제약 조건(계산 화학)

계산 화학에서 제약 알고리즘은 질량 점으로 구성된 강체 신체의 뉴턴 운동을 만족시키는 방법이다.구속 알고리즘은 질량 지점 사이의 거리가 유지되도록 하기 위해 사용된다.관련된 일반적인 단계는 다음과 같다: (i) 새로운 구속력 없는 좌표(내부 좌표), (ii) 명시적 구속력 도입, (iii) 라그랑주 승수나 투영법에 의해 구속력 최소화.

제약 알고리즘은 종종 분자역학 시뮬레이션에 적용된다.그러한 시뮬레이션은 때때로 결합 길이, 결합 각도 및 비틀림 각도 구속조건을 자동으로 만족시키는 내부 좌표를 사용하여 수행되지만, 이 세 가지 구속조건에 대한 명시적 또는 암묵적 구속조건을 사용하여 시뮬레이션도 수행될 수 있다.그러나, 명시적인 구속력은 비효율성을 초래한다; 주어진 길이의 궤적을 얻기 위해서는 더 많은 계산력이 필요하다.따라서 일반적으로 내부 좌표와 암묵적 힘 제약 해소기가 선호된다.

제약 알고리즘은 어느 정도의 자유도를 따라 움직임을 무시함으로써 계산 효율을 달성한다.예를 들어, 원자론적 분자역학에서, 일반적으로 수소에 대한 공밸런트 결합의 길이는 제한되지만, 이러한 자유도를 따르는 진동이 연구 중인 현상에 중요한 경우 제약 알고리즘을 사용해서는 안 된다.

수학적 배경

N 입자 집합의 움직임은 행렬 형태로 쓰여질 수 있는 뉴턴의 제2법칙인 2차 일반 미분 방정식 집합으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {M} \cdot {\frac {d^{2}\mathbf {q}}{dt^{2}}=\mathbf {f} =-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {q}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 M은 질량 행렬이고 q는 입자의 위치를 설명하는 일반화된 좌표의 벡터다.예를 들어, 벡터 q는 입자 위치_k r의 3N 카르테시안 좌표일 수 있다. 여기서 k는 1에서 N까지 실행된다. 제약조건이 없는 경우, M은 입자 질량의 3Nx3N 대각선 제곱 행렬이 될 것이다.벡터 f는 일반화된 힘을 나타내고 스칼라 V(q)는 잠재적 에너지를 나타내며, 두 가지 모두 일반화된 좌표 q의 함수다.

M 제약조건이 존재하는 경우 좌표는 M 시간 독립 대수 방정식도 만족시켜야 한다.

${\displaystyle g_{j}(\mathbf {q} )=0}$

여기서 인덱스 j는 1에서 M까지 실행된다.간결성을 위해 이러한 함수 g는_i 아래의 M차원 벡터 g로 그룹화된다.과제는 뉴턴 제2법칙의 통상적인 미분방정식(ODE)이 아닌, 미분방정식(DA)의 결합된 집합을 해결하는 것이다.

이 문제는 조셉 루이스 라그랑에 의해 자세히 연구되었는데, 그는 이를 해결하기 위한 대부분의 방법을 제시했다.^[1]가장 간단한 접근법은 제약이 없는 새로운 일반화된 좌표를 정의하는 것이다. 이 접근법은 대수 방정식을 없애고 문제를 다시 한 번 줄여 일반적인 미분 방정식을 푸는 것이다.그러한 접근방식은 예를 들어, 강체 신체의 움직임을 설명할 때 사용된다. 강체 신체의 위치와 방향은 이를 구성하는 입자의 위치와 그것들 사이의 상대적 거리를 유지하는 제약조건을 설명하기 보다는 6개의 독립적이고 구속되지 않은 좌표로 설명할 수 있다.이 접근방식의 단점은 방정식이 다루기 어렵고 복잡해질 수 있다는 것이다. 예를 들어, 질량 행렬 M은 대각선이 되지 않고 일반화된 좌표에 의존할 수 있다.

