홀로노믹 제약조건

고전역학에서, 홀로노믹스 제약조건은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있는 위치 변수(및^[1] 가능한 시간) 사이의 관계다.

${\displaystyle f(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots,u_{n},t)=0}$

여기서 {${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle u_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots,u_{n}\}}}}$은 시스템을 설명하는 n 일반화된 좌표다. 예를 들어 구면의 표면에 눕도록 제약된 입자의 운동은 홀노믹 제약의 영향을 받지만, 만약 입자가 중력의 영향을 받아 구에서 떨어질 수 있다면 그 제약은 비홀노믹이 된다. 첫 번째 경우 등식으로 홀노믹 제약조건을 지정할 수 있다.

${\displaystyle r^{2}-a^{2}=0}$

여기서 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 반경 a ${\displaystyle$a}의 구 중심으로부터의 거리인$$ 반면, 두 번째 비혼수적 경우는 다음을 통해 제공될 수 있다$.$

${\displaystyle r^{2}-a^{2}\geq 0}$

속도 의존적 제약 조건(반공학적 제약^[2] 조건이라고도 함):

${\dapstyle f(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n},{\dot {u}_{1},{\dot {u}_{2},\dots,{\dot {u}_{n},t)=0}$

보통은 홀로노믹하지 않다.^{[citation needed]}

홀노믹스 시스템(물리학)

고전역학에서 시스템은 시스템의 모든 제약조건이 홀노믹인 경우 홀노믹으로 정의될 수 있다. 제약조건이 홀로노믹이 되려면 함수로서 표현 가능해야 한다.

${\displaystyle f(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0,\,}$

즉, 홀로노믹 제약조건은 좌표 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ $displaystyle x_{j}\,\}$ 및 $시간$ t $displaystyle t\,\}$에만 의존한다$.$^[1] t에 대한 속도나 고차 파생상품에 의존하지 않는다. 위와 같은 형태로 표현할 수 없는 제약조건은 비혼성 제약조건이다.

소개

위에서 기술한 바와 같이, 홀노믹 시스템은 (단순히 말해) 시스템 구성 요소의 위치 변화에 관한 정보만 알고 있으면 시스템 상태를 추론할 수 있지만, 속도나 구성 요소가 서로에 대해 어떤 순서로 움직이는지는 알 필요가 없는 시스템이다. 대조적으로, 비혼성 시스템은 종종 시간 경과에 따른 구성 요소의 속도가 시스템의 상태 변화를 결정할 수 있는 것으로 알려져야 하는 시스템 또는 움직이는 부품이 제약 조건 표면에 실제 또는 가상으로 결합될 수 없는 시스템이다. 홀노믹 시스템의 예로는 갠트리 크레인, 진자, 로봇 팔 등이 있다. 비혼성 시스템의 예로는 세그웨이, 외발자전거, 자동차가 있다.

용어.

구성 공간 $u{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에는 시스템 구성 요소의 변위가 각 자유도에 하나씩 나열되어$$ 있다. 구성 공간을 사용하여 설명할 수 있는 시스템을 scleronomic이라고 한다.

${\displaystyle {\overwrightarrow{u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&dots &u_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이벤트 공간은 시간 경과에 따른 시스템 변화를 나타내기$$ $위해{\displaystyle }$ 변수$$t {\$displaystyle$ t$}$을(를) 추가하는 경우를 제외하고 구성 공간과 동일하다. 구성 공간만 사용하는 것이 아니라 이벤트 공간을 사용하여 설명해야 하는 시스템을 rhenomic이라고 한다. 많은 시스템들은 구조적으로 또는 구조적으로 설명될 수 있다. 예를 들어, 진자의 총 허용 운동량은 경화학적 제약조건으로 설명할 수 있지만, 진자의 시간에 따른 운동은 반드시 rhenomic 제약조건으로 기술되어야 한다.

