빗스페이스

수학, 특히 위상에서 빗 공간은 빗을 닮은$$R 2 {\$displaystyle$ \$mathb{$R}$^{2$}}의$$ 특정한 하위 공간이다.빗 공간에는 여러 개의 counterrexamp 역할을 하는 속성이 있다.위상학자의 사인 곡선은 빗 공간과 유사한 특성을 가지고 있다.삭제된 빗 공간은 빗 공간의 변형이다.

형식 정의

표준 토폴로지와 $함께$ R 2 {\$displaystyle \$mathb ${R}$ ^{$2}}$을 고려하고 K를${\displaystyle }${${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1/n~~n \in \mathb {N}$\}}}} 집합으로 두십시오$.$다음과 같이 정의된 C 집합:

${\displaystyle(\{0\}\time [0,1])\컵(K\time [0,1])\컵([0,1]\time \{0\}})$

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 스페이스 위상이 $장착$된 R 2 ${\$^{$2}}$의 서브 스페이스로 간주되는 것을 빗 스페이스라고 한다.삭제된 빗 공간 D는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle (}${ ${\displaystyle 0\times }$ { 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$} )${\displaystyle }${ ( ${\displaystyle \mathrm{K}}$ ${\displaystyle \times }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$× { 0${\displaystyle }$}${\displaystyle }$)${\displaystyle }$]${\displaystyle ([}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \times }${ ${\displaystyle 0}$ } ) ${\displaystyle (\{0\}\time \{0,1\}}\cup (K\time$ [$0,1])\cup ([0]\time \}}}}}})\}}}}}}})\$cup)\cup)\cup)\cup)\cup$$$\$cup)\cup \{0}}}

라인 세그먼트${\displaystyle }${${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \{0\}\time (0,1)}$이(가) 삭제된 빗 공간이다.

위상학적 특성

빗 공간과 삭제된 빗 공간은 대부분 연결성의 개념과 관련된 흥미로운 위상학적 특성을 가지고 있다.

1. 빗 공간은 국소적으로 연결되지 않은 경로 연결 공간의 예다.

2. 삭제된 빗 공간 D가 연결된다.

$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \{0\}\time (0,1]}$이(가) 없는 빗 공간이 E가 되게 하라$.$ E 또한 경로가 연결되어 있고 E의 폐쇄가 빗 공간이다.E $\subset {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$D$$ $\subset {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$E가 연결된$$ E의 폐쇄를 수행함에 따라 삭제된 빗 공간도 연결된다.

3. (0,1)에서 (0,0)까지의 경로가 없으므로 삭제된 빗 공간은 경로가 연결되지 않는다.

p = (0, 1)에서 D의 점(0, 0)까지의 경로가 있다고 가정합시다.ƒ : [0, 1] → D가 이 길이 되게 하라.우리는 ,{p}가 ⁻¹ [0, 1]에서 이 집합의 연결성과 모순되는 개방성과 폐쇄성을 모두 증명할 것이다.분명히 우리는 ⁻¹ p{p}가 ƒ의 연속성에 의해 [0, 1]에 닫혔다는 것을 알고 있다.ƒ ⁻¹{p}가 열려 있음을 증명하기 위해 다음과 같이 진행한다.x축과 교차하지 않는 p에 대한 인접 V(R로² 열림)를 선택하십시오.x가 ƒ ⁻¹{p}의 임의 지점이라고 가정하십시오.분명히 f(x) = p. 그러면 f ⁻¹(V)가 열려 있기 때문에 ƒ(U)가 V의 하위 집합이 되도록 x를 포함하는 기본 요소 U가 있다.우리는 ƒ(U) = {p}이(가) U가 x가 포함된 ƒ ⁻¹{p}의 열린 하위 집합임을 의미할 것이라고 주장한다. x가 임의적이기 때문에 ƒ ⁻¹{p}은(는) 그 다음에 개방될 것이다.U는 [0, 1]의 주문 토폴로지의 기본 요소이기 때문에 연결되어 있는 것으로 알고 있다.따라서 ƒ(U)가 연결되어 있다.ƒ(U)에 p가 아닌 다른 점이 있다고 가정한다.그러면 s = (1/n, z)가 D에 속해야 한다.1/(n + 1) < r < 1/n이 되도록 r을 선택한다.ƒ(U)가 x축과 교차하지 않기 때문에, A = (-162, r) × $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$× $B$ = (r, +16) × R ${\$ 집합은 f(U)에 분리를 형성하며$$, f(U)의 연결성과 모순된다.따라서 f ⁻¹{p}는 [0, 1]에서 모두 개방되어 있고 폐쇄되어 있다.이것은 모순이다.

4. 빗 공간은 점까지 동일시되지만 모든 기준점 선택 시 점까지 변형 접히는 것을 허용하지 않는다.

참고 항목

• 연결된 공간
• 고슴도치 공간
• 무한빗자루
• 위상 목록
• 로컬로 연결된 공간
• 순서 위상
• 위상학자의 사인 곡선

참조

• James Munkres (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

• Kiyosi Itô (ed.). "Connectedness". Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Mathematical Society of Japan. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)