두 가지 다른 색에 대한 값으로 분해하기 보다는 한 번에 믿음을 할당할 수 있다. 그러나 이것은 불합리한 결론으로 이어질 수 있다.

동등하게, 다음 각 조건은 DS 이론의 베이시안 특별 사례를 정의한다.^{[2]: p. 37, 45}

• ${\displaystyle \operatorname {bel}(A)+\operatorname {bel}({\bar {A}})=1{\text{모든 }A\subseteq X.}$
• 유한 X의 경우, 신념 함수의 모든 초점 요소는 단골격이다.

베이스의 조건부 확률은 뎀스터의 조합 법칙의 특별한 경우다.^{[2]: p. 19f.}

DS 이론은 베이지안 이론보다 인식론적 불확실성과 물리적 불확실성 사이의 명확한 구분을 제공한다고 주장되어^{[citation needed]} 왔다. 예를 들어, 모집단에서 관찰되지 않은 사람의 키는 분산이 높은 가우스 신앙 분포를 가질 수 있지만, 베이시안 이론은 모든 사람이 키는 같지만 그 높이가 얼마인지에 대한 자료가 거의 없는 경우에 동일한 분포를 얻는데, 이는 물리적으로 차이가 넓은 경우와 같다.인구의 nt. 표준 베이지안 이론은 이 차이를 정보 수집 활동의 효용성을 추정하기 위해 2차 확률과 기계를 사용하여 설명하지 않는다면 차선의 결정으로^{[citation needed]} 이어질 수 있다.

DS 이론이 베이시안 이론의 일반화가 아니라는 주장도^[20] 제기됐다.

베이시안 근사

베이지안 근사치는^[21][22] 주어진 $bpa{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$을(를) 확률 분포로$$ 감소시킨다. 즉, 분별 프레임의 싱글톤 부분 집합만이 m ${\displaystyle m}$의 근사 $버전{\displaystyle \underset{}{}}$ m ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$의 초점 요소가 되도록 허용된다$.$

${\displaystyle {\underline {m}}(A)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\sum \limits _{B A\subseteq B}m(B)}{\sum \limits _{C}m(C)\cdot C }},& A =1\\&0,&{\text{otherwise}}\end{aligned}}\right.}$

단일 국가 가설에만 관심이 있는 사람들에게 유용하다.

우리는 그것을 '빛'의 예에서 수행할 수 있다.

가설	${\displaystyle m_{1}}$	${\displaystyle m_{2}}$	${\displaystyle m_{1,2}}$	${\displaystyle{\underline{m}_{1}$	${\displaystyle {\underline{m}_{2}}:$	${\displaystyle {\underline{m}_{1,2}}$
Null	0	0	0	0	0	0
빨간색	0.35	0.11	0.32	0.41	0.30	0.37
노란색	0.25	0.21	0.33	0.33	0.38	0.38
녹색	0.15	0.33	0.24	0.25	0.32	0.25
빨간색 또는 노란색	0.06	0.21	0.07	0	0	0
빨간색 또는 녹색	0.05	0.01	0.01	0	0	0
노란색 또는 녹색	0.04	0.03	0.01	0	0	0
아무거나	0.1	0.1	0.02	0	0	0

비판

유대 펄(1988a, 9장;[23]1988b[24]과 1990년)[25]이 s에"사건의 확률,"또는"자신이 한 그 확률 다양한 결과에 할당에 있는,"또는"믿음(거나 자신감 또는 신뢰)의 건의안의 도수"또는 무지의 "학위로 믿음 기능 해석하는 것은 호도라고 주장해 왔다ituation." 대신, 믿음 함수는 주어진 명제가 다른 명제 집합으로부터 증명될 확률을 나타내며, 그 명제는 확률을 할당한다. 진실의 확률과 확률을 혼동하면 (1) 불완전한 지식을 나타내는 것, (2) 믿음 고양 및 (3) 근거 풀링과 같은 추론 과제에 반직관적인 결과를 초래할 수 있다. 그는 또한 부분적인 지식이 신념 함수 방법에 의해 암호화되고 갱신된다면, 결과적인 믿음은 이성적인 결정을 위한 기초가 될 수 없다는 것을 증명했다.