${\displaystyle {\overwrightarrow{u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&dots &u_{n}&t\end{bmatrix}}^{\mathrm {T}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

상태 공간 ${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$은(는) 구성 공간이며, 구성 공간 내 각 용어의 속도를 설명하는 용어다.

${\displaystyle {\overrightarrow {q}}={\begin{bmatrix}{\overrightarrow {u}}\\{\overrightarrow {\dot {u}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

상태 시간 공간에는 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$이(가) 추가된다$.$

${\displaystyle {\overrightarrow {q}}={\begin{bmatrix}{\overrightarrow {u}}\\{\overrightarrow {\dot {u}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&t&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

예

간트리 크레인

오른쪽과 같이 갠트리 크레인은 화살표로 표시한 대로 3축으로 갈고리를 움직일 수 있는 오버헤드 크레인이다. 직관적으로, 우리는 기중기가 그것의 구성품의 특정 이동에 있어서, 구성품이 움직이는 순서나 속도는 중요하지 않기 때문에, 기중기가 홀노믹 시스템이어야 한다고 추론할 수 있다. 주어진 출발 조건으로부터 각 구성품의 총 변위가 동일한 한, 모든 부품과 시스템 전체가 동일한 상태가 될 것이다. 수학적으로 우리는 이것을 다음과 같이 증명할 수 있다.

시스템의 구성 공간을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\overwrightarrow{u}={\\bmatrix}x\\y\z\end{bmatrix}}}}$

크레인 각 구성 요소의 "0" 위치에서 편향은 각각 $파란색{\displaystyle }$, 녹색 및 $주황색{\displaystyle }$ 구성 요소에 대해$$B ${\displaystyle$ B$\},$ G ${\displaystyle G}$및 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$이라고 말할 수 있다. 좌표계의 방향과 위치는 시스템이 홀로노믹한지 여부에 중요하지 않지만, 이 예에서 구성요소는 그것의 축에 평행하게 이동한다. 좌표계의 원점이 크레인 왼쪽 하단에 있다면 다음과 같이 위치 제약 방정식을 쓸 수 있다.

${\displaystyle (x-B)+(y-G)+(z-(h-O)=0}$

여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 크레인의 높이다. 선택적으로 모든 상수가 변수 뒤에 배치되는 표준 형태로 단순화할 수 있다.

${\displaystyle x+y+z-(B+G+h-O)=0}$

왜냐하면 우리는 (특히, 우리의 제약조건 방정식은 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle z}$) = 0 ${\displaystyle$f($x,y,z)=0}$의 형태를 가지고 있기 때문에$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,y}$ , $u$ →$${\$displaysty$\{$x,y,z\}\in {\overrightarrow$ {u$}}}})$ 이 시스템이 반드시 홀리코노미여야 한다는 것을 알 수 있다.$$

진자

오른쪽에 보이는 것처럼 단순 진자는 무게와 끈으로 구성된 체계다. 문자열은 피벗의 위쪽 끝과 무게의 아래쪽 끝에 부착된다. 끈의 길이는 연장할 수 없기 때문에 상수다. 이 체계는 홀노믹 제약에 복종하기 때문에 홀노믹하다.

${\displaystyle {x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,}$

여기서 (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \text{y}}$) $displaystyle (x,\ y)\,\!}$은(는) 중량의 위치이고 $L{\displaystyle }$ $displaystyle L\,\!}$은(는) 문자열 길이입니다.

강체체

단단한 신체의 입자는 홀로노믹 제약에 복종한다.

${\displaystyle (\mathbf {r} _{j}^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,}$

where ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,\!}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}\,\!}$ are respectively the positions of particles ${\displaystyle P_{i}\,\!}$ and ${\displaystyle P_{j}\,\!}$, and ${\displaystyle L_{ij}\,\!}$ is the distance between them. 주어진 시스템이 홀노믹인 경우, 해당 시스템의 구성요소에 추가 부품을 엄격하게 부착하면 자유도가 감소되지 않는다고 가정하고(즉, 구성 공간이 변경되지 않는다고 가정) 이를 비홀노믹으로 만들 수 없다.

