차우 버라이어티

수학에서, 특히 대수 기하학의 분야에서, 차우 품종은 점들이 주어진 투영 공간에서 고정된 차원 및 정도의 효과적인 대수적 주기에 해당하는 대수적 품종이다.More precisely, the Chow variety^[1] ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ is the fine moduli variety parametrizing all effective algebraic cycles of dimension ${\displaystyle k-1}$ and degree ${\displaystyle d}$ in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$.

차우 버라이어티 ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (k}$, d${\displaystyle }$, n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Gr}(k,d,n)}$은 충분히 큰 투영 공간에 내장된 차우를 통해 구성할 수 있다.${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 풀만족이 차우 품종의 d = 1 {\$displaystyle d=1}$ 케이스인$$ 만큼 플뤼커 임베딩을 통해 그라스만 품종의 건설을 직접 일반화한 것이다$.$

차우 품종은 차우 그룹과 구별되는데, 차우 그룹은 합리적 등가성에 이르는 다양성(꼭 투영적인 공간은 아님)에 대한 모든 대수적 주기의 아벨 그룹이다.둘 다 대수주기 연구의 선구자인 웨이량차우(周周良良)의 이름을 따서 지은 것이다.

대수적 주기 배경

1{\displaystyle k-1}− 교차점 중 X와 Pn의 generic[2](n− k){\displaystyle(n-k)}-dimensional 투영 법의 부분 공간 사이에 Pn의 만약 X는 닫힌 아변종 − 1{\displaystyle \mathbb{P}^{n-1}}차원의 k, X의 학위는 수를 − 1{\displaystyle \mathbb{P}^{n-1}}. 경우 3.]

변질된 특정 한계를 제외하고 하위 분립 가정의^[4] 학위는 일정하다.이를 확인하려면 t에 의해 매개 변수화된 다음 패밀리를 고려하십시오.

${\displaystyle {}_{}X}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle :=}$ V${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$2$\}\}.$

${\displaystyle t_{}}$${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\neq 0},$$X{\displaystyle {}_{}}$ t ${\$는 원뿔(도 2의 불가역적 하위변수)이지만$$, $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle X_$${0}$은 선 $x{\displaystyle }$= 0 = $($도 1이 있음)으로 변한다$$.이 문제를 조정하기 위한 몇 가지 접근법이 있지만, 가장 간단한 방법은 대수 주기 언어를 사용하여 X ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 다변성 2의 선(그리고 더 일반적으로 다변성을 하위분리에 붙이는 선)으로$$ 선언하는 것이다.

A${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (k-1)}$ -차원$$ 대수 주기는 유한 형식 선형 조합이다.

${\displaystyle X}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $X{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$$displaystyle$ $X_$${i$$}$는 (${\displaystyle \mathrm{k}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (k-1)}$ -dimension$$ unreducible closed subvarieties in P ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$} ^{$n-1$ $mi}$는 정수다.각 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle m_{i}\geq 0}$이(가) 있을 경우 대수학 주기가 효과적이다$.$대수적 주기의 정도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \deg(X):$$=\sum _{i}m_{i}\deg(X_{i}})}$.

n-다수 변수의 동종 다항식 또는 동종 이상에서는 P ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1 ${\$의 유효 대수 주기를 정의하며, 여기서 각 불분명한 성분의 다중성은 해당 성분의 소멸 순서가 된다.$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}t}$ ${\displaystyle y}$ z ${\displaystyle x^{2}-tyz}$에 의해 정의된 대수 주기 계열에서 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$ 주기는$$ 도 2가 ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ 선 x${\displaystyle }$= 0$${\$displaystyle$ x=$0}$의 2배입니다$.$보다 일반적으로 대수적 주기의 정도는 가족 내에서 일정하므로 고정된 차원 및 정도의 유효 대수적 주기의 모듈리 문제를 고려하는 것이 타당하다.

차우 품종의 예

특히 간단한 구조를 가진 차우 품종에는 세 가지 특별 등급이 있다.

도 1: 보조 스페이스

치수 k-1과 도 ${\displaystyle 1^{}}$의 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ ^{n-1}에서 유효 대수학 주기는 n차원 아핀 공간의 k차원 아공간을 투영하는 것이다.이것은 그라스만족에게 이형성을 부여한다.

${\displaystyle \operatorname {Gr}(k,1,n)\simeq \operatorname {Gr}(k,n)}$

후자의 공간은 플뤼커 좌표에 의해 주어지는 균일한 좌표로 구분된 시스템을 가지고 있다.

치수 0: 점

치수 0과 도 d의$$ $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ ^{n-1}의 유효 대수 주기는 P ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 점의 (순서가 없는) d-tuple이며$,$ 반복일 수 있다.이렇게 $하면{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1 ${\$^{$n-1$ :

${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle d}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle {\mathrm{Sym}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{P}}^{}}$- ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$

코디멘션 1: 칸막이

코드인원 1과^[5] d의$$ $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$P$} ^{n-1}$^{n-1}의 유효 대수 주기는 n-다수 변수에서 단도 d 다항식이 소멸되어 정의될 수 있으며, 이 다항식은 재분할까지 고유하다.$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) n-많은 변수에서 도 d 다항식의 벡터 공간을 나타내도록$$ 하면, 이는 투영 공간에 이형성을 부여한다.

${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- 1,${\displaystyle d}$, n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \simeq }$ P ${\displaystyle V{}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$, n ${\$

후자의 공간에는 고정 단원형 계수에 다항식을 보내는 균일한 좌표의 구별된 시스템이 있다는 점에 유의한다.