두 번째 접근방식은 구속조건을 유지하기 위해 작용하는 명시적 힘을 도입하는 것이다. 예를 들어, "강성" 신체 내에서 질량 지점 사이의 거리를 강제하는 강한 스프링 힘을 도입할 수 있다.이 접근방식의 두 가지 어려움은 제약조건이 정확히 충족되지 않으며, 강력한 힘은 매우 짧은 시간 단계를 필요로 하여 시뮬레이션이 계산적으로 비효율적일 수 있다는 것이다.

세 번째 접근방식은 라그랑주 승수 또는 제약 조건 다지관 투영과 같은 방법을 사용하여 제약을 만족시키는 데 필요한 좌표 조정을 결정하는 것이다.마지막으로, 내부 좌표, 명시적 힘 및 암묵적 힘 해결책과 같은 다른 방법에 의해 서로 다른 제약조건 집합이 충족되는 다양한 하이브리드 접근법이 있다.

내부 좌표법

에너지 최소화와 분자 역학에서 제약을 충족시키는 가장 간단한 접근방식은 제한되지 않은 독립적 시스템 자유도에 해당하는 소위 내부 좌표로 기계 시스템을 나타내는 것이다.예를 들어 단백질의 이음각은 어떤 제약도 요구하지 않고 모든 원자의 위치를 지정하는 독립적인 좌표 집합이다.그러한 내부 조정 접근법의 어려움은 두 가지다: 뉴턴식 운동 방정식은 훨씬 더 복잡해지고 내부 좌표는 예를 들어 링 퍽킹이나 단백질이 이황화 결합을 가지고 있을 때 구속조건의 순환 시스템에 대해 정의하기가 어려울 수 있다.

내부 좌표에서의 효율적인 재귀 에너지 최소화를 위한 원래의 방법은 Go와 동료들에 의해 개발되었다.^[2][3]

효율적인 재귀, 내부 조정 제약 해결기는 분자 역학으로 확장되었다.^[4][5]유사한 방법이 나중에 다른 시스템에도 적용되었다.^[6][7][8]

라그랑주 승수 기반 방법

제약 알고리즘을 사용하는 대부분의 분자역학 시뮬레이션에서, 제약조건은 라그랑주 승수의 방법을 사용하여 시행된다.시간 t에서 선형(공칭) 제약조건의 집합이 주어지면,

${\displaystyle \sigma _{k}(t):=\\mathbf {x} _{k\mathbf }-\mathbf {x} _{k\mathbf {x} _{k\n2}-d_{k}^{2}=0,\mathk=1\ldotsn}$

where ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} _{k\alpha }(t)}$ and ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} _{k\beta }(t)}$ are the positions of the two particles involved in the kth constraint at the time t and ${\displaystyle d_{k}}$ is the prescribed inter-particle distance.

이러한 제약조건으로 인한 힘은 운동 방정식에 추가되어 결과적으로 시스템의 각 N 입자에 대해 발생한다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{\partial t^{2}}}m_{i}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{i}}}\left[V(\mathbf {x} _{i}(t))-\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\sigma _{k}(t)\right],\quad i=1\ldots N.}$

제약조건의 힘에 의해 수행되는 순작업(제약조건이 작용하는 입자 집합에 대해 취함)이 0이기 때문에 제약조건의 힘을 추가해도 총 에너지는 변경되지 않는다.$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 기호는 임의적이며$$ 일부 참조에는^[9] 반대 기호가 있다.

시간에 대한 방정식의 양쪽을 통합하는 $것$으로부터,${\displaystyle \mathrm{t}}$ + ${\displaystyle \Delta }$t {\$displaystyle$t+\$Delta$ t$}$ 당시 입자의 제한된 좌표가 주어진다$.$

${\displaystyle \mathbf {x} _{i}(t+\Delta t)={\hat {\mathbf {x} }}_{i}(t+\Delta t)+\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}{\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \mathbf {x} _{i}}}\left(\Delta t\right)^{2}m_{i}^{-1},\quad i=1\ldots N}$

여기서 $x{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle \Delta }$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\hat$ {\mathbf {$x}}}}{i}(t+\Delta t)}$은 제한되지 않은 운동 방정식을 통합한 후 ith 입자의 제한되지 않은(또는 수정되지 않은) 위치다$$.