파피안 형식

다음과 같은 제약 조건의 차등 형식을 고려하십시오.

${\displaystyle \sum _{j}\A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$, A ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$A_{i}}$는 ih 제약 방정식에 대한$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$, d ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle du_{j}dt}$의 계수다. 이 형식을 파피안 양식 또는 미분형이라고 한다.

차등 형식이 통합 가능한 경우, 즉, 기능$$ ${\displaystyle f_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle \text{u}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle u_{}}$n ,${\displaystyle \text{t}}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle f_{i}(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\dots$,\ $u_{n},\!},\}$

${\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$

그렇다면 이 제약조건은 홀노믹 제약조건이다. 그렇지 않으면 비홀노믹 제약조건이다. 따라서 모든 홀노믹과 일부 비홀노믹 제약조건은 미분형을 사용하여 표현할 수 있다. 이런 식으로 표현할 수 없는 비혼성 제약조건의 예는 일반화된 속도에 의존하는 것이다.^{[clarification needed]} Pafeian 형식의 제약 조건 방정식을 사용할 경우 제약 조건이 홀노믹인지 비홀노믹인지 여부는 Pafeian 형식이 통합 가능한지에 따라 달라진다. Pafeian 폼 구속조건의 통합성(또는 결여성)을 검증하기 위한 테스트에 대한 설명은 아래의 Holonomic 구속조건에 대한 Universal test를 참조하십시오.

인체공학적 제약조건에 대한 범용시험

시스템의 제약조건 방정식이 Pafeian 제약조건 양식으로 작성되면, 시스템이 홀로노믹한지 여부를 결정하기 위한 수학적 시험이 존재한다.

제약 조건 방정식 $또는{\displaystyle }$ i ${\displaystyle$ i$} 세트$의 제약 조건 방정식(위의 $Ai{\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ A ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$$displaystyle$ $A_{i}\in A_{ij}$ 및$$ ${\displaystyle d}$ t ${\displaystyle \in }$ $\,dt\in du_{j}}).$

${\displaystyle \sum \{j}^{n}\A_{ij}\,du_{j}=0;\,}$

테스트 방정식을 사용할 수 있다.

${\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\palpha }}}-{\partial A_{\partial u_{\beta}}}}}}+}+A_{\beta }{\bigg (}}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}-{\partial A_{\partial u_{\alpha }}}+)A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}-{\partial A_{\partial u_{\gma }}}}=0}$

여기서:

${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma =1,2,3\ldots n\;\;\;{\text{in}}\;\;\;{}_{n}C_{3}={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}\;\;\;{\text{combinations of test equations per constraint equation, for all}}\;i\;제약 조건 방정식의 집합.}}}$

즉, 세 변수의 시스템은 (어느 순서로든) 제약 방정식의$$ 용어 1,${\displaystyle }$2,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ $}$이(가) $있는{\displaystyle \mathrm{}}$ $하나의 시험$ 방정식으로 한 번 시험해야 하지만 4개의 변수 시스템을 시험하려면 최대 4 t까지 시험을 수행해야 한다.imes with four different test equations, with the terms ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ being terms ${\displaystyle 1,2,3}$, ${\displaystyle 1,2,4}$, ${\displaystyle 1,3,4}$, and ${\displaystyle 2,3,4}$ in the constraint equation (each in any order) in four dif가짜 시험 5개 변수의 시스템에서는 그 사실을 검증하기 위해 10개의 시험을 홀노믹 시스템에서 수행해야 하며, 3개의 제약 조건 방정식이 있는 5개 변수의 시스템에서는 30개의 시험을 수행해야 한다(변수 변경과 같은 단순화는 그 수를 줄이기 위해 수행될 수 없다고 가정한다). 이 때문에 3개 변수 이상 시스템에서 이 방법을 사용할 경우 해당 시스템이 홀노믹인지 여부에 대한 상식을 사용하고, 시스템이 아닐 가능성이 높은 경우에만 시험을 실시하는 것이 바람직하다. 게다가, 처음에 성공할 것 같은 시험은 건너뛰고, 어떤 시험이 먼저 실패할지 예측하기 위해 수학적 직관력을 사용하는 것이 가장 좋다.