비견례

Chow variety ${\displaystyle \mathrm{Gr}(}$ (${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$4 )$${\$displaystyle \operatorname {Gr}(2,2$,4$)}$ 파라메트리$$ 치수 1, P$$의 도 2 $사이클$ {\displaystyle $\mathb$ {$P} ^{3$ 이 Chow variet에는 두 가지 수정 불가능한 성분이 있다.

이 두 8차원 구성요소는 ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 2}$,$4$)의 단일한 위치인 선 쌍의 모듈리에서 교차한다$.$ 이는 $위의 특수$한 경우와 대조적으로 차우 $품종$이 부드럽거나 $수정$ 불가능할 필요가 없음을 보여준다.

차우 임베딩

치수 k-1과 도 d의$$ P ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1 ${\$ ^{n-1}에서 X를 수정할 수 없는 하위변수로 한다.정도 정의에 $따라{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 대부분의${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle (n-k)$ -차원$$ 투영 하위공간이 d-많은 점에서 X를 교차한다$$.대조적으로${\displaystyle }$P ${\displaystyle {}^{}}$ - 1 ) ${\displaystyle (n-k-1)}$ P n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 대부분의 (${\displaystyle n}$-${\displaystyle 1}$) -차원$$ 투영 하위공간은 X에서 전혀 교차하지 않는다$$.이것은 다음과 같이 날카롭게 할 수 있다.

Lemma.^[6] The set ${\displaystyle Z(X)\subset \operatorname {Gr} (n-k,n)}$ parametrizing the subspaces of ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ which intersect X non-trivially is an irreducible hypersurface of degree^[7] d.

$따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle (n}$- k${\displaystyle }$, n )${\displaystyle \operatorname {Gr}($${\displaystyle \mathrm{n-k}}$$,n)$에 도 d 형식^[8] R $X {\$$displaystyle Z(X$이(가)에 존재하며$$, 이 형식은 스케일링까지 고유하다.This construction can be extended to an algebraic cycle ${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$ by declaring that ${\displaystyle R_{X}:=\prod _{i}R_{X_{i}}^{m_{i}}}$. To each degree d algebraic cycle, this associates a degree d form ${\displaystyle R_{$$X}$ ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$-${\displaystyle k}$ , n${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \operatorname {Gr}(n-k,n)}$에서 스케일링까지 잘 정의된 X의 차우 형태라고 한다$.$

$Let{\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle d_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (n}$- ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n$에 d 형태의 벡터 공간을 나타낸다$$.

차우반더웨르덴 정리.^[9]$X$ ${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle }$R ${\displaystyle X_{}}$를$$보내는 지도 $Gr$ style (k , d ,${\displaystyle }$n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle P\mathbb{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle k{}_{}}$, d${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ , ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$,n}}}$는 폐쇄된 내장 품종이다$$.

특히 유효 대수 주기 X는 차우 형식 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$에 의해 결정된다$.$

If a basis for ${\displaystyle V_{k,d,n}}$ has been chosen, sending ${\displaystyle X}$ to the coefficients of ${\displaystyle R_{X}}$ in this basis gives a system of homogeneous coordinates on the Chow variety ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$, called the Chow coordina$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$의 teses$.$ 그러나 V${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle {d,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle V_{k,d,n}$에 대한 '최상의' 근거에 대해서는 의견이 일치하지 않기 때문에 이 용어는 모호할 수 있다$.$

From a foundational perspective, the above theorem is usually used as the definition of ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$. That is, the Chow variety is usually defined as a subvariety of ${\displaystyle \mathbb {P} V_{k,d,n}}$, and only then shown to be a fine moduli space for the moduli문제의 문제

힐버트 제도와의 관계

퇴행 하위변수의 정도를 '정확히' 세는 문제에 대한 보다 정교한 해결책은 하위변수보다는$$ $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$의 하위변수로 작업하는 것이다.계획은 다양성과 대수학 주기가 할 수 없는 극소수의 정보를 추적할 수 있다.

예를 들어, 다양성의 두 지점이 대수학 계열에서 서로 접근하는 경우, 제한하위변수는 단일점, 제한하위대주기는 다중성2가 있는 점, 제한하위 하위점은 두 지점이 충돌하는 접선 방향을 포함하는 '지방점'이다.

Hilbert scheme ${\displaystyle \mathrm{Hilb}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \operatorname {Hilb}(k,d,n)}$은 P${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^[10] 안에 있는 차원 k-1과 도 d의 닫힌 하위 체계의 미세한 모듈리 체계로 유효 대수 주기를 결정하고 유도한다.

${\displaystyle \mathrm{Hilb}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle ⟶}$ ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (k}$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)\longrightarrow \operatorname {Gr} (k,d,n)}$.

사이클 맵 또는 힐베르트-초 형태론이라고 불린다.이 지도는 일반적으로 ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$, d${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \operatorname {Gr}(k,d,n)}$의 지점들에 대한 이형성이며, 이는 d의 불가역적인 하위분리에 해당하지만$$, 단순 대수 주기에 대한 섬유는 더 흥미로울 수 있다.

차우 지수

차우 지수는 일반 궤도의 폐쇄를 파라메트리한다.차우 품종의 폐쇄적인 하위 품종으로 구성된다.

Kapranov's theorem says that the moduli space ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}}$ of stable genus-zero curves with n marked points is the Chow quotient of Grassmannian ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,\mathbb {C} ^{n})}$ by the standard maximal torus.

참고 항목

• 피카르 품종
• GIT 지수

참조

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• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1952]. Methods of Algebraic Geometry: Volume 2 Book III: General theory of algebraic varieties in projective space. Book IV: Quadrics and Grassmann varieties. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46901-2. MR 0048065.
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• Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Geometric invariant theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)]. Vol. 34 (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. MR 1304906.