3차원의 주기적 대칭

3차원의 점 그룹

비자발적 대칭 Cs, (*) [ ] =	순환 대칭 Cnv, (*n) [n] =	치측 대칭 Dnh, (*n22) [n,2] =
다면군, [n,3], (*n32)
사면 대칭 Td, (*332) [3,3] =	팔면 대칭 Oh, (*432) [4,3] =	이코사면 대칭 Ih, (*532) [5,3] =

3차원 기하학에서는 물체를 바꾸지 않는 한 축(각 360°/n)에 대한 n-폴드 회전 또는 반사 대칭의 3차원(n³1)에 4개의 무한 계열의 점 그룹이 있다.

그것들은 원뿔의 유한대칭군이다.n = ∞의 경우, 그들은 네 개의 frieze 그룹에 해당한다.쇤네파리의 표기법이 사용된다.수평(h)과 수직(v)이라는 용어는 대칭의 수직축에 대한 반사의 존재와 방향을 의미한다.괄호 안에 Coxeter 표기법, 괄호 안에 orbifold 표기법도 나와 있다.

종류들

치랄

• C_n, [n],⁺ (nn) 순서 n-폴드 회전 대칭 - acron-gonal 그룹(추상 그룹 Z_n); n=1: 대칭 없음(타원 그룹)

아키랄

• 2n 프리즘 대칭 또는 직교-n-곤갈 그룹(추상 그룹 Z × Dih₁)의 C_nh, [n⁺,2_n](n*) 순서. n=1의 경우 이는 C(1)로_s 표시되며 반사 대칭이라고도 한다.N-폴드 회전 축에 수직인 평면에 대한 반사 대칭이 있다.
• C_nv, [n], (*n) 순서의 2n - 피라미드 대칭 또는 전체 삼행-곤 그룹(추상 그룹 Dih_n); 생물학 C에서는_2v 쌍생 대칭이라고 한다.n=1의 경우 C_s(1*)를 다시 확보했다.그것은 수직 거울 평면을 가지고 있다.이것은 일반적인 n면 피라미드의 대칭군이다.
• 주문 2n-gyro-n-gonal 그룹(를 같은 표기법 사용된다 대칭 단체들과 함께, 추상적인 그룹 Z2n 혼동하지)의 S2n,[2+,2n+],(n×);.그것은 즉 대칭 그룹은 수평 비행기의 반사된 모습과 각도 180°/에 의해 회전의 조합이 포함되어 있는2n-fold rotoreflection 축, 또한 2n-fold 부적절한 회전 축이라고 불렀다, 가지고 있다.n. 따라서 D와_nd 마찬가지로 해당 회전을 포함하지 않고 다수의 부적절한 회전을 포함한다.
  • n=1의 경우, C로 표시된_i S₂(1×)가 있다. 이는 반전 대칭이다.

순서_2h 4의 C, [2,2⁺](2*) 및 C_2v, [2], (*22)는 클라인 4 그룹을 추상 그룹으로 하는 3D 대칭 그룹 유형 중 두 가지다.C는_2v 예를 들어, 상단 면이 하단 면과 다른 직사각형 타일에 적용한다.

프리제 그룹

한계에서 이들 4개 그룹은 C_∞, C_∞h, C_∞v, S로_∞ 유클리드 평면 프리제 그룹을 나타낸다.회전은 한도에서 번역이 된다.무한면의 일부도 절단하여 무한 실린더에 연결할 수 있다.

프리제 그룹

공증				예
IUC	오비폴드	콕시터	쇤플라이스*	유클리드 평면	원통형(n=6)
p1	∞∞	[∞]+	C∞
p1m1	*∞∞	[∞]	C∞v
p11m	∞*	[∞+,2]	C∞h
p11g	∞×	[∞+,2+]	S∞

예

S2/Ci(1x):	C4v(*44):		C5v(*55):
파랄레피프	사각 피라미드	길쭉한 사각 피라미드	오각형 피라미드

참고 항목

• 3차원 입체 대칭

참조

• Sands, Donald E. (1993). "Crystal Systems and Geometry". Introduction to Crystallography. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. p. 165. ISBN 0-486-67839-3.
• 2003년 Quaternions와 Octonion에서는 John Horton Conway와 Derek A.스미스 ISBN 978-1-56881-134-5
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Hidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• 케일리디스코어: H.S.M. Coxeter의 선별된 글, F가 편집한 글.아서 셔크, 피터 맥멀런, 앤서니 C.Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
• N.W. 존슨: 기하학과 변환, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5장 11: 유한대칭군, 11.5 구형 콕시터군