모든 제약 조건 방정식에 대한 조합 집합 전체에 대해 모든 시험 방정식이 참이면 시스템은 홀노믹이다. 단 하나의 테스트 조합에 대해서도 사실이 아닌 경우, 시스템은 비혼합적이다.

예

Pafeian 형식의 제약 조건 방정식으로 기술된 이 동적 시스템을 고려한다.

${\displaystyle(\cos \theta )dx+(\sin \theta)ddy+(y\cos \cos \cos \theta -x\sin \theta =0}$

구성 공간은 검사로 →=[ x ${\$ 구성 공간에는 세 개의 용어만 있으므로 테스트 방정식이 필요하다. 우리는 대체에 대비하여 제약 방정식의 용어를 다음과 같이 구성할 수 있다.

${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$

$\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$

${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$

${\displaystyle u_{\put }=dx}$

$u_{\displaystyle u_{\reason }=dy}$

$u_{\displaystyle u_}=d\theta }$

항을 대체하여 우리의 시험 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial y}}(\cos \theta ){\bigg )}+(\sin \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta ){\bigg )}+(\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \thin \theta )-{\frac {\fract }{\reason \theta }}}}{\sin \tha )}=0}$

모든 부분파생상품을 계산한 후 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta ){\bigg (}0-0{\bigg )}+(\sin \theta ){\bigg (}-\sin \theta -(-\sin \theta ){\bigg )}+(\cos \theta ){\bigg (}\cos \theta -\cos \theta {\bigg )}=0}$

단순화하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle 0=0}$

우리는 우리의 시험방정식이 사실임을 알 수 있고, 따라서, 시스템은 반드시 홀로노믹해야 한다.

우리는 우리의 테스트를 끝냈지만, 이제 시스템이 홀로노믹하다는 것을 알고, 우리는 홀로노믹 제약 방정식을 찾기를 원할지도 모른다. 우리는 파피안 형태의 각 용어를 통합하여 다음과 같이 하나의 방정식으로 통일하려고 시도하면 그것을 찾을 수 있다.

$\displaystyle \int(\cos \theta )dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$

$\displaystyle \int(\sin \theta )dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$

$\displaystyle \int(y\cos \theta -x\sin \theta )d\dd\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$

통합의 결과를 결합하여 홀노믹 제약 방정식을 찾을 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있다.

$\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$

여기서 C는 통합의 상수다.

상수계수의 제약조건

모든 미분 계수가 상수인 주어진 Paffian 제약조건의 경우, 다시 말하면 형식상의 제약조건:

${\displaystyle \sum _{j}\A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathb {R}}$

구속조건은 반드시 홀로노믹해야 한다.

우리는 이것을 다음과 같이 증명할 수 있다: 위에서 직접적으로 설명한 대로 모든 미분 계수가 상수인 Pafeian 형태의 제약 시스템을 고려하라. 제약의 이 시스템이 홀로노믹한지 여부를 시험하기 위해, 우리는 보편적인 시험을 사용한다. 우리는 시험 방정식에서 합이 0이어야 하는 세 개의 항이 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 가능한 모든 시험 방정식의 세 항이 각각 0이면 모든 시험 방정식이 참이며 이는 시스템이 홀로노믹이다. 각 시험 방정식의 각 항은 다음과 같은 형식이다.