다음 시간 단계에서 제한조건$$ ${\displaystyle {constraintsk}_{}t}$+ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \sigma _{k}(t+\Delta$ t$)}$을(를) 충족하려면 라그랑주 승수를 다음과 같은 방정식으로 결정해야 한다.

${\displaystyle \sigma _{k}(t+\Delta t):=\\왼쪽\\mathbf {x} _{k\alpha }(t+\Delta t)-\mathbf {x} _{k\beta }(t+\Delta t)\right\{2}-d_{k}^{2}=0.}$

$이$는 n ${\displaystyle n}$개의 비선형$$ 방정식 시스템을 해결하는 것을 의미한다.

${\displaystyle \sigma _{j}(t+\Delta t):=\left\ {\hat {\mathbf {x} }}_{j\alpha }(t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {x} }}_{j\beta }(t+\Delta t)+\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\left(\Delta t\right)^{2}\left[{\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \mathbf {x} _{j\alpha }}}m_{j\alpha }^{-1}-{\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \mathbf {x} _{j\beta }}}m_{j\beta }^{-1}\right]\right\ ^{2}-d_{j}^{2}}=0,\cHB j=1\ldotsn}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 알$$ 수 없는 라그랑주 승수 iers ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대해 동시에 $.$

${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle n}$ 미지의$$ n ${\displaystyle n}$ 비선형$$ 방정식의 이 시스템은 일반적으로 솔루션 $벡터{\displaystyle \underset{}{}}$ rap _{\$displaystyle {\underline$ {\$lambda}}}$을(를) 사용하여 업데이트되는 뉴턴-Raphson 방법을 사용하여 해결된다.

${\displaystyle {\lambda }}^{(l+1)}\왼쪽 화살표 {\underline {\lambda }^{}-\mathbf {J}_{\sigma{-1}{\derline {\sigma }}}}}}}}$

여기서 $J{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 방정식의_k Jacobian이다.

${\displaystyle \mathbf{J}=\left({\begin{배열}{cccc}{\frac{\partial \sigma_{1}}{\partial \lambda_{1}}}&{\frac{\partial \sigma_{1}}{\partial \lambda_{2}}}&\cdots &,{\frac{\partial \sigma_{1}}{\partial \lambda_{n}}}\\[5pt]{\frac{\partial \sigma_{2}}{\partial \lambda_{1}}}&{\frac{\partial \sigma_{2}}{\partial \lambda_{2.}}}&\cdots &,{\frac {\partial \sigma _{2}}{\partial \lambda _{n}}}\\[5pt]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[5pt]{\frac {\partial \sigma _{n}}{\partial \lambda _{1}}}&{\frac {\partial \sigma _{n}}{\partial \lambda _{2}}}&\cdots &{\frac {\partial \sigma _{n}}{\partial \lambda _{n}}}\end{array}}\right).}$

모든 입자가 모든 제약조건에 기여하는 것은 아니기 때문에 J ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 블록 매트릭스로서 매트릭스의 블록 단위로 개별적으로 해결할 수 있다.즉 J ${\$은(는) 분자별로 개별적으로 해결할 수 있다$$.

Instead of constantly updating the vector ${\displaystyle {\underline {\lambda }}}$, the iteration can be started with ${\displaystyle {\underline {\lambda }}^{(0)}=\mathbf {0} }$, resulting in simpler expressions for ${\displaystyle \sigma _{k}(t)}$ and ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{\sigma }_k(t)}{\mathrm{\partial }{\lambda }_{}}}$${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ ${\$이 경우$.$

${\displaystyle J_{ij}=\왼쪽.{\frac {\partial \sigma _{j}}{\partial \lambda _{i}}}\right _{\mathbf {\lambda } =0}=2\left[{\hat {x}}_{j\alpha }-{\hat {x}}_{j\beta }\right]\left[{\frac {\partial \sigma _{i}}{\partial x_{j\alpha }}}m_{j\alpha }^{-1}-{\frac {\partial \sigma _{i}}{\partial x_{j\beta }}}m_{j\beta }^{-1}\right].}$