크와포테크와 비에르츠초프는^[26] (거의 집합 이론의) 의사결정표의 통계적 관점에서 뎀스터-샤퍼 이론을 해석할 것을 제안했는데, 여기서 증거를 결합하는 운영자는 의사결정표의 관계적 결합으로 보아야 한다. 또 다른 해석에서 M. A. Kwoptek와 S. T. Wierzchoń는^[27] 이 이론을 예를 들어 일부 반도체 생산 공정에서와 같이 파괴적인 물질 처리를 기술하는 것으로 볼 것을 제안한다. DST의 두 해석에 따르면, 인용 논문에서 펄과 다른 연구자들에 의해 비판되었던 이전의 확률론적 해석과는 달리, DST의 추리는 정확한 결과를 제공한다.

j상은 뎀스터의 조합 통치가 실제로 믿음의 구속조건을 융합하는 방법이라는 것을 증명했다.^[8] 그것은 믿음의 누적 융합과 같은 다른 상황에서 근사적인 융합 연산자를 나타낼 뿐, 일반적으로 그러한 상황에서 부정확한 결과를 산출한다. 따라서 뎀스터 통치의 타당성을 둘러싼 혼란은 모델링할 상황의 성격을 올바르게 해석하지 못한 데서 비롯된다. 뎀스터의 조합 법칙은 항상 정확하고 직관적인 결과를 만들어 내는데, 이는 서로 다른 출처로부터 믿음의 제약조건을 융합하는 상황이다.

Relational measures

In considering preferences one might use the partial order of a lattice instead of the total order of the real line as found in Dempster–Schafer theory. Indeed, Gunther Schmidt has proposed this modification and outlined the method.^[28]

Given a set of criteria C and a lattice L with ordering E, Schmidt defines a relational measure μ from the power set on C into L that respects the order Ω on ${\displaystyle \mathbb {P} }$(C): The tools of the calculus of relations, including composition of relations, are used to express this respect:

${\displaystyle \Omega ;\mu \ \subseteq \ \mu ;E\ ,}$ μ takes the empty subset of ${\displaystyle \mathbb {P} }$(C) to the least element of L, and takes C to the greatest element of L.

Schmidt compares μ with the belief function of Schafer, and he also considers a method of combining measures generalizing the approach of Dempster (when new evidence is combined with previously held evidence). He also introduces a relational integral and compares it to the Choquet integral and Sugeno integral. Any relation m between C and L may be introduced as a "direct valuation", then processed with the calculus of relations to obtain a possibility measure μ.

See also

• Imprecise probability
• Upper and lower probabilities
• Possibility theory
• Probabilistic logic
• Bayes' theorem
• Bayesian network
• G. L. S. Shackle
• Transferable belief model
• Info-gap decision theory
• Subjective logic
• Doxastic logic
• Linear belief function

References

Further reading

• Yang, J. B. and Xu, D. L. Evidential Reasoning Rule for Evidence Combination, Artificial Intelligence, Vol.205, pp. 1–29, 2013.
• Yager, R. R., & Liu, L. (2008). Classic works of the Dempster–Shafer theory of belief functions. Studies in fuzziness and soft computing, v. 219. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-25381-5.
• Joseph C. Giarratano and Gary D. Riley (2005); Expert Systems: principles and programming, ed. Thomson Course Tech., ISBN 0-534-38447-1
• Beynon, M., Curry, B. and Morgan, P. The Dempster–Shafer theory of evidence: an alternative approach to multicriteria decision modelling, Omega, Vol.28, pp. 37–50, 2000.

External links

• BFAS: Belief Functions and Applications Society