${\displaystyle A_{3}{\bigg (}{\frac {\partial A_{2}}:{1}-{\partial u_{1}:{1}-{partial A_{1}}{partial u_{2}}:{\bigg )}}}}}}}}}}}}}}:$

여기서:

${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, and ${\displaystyle A_{3}}$ are some combination (with ${\displaystyle {}_{n}C_{3}=n(n-1)(n-2)}$/${\displaystyle 6}$ total combinations) of ${\displaystyle A_{ij};\,j=1,2,\$주어진 제약 조건 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 대한$$ $ldots }$ 및$$ ${\displaystyle A_{}}$ i ${\$$\}.$

${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$의 해당 조합은$$ ${\displaystyle u}$ j${\displaystyle {}_{}}$; j${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaysty u_{j};\j=1,2,\$$dots$ d$$ ${\displaystyle t}$ ${\dd$.

또한 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}개$의 테스트$$ 방정식이 있다.

우리는 정의상 $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {An}_{}}$ ${\$이 상수임을 알 수 있다. 모든 상수의 파생상품(전체 또는 부분)이 0$[\displaystyle 0}$이라는 것은 미적분학에서 잘 알려져 있다$.$ 따라서 각 부분파생상품을 다음과 같이 줄일 수 있다.

${\displaystyle A_{3}{\bigg (}0-0{\bigg )}}}}$

따라서 각 항은 0이고, 왼쪽은 0이며, 각 시험 방정식은 참이며, 시스템은 홀로노믹이다.

두 개 또는 한 개의 변수의 구성 공간

Pafeian 제약조건으로 설명될 수 있고 두 변수 또는 하나의 변수만으로 구성 공간이나 상태 공간이 있는 모든 시스템은 홀노믹이다.

우리는 이것을 다음과 같이 증명할 수 있다: 다음과 같이 기술된 구성 공간 또는 상태 공간이 있는 동적 시스템을 고려한다.

${\displaystyle {\overwrightarrow{u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}}}}}}}}}}}}$

시스템이 상태 공간에 의해 설명된다면, 우리는 ${\displaystyle {단순히\mathrm{}}_{}}u{\displaystyle {}_{}}$ 2 {\$displaystyle u_{2$}가 우리의 시간 변수 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$과 같다고$$ 말한다$.$ 이 시스템은 Pafeian 형식으로 설명된다.

${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}=0}$

$제한사항$ $집합$에 대해 설명하십시오$.$ 이 시스템은 유니버설 테스트를 사용하여 테스트될 것이다. 그러나 보편적 테스트에는 구성 또는 상태 공간에 세 가지 변수가 필요하다. 이를 수용하기 위해 다음과 같은 구성 또는 상태 공간에$$ 더미 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 추가하기만 하면 된다.

${\displaystyle {\overwrightarrow{u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}}}}}}}}}}}}$

더미 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 정의상 시스템의 어떤 측정도 아니므로, Pafeian 형식의 $계수$는 0 ${\displaystyle 0}$이어야 한다$.$ 따라서 우리는 우리의 Pafeian 양식을 다음과 같이 수정한다.

${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0d\lambda =0}$

이제 다음과 같은 제약 조건이 있는 경우 주어진$$ 제약 조건 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 대해 테스트를 사용할 수 있다.

${\displaystyle (0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}(A_{i2})-{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}(A_{i1}){\bigg )}+(A_{i2}){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(A_{i1})-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}(0){\bigg )}+(A_{i1}){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(A_{i2}){\bigg )}=0}$

Upon realizing that :${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}(f(u_{1},u_{2}))=0}$ because the dummy variable ${\displaystyle \lambda }$ cannot appear in the coefficients used to describe the system, we see that the test equation must be true for all sets of constraint equations 따라서 시스템은 반드시 홀로노믹해야 한다. 유사한 증명은 구성이나 주 공간에서 하나의 실제 변수와 두 개의 더미 변수를 사용하여 수행될 수 있으며, 이는 Pafeian 형식으로 기술할 수 있는 1도 자유형 시스템도 항상 홀로노믹하다는 것을 확인할 수 있다.