$그런{\displaystyle }$ 다음 ▼ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 다음으로 업데이트됨$$

${\displaystyle \mathbf {\lambda } _{j}=-\mathbf {J} ^{-1}\left[\left\ {\hat {\mathbf {x} }}_{j\alpha }(t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {x} }}_{j\beta }(t+\Delta t)\right\ ^{2}-d_{j}^{2}\right].}$

각 반복 후, 제약되지 않는 입자 위치는 다음을 사용하여 업데이트된다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}(t+\Delta t)\leftarrow {\hat {\mathbf {x} }}_{i}(t+\Delta t)+\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}{\frac {\partial \sigma _{k}}{\partial \mathbf {x} _{i}}}\left(\Delta t\right)^{2}m_{i}^{-1}.}$

그런 다음 벡터는 로 재설정된다.

${\displaystyle {\underline {\\mathda }=\mathbf {0}.}$

위의 절차는 제약 조건 방정식 ,${\displaystyle k(\mathrm{t}}$ + Δ t${\displaystyle }$)의 해법$$,$k{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t_{}}$+\Delta t){\$displaystyle \sigma _{k}(t+\Delta t)}$이$($가) 숫자 오류의 규정된 공차로 수렴될 때까지 반복된다.

라그랑주 승수를 계산하는 알고리즘은 여러 가지가 있지만, 이러한 차이는 방정식의 시스템을 푸는 방법에만 의존한다.이 방법에는 준뉴턴 방법이 일반적으로 사용된다.

SET 알고리즘

SENT^[10] 알고리즘은${\displaystyle }$n = ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$ 제약조건에$$ 대한 비선형 방정식의 시스템을 일정한 시간에 분석적으로 해결한다.비록 더 많은 수의 제약조건으로 확장되지는 않지만, 거의 모든 생물학적 시뮬레이션에 존재하며 대개 세 가지 제약조건(예: SPC/E 및 TIP3P 물 모델)을 사용하여 모델링되는 강체 물 분자를 구속하는 데 매우 자주 사용된다.

SHEEK 알고리즘

SHAKE 알고리즘은 분자역학 시뮬레이션 중에 결합 기하학 제약을 만족시키기 위해 처음 개발되었다.^[11]그런 다음 이 방법을 일반화하여 일정한 결합 각도 또는 분자 강성을 유지하는 데 필요한 것과 같은 모든 홀노믹 제약 조건을 처리했다.^[12]

SHEEK 알고리즘에서 비선형 구속조건 방정식의 시스템은 뉴턴-Raphson 방법을 사용하여 방정식의 선형 시스템의 해법에 근접한 Gauss-Seel 방법을 사용하여 해결된다.

${\displaystyle {\lambda }}=-\mathbf {J} _{\sigma }^{-1}{\derline {\sigma }}.}$

이는 $J{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 대각선으로 우세하다고$$ 가정하고 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ th$$ 방정식을 알 수 없는$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대해서만 푸는 것과 같다.실제로, 우리는 계산한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\lambda _{k}&, \leftarrow{\frac{\sigma_{k}(t)}{\partial \sigma_{k}(t)/\partial \lambda _{k}}},\\[5pt]\mathbf{)}_{k\alpha}&, \leftarrow \mathbf{)}_{k\alpha}+\lambda _ᆶᆷ(t)}{\partial \mathbf{)}_{k\alpha}}},\\[5pt]\mathbf{)}_{k\beta}&, \leftarrow \mathbf{)}_{k\beta}+\._{k}람다{\frac {\cHB \ \ma _{k}(t)}{\reason \mathbf {x} _{k\reason }},\ended{aigned}}}}}}$

모든 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$… ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=1\ldots n}$ 제약 조건 방정식 ${\displaystyle {equationsk}_{}t}$+ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \sigma _{k}(t+\Delta t)}$이 지정된 공차로 해결될 때까지$$ 반복적으로 반복한다.

${\displaystyle 각}$ 반복의 계산 비용은 O${\displaystyle }$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(n$이고 반복 자체는 선형적으로 수렴된다.