결론적으로, 우리는 Pafeian 형태의 비혼성 시스템을 모델링할 수 있지만, 2도 이하의 자유도(자유도는 구성 공간의 항 수와 동일함)를 가지는 Pafeian 형태의 모든 시스템은 반드시 홀노믹이어야 한다는 것을 깨닫는다.

중요한 참고: 더미 변수, 그리고 따라서 시험에 포함된 더미 차등 때문에 테스트 방정식이 실패했다는 것을 깨달으십시오. 실제 구성 또는 상태 공간 변수의 함수인 모든 것을 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0$ 구성 또는 상태 공간의 시스템 보유:

${\displaystyle {\overwrightarrow{u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}^{\mathrm {T}}}}}}}}}}}}}}}}$

하나 이상의 제약 조건이 Pafeian 형식인 경우 다음과 같은 제약 조건 집합:

${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0}$

하나의 미분류가 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 0}$의 계수를 가지지만 구성 또는 상태 공간에 여전히 3개의 자유도가 설명되어 있기 때문에 시스템이 홀노믹하다는 것을 보장하지는 않는다$.$

독립 일반화 좌표로 변환

홀로노믹 제약 방정식은 우리가 우리 시스템에서 몇몇 종속 변수들을 쉽게 제거할 수 있도록 도와줄 수 있다. 예를 들어, 제약 조건 방정식 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $daystyle f_{d}\,\!}$의 매개변수인 x${\displaystyle {}_{}}{\displaystyle d_{}}$를 제거하려면, 가능한 한 다음 형태로 방정식을 재배열할 수 있다$.$

${\desplaystyle x_{d}=g_{i}(x_{1},\x_{2},\x_{3},\\dots,\x_{d-1},\\d+1},\dots,\\\x_{N},}),\,}$

위의 기능을 사용하여 시스템의 모든 방정식에서 ${\displaystyle x_{}}$ d $dplaystyle x_{d}\,\!}$을(를) 교체하십시오. ${\displaystyle {이}_{}}$는 항상 일반 물리적 시스템에 대해 수행될 수 있다. 단, f i $displaystyle f_{i}\,\!}$의 파생 모델이 연속적인$$ 경우, 암묵적 함수 정리에 의해 솔루션 g ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle g_{i}\,}$이(가) 일부 개방형 집합에서 보장된다$$. 따라서 종속 변수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ $dplaystyle x_{d}\,\!}$의 모든 발생을 제거할 수 있다$.$

물리적 시스템에 $N{\displaystyle }$ $displaystyle$ N$\,\!}$자유도가$$ 있다고 가정해 보십시오. $이제{\displaystyle }$ h $displaystyle$ h$\,\!}$홀로노믹$$ 제약이 시스템에 부과된다. 그러면 자유도가 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle N}$- ${\displaystyle h}$ $displaystyle m=N-h\,\!}$로 감소된다$.$ $m{\displaystyle }$ $displaystyle$ m$\,\!}$개의 독립$$ 일반화된 좌표(${\displaystyle q_{}}$ j $displaystyle q_{j$를 사용하여 시스템의 움직임을 완전히 설명할 수 있다. 변환 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\dots ,\dots ,\dots ,\\dots ,\\\}\ldots ,\dots ,\dots ,\\\\\\\}$

물리적 시스템의 분류

고전물리학을 엄격하고 체계적으로 연구하기 위해서는 시스템을 분류할 필요가 있다. 이전의 논의를 바탕으로 물리적 시스템을 홀노믹 시스템과 비홀노믹 시스템으로 분류할 수 있다. 많은 이론과 방정식을 적용할 수 있는 조건 중 하나는 시스템이 반드시 홀로노믹스 시스템이어야 한다는 것이다. 예를 들어 물리적 시스템이 홀노믹 시스템이고 단일생성 시스템이라면 해밀턴의 원리는 라그랑주의 방정식의 정확성을 위해 필요하고 충분한 조건이다.^[3]

참고 항목

• 비혼성계
• 고랴체프-샤플리긴 탑
• 파피안 제약
• 우드와디아-칼라바 방정식

참조