SHAKE의 비원론적 형태는 나중에 개발되었다.^[13]

몇 가지 변형된 SHEEK 알고리즘이 존재한다.제약조건 자체를 계산하거나 적용하는 방법은 다르지만, 제약조건은 여전히 가우스-세이델 방법을 사용하여 계산된 라그랑주 승수를 사용하여 모델링된다.

원래의 SHAKE 알고리즘은 경성 분자와 유연한 분자(예: 물, 벤젠, 비페닐)를 모두 구속할 수 있으며, 분자역학 시뮬레이션에 무시할 수 있는 오류나 에너지 표류를 도입한다.^[14]SHAKE의 한 가지 문제는 분자 기하학이 복잡해지면서 일정 수준의 수렴에 도달하기 위해 필요한 반복 횟수가 증가한다는 것이다.310K의 온도에서 일반적인 분자역학 시뮬레이션에서 64비트 컴퓨터 정확도(상대 공차 $\approx {\displaystyle }$ ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle {16}^{}}$ ${\$\ 약 $10^-16$에 도달하려면 분자 기하학을 유지하기 위해 3가지 제약조건을 갖는 3-사이트 물 모델은 평균 9회 반복(시간 단계당 3회)이 필요하다.제약조건이 5개인 4개 사이트 부탄 모델은 17번 반복(사이트당 22개), 제약조건이 12개인 6개 사이트 벤젠 모델은 36번 반복(사이트당 72개), 제약조건이 29개인 12개 사이트 비페닐 모델은 92번 반복(타임 스텝당 사이트당 229)이 필요하다.^[14]따라서 특히 분자 모델이 높은 강성을 갖는 경우, SHEK 알고리즘의 CPU 요구사항이 중요해질 수 있다.

이후 방법의 연장선상에서 강체 단위로 구성된 분자에 대한 빠른 대안으로 QHAEKE(Quaternion Shake)가 개발되었지만, 일반적인 목적은 아니다.^[15]방향족 링 시스템 등 경성 루프는 만족스럽게 작동하지만 이황화합물이 있는 단백질과 같은 유연한 루프는 QHAEKE가 실패한다.^[16]

추가 확장으로는 래틀,^[17] 위글,^[18] 엠쉐이크가 있다.^[19]

RAKE는 SHEK와 동일한 방식으로 작동하지만,^[20] Velocity Verlet 시간 통합 체계를 사용하여 WIGGLE은 입자 속도에 근거한$$ Lagrange 승수 $initial{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대한 초기 추정치를 사용하여 SHAKEKE와 RATKE를 확장한다.M쉐이크는 제약력에 대한 보정을 계산하여 더 나은 수렴을 달성한다는 점을 언급할 필요가 있다.

SHEEK 알고리즘의 최종 수정은 매우 강직하거나 반강성 분자에 적용되는 P-SHEACK 알고리즘이다^[21].P-Shake는 쉐이크 반복 전에 제약 조건 구배에 적용되는 프리컨덕터를 계산하고 업데이트하여 Jacobian $J{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \mathbf{J}$_{\$sigma$}}}}이(가) 대각선 또는 강하게 대각선 우위에 놓이게 한다$$.따라서 결합되지 않은 제약조건은 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(n^{2})$의 비용으로 훨씬 더 빠르게(선형과는 반대로 양적으로) 수렴된다$.$

M-쉐이크 알고리즘

M-쉐이크 알고리즘은^[22] 뉴턴의 방법을 사용하여 방정식의 비선형 시스템을 직접 해결한다.각 반복에서 방정식의 선형 시스템

${\displaystyle {\lambda }}=-\mathbf {J} _{\sigma }^{-1}{\underline {\sigma }}}}$

정확히 LU 분해로 해결된다.각 반복에는 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(n^{3})$ 운영$$ 비용이 들지만 솔루션은 2차적으로 수렴되어 SHAKE보다 반복 횟수가 적다.

이 해법은 1986년 치코티와 라이커트가^[12] '매트릭스 방식'이라는 제목으로 처음 제안했지만 방정식의 선형계 해법에서는 차이가 있었다.Ciccotti와 Ryckaert는 $매트릭스{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ J ${\$을(를) 첫 번째 반복에서 직접 반전할 것을 제안한다.그 후 첫 번째 $반복$은 O ${\displaystyle ({n\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(n^{3})$의 연산 비용이 드는 반면, 다음 반복은 O${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(n^{2})$의 연산 비용만 든다(매트릭스 벡터 곱셈의 경우).그러나 이러한 개선은 비용이 들지만, Jacobian이 더 이상 업데이트되지 않기 때문에, 통합은 비록 SHAKE 알고리즘보다 훨씬 빠른 속도지만 선형일 뿐이다.

스파스 매트릭스 기법에 기초한 이 접근법의 몇 가지 변형들은 바스 외 연구진에 의해 연구되었다.^[23]

SHAPE 알고리즘

SHAPE 알고리즘은^[24] 세 개 이상의 중심부의 강체 신체를 구속하기 위한 SHAKE의 다중점 아날로그다.SHAKE와 마찬가지로 구속되지 않은 단계를 취한 후 다음을 만족하는 강체 회전 매트릭스를 직접 계산하고 적용하여 교정한다.

${\displaystyle L^{\text{rigid}\왼쪽(t+{\frac {\Delta t}{2}}\오른쪽)==L^{\text{nonrigid}}\왼쪽(t+{\frac {\Delta t}{2}}\오른쪽)}$

이 접근방식은 단일 3×3 매트릭스 대각화 이후 회전 매트릭스를 결정하기 위해 서너 번의 빠른 뉴턴 반복을 수반한다.SHAPE는 완전한 융합형 반복형 쉐이크와 함께 제공되는 동일한 궤적을 제공하지만, 3개 이상의 센터가 포함된 시스템에 적용할 경우 쉐이크보다 효율적이고 정확도가 높은 것으로 확인된다.그것은 세 개 이상의 원자를 가진 선형 시스템, 네 개 이상의 원자를 가진 평면 시스템, 그리고 쉐이크가 난해한 훨씬 더 큰 강체 구조로 쉐이크의 제약을 받는 것과 같은 능력을 확장한다.또한 하나 이상의 쉐이크 구속조건이 수반되는 원자에 대해 쉐이크가 사용되는 것과 같은 기본적인 방법으로 강체 구속조건을 반복적으로 해결함으로써 강체 신체를 하나 또는 두 개의 공통 중심(예: 펩타이드 평면)과 연계시킬 수 있도록 한다.

LINCS 알고리즘

대안적 구속조건 방식인 LINCS(Linear Restriction Solver)는 헤스, 벡커, 베렌센, 프라나이제가 1997년 개발했으며,^[25] 1986년 에드베르크, 에반스, 모리스(EEM)^[26][27]의 방법과 바라니아이와 에반스(BE)가 이를 수정했다.

LINCS는 제약력에 라그랑주 승수를 적용하고, Jacobian $J{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ :

${\displaystyle (\mathbf {I} -\mathbf {J} _{\sigma })^{-1}=\mathbf {I} +\mathbf {J} _{\sigma }+\mathbf {J} _{\sigma }^{2}+\mathbf {J} _{\sigma }^{3}+\cdots }$

뉴턴 반복의 각 단계에서이 근사치는 고유값이 1보다 작은 행렬에만 적용되므로 LINCS 알고리즘은 연결이 낮은 분자에만 적합하다.

LINCS는 셰이크보다 3~4배 빠른 것으로 알려졌다.^[25]

혼성법

제약을 두 그룹으로 나누는 하이브리드 방식도 도입되었다. 첫째 그룹의 제약조건은 내부 좌표를 사용하여 해결하는 반면, 둘째 그룹의 제약조건은 예를 들어 라그랑주 승수나 투영법 같은 제약조건의 힘을 사용하여 해결한다.^[28][29][30]이 접근법은 라그랑주에 의해 개척되었고,^[1] 그 결과 혼합형의 라그랑주 방정식이 나왔다.^[31]

참고 항목

• 분자역학
• 분자역학 모델링 소프트웨어

참조 및 각주