카마이클 함수

카마이클

λ

함수:

1

(

n

\leq

1000에

대한

≤(

n

) (Uler

φ

함수와 비교)

수학의 한 분야인 수론에서, 양의 정수 $n$ 의 카마이클 함수 $λ(n)$ 은 다음과 같은 최소 양의 정수 $m$ 이다.

\equiv 1 m (mod n)

모든 정수에 대해 $1$ 에서 $n$ 사이의 동시 시간인 1에서 n $사이$ 의 a. 대수학 용어에서 $λ(n)$ 은 정수 modulo $n$ 의 승수 그룹의 지수다.

카마이클 함수는 미국의 수학자 로버트 카마이클의 이름을 따온 것으로, 카마이클의 λ 함수, 감소된 토티엔트 함수, 그리고 최소 보편적 지수함수로도 알려져 있다.

다음 표는 $λ(n)$ (OEIS에서 순서 A002322)의 처음 36개 값을 오일러의 토텐셜 함수 $φ$ 과 비교한다(다르면 굵게, 서로 다른 $ns$ 는 OEIS: A033949에 나열되어 있다).

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
$λ (n)$	1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20	12	18	6	28	4	30	8	10	16	12	6
$φ (n)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8	30	16	20	16	24	12

숫자 예제

카마이클은 8에서 2, $λ(8)$ = $2$ 이다. 왜냐하면 어떤 숫자에 $대해서$ 도 8에서 1 ≡ ( $mod 8)$ 을² 유지하기 때문이다 $.$ 즉, $12$ = 1 $(mod 8),$ $32$ = 9≡ 1 $(mod$ 8 $),$ 5 = $252$ ≡ $1 (mod 8),$ 7 = $492$ ≡1 $(mod$ 8)이다 $.$ 8에서 오일러의 총함수는 4, $φ(8)$ = $4$ 인데, 그 이유는 8보다 4개 숫자가 적기 때문이다(1, 3, 5, 7). 오일러의 정리는 $모든$ 조합에 대해 ≡ $1 (mod 8)$ 을⁴ 8로 보장하지만, 4는 그러한 가장 작은 지수가 아니라는 것을 보장한다.

카마이클의 정리를 이용한 연산 with( $n)$

고유한 요인화 정리로는 어떤 $n$ > $1도$ 다음과 같이 독특한 방법으로 쓸 수 있다.

n=p_{1}^{1}^{r_{1}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}}}}}

$여기$ 서₁ p < p < $p 2$ < $...$ $<$ $p$ 는_k 프라임이고 $r 1,$ r, $...,$ $r$ 은₂_k 양의 정수다. $그$ 다음 $n$ (n $)$ 은 각 주요 동력계수의 $λ$ 중에서 가장 덜 일반적인 배수다.

\lambda(n)=\lcm} \왼쪽(p_{1}^{1}^{1}:{1}\오른쪽),\ \da \left(p_{2}^{2}}\오른쪽),\dots \왼쪽(p_{k}^{r_{k}}}}}}}\오른쪽)\오른쪽).

이것은 중국의 나머지 정리를 이용하여 증명할 수 있다.

카마이클의 정리에서는 프라임파워 $p$ 의^r 계산법을 설명하고 있다: 홀수 프라임의 파워에 $대해서$ 는 $((p r)$ 가 오일러 토티엔트 $p r$ (p)와 같고 $,$ 2가 크면 p(p)가 오일러 토티엔트의 절반과 같다.

\lambda (p^{r})={\begin{cases}\varphi \left(p^{r}\right)&{\mbox{if }}p^{r}=2,3^{r},4,5^{r},7^{r},11^{r},13^{r},17^{r},19^{r},23^{r},29^{r},31^{r},\dots \\{\tfrac {1}{2}}\varphi \left(p^{r}\right)&{\text{if }}p^{r}=8,16,32,64,128,256,\dots \end{cases}}

오일러의 권한 $p$ 에^r 대한 기능은 다음과 같다.

\varphi(p^{r}=p^{r}=p^{r-1}(p-1).

카마이클 함수의 특성

$n=km$ 절에서 $n$ $n=km$ = $n=km$ $n=km$ ${\displaystyle n$ $}$ 과(와) 같은 $k$ 정수 $k$ $k$ 이(가) 있는 경우 $m$ n ${\$ displaystyle $n$ $=km}$ 은(는) 0이 아닌 $정수$ m ${\displaystyle$ m $}$ 으로 구분된다 $n$ $n=km$ 라고 쓰여 있다.

디스플레이 스타일 m\mid n.}

$원소모듈로n순서$

$a$ 와 $n$ 을 합쳐서 $m$ 을 $mod$ 1 (mod $n)$ 의^m 가장 작은 지수로 하고 $,$ 그 다음 그것을 잡는다.

m\,|\,\lambda (n)

m\,|\,\lambda (n)

(

m\,|\,\lambda (n)

)

m\, \,\lambda (n)

.

즉, 정수 $modulo$ n의 링에서 $단위$ $a$ 의 m $:= 순서 n (a)$ 는 $λ(n)$ 를 나누고,

\n)=\max\{\maxname {ord} _{n}(a)\,\gcd(a,n)=1\

미니멀리티

모든 숫자에 대해 ≡ $1(모드$ $n)$ 이^m $n$ 과 $동일$ 하다고 가정한다. $그러면 λ(n)$ m.

증명: $m$ = $kλ (n)$ + $r$ 이 0≤ r < $λ (n)$ 이면

a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}\equiv \left(a^{\boda (n)}\오른쪽)^{k}\cdot a^{r}=a^{k\lambda (n)+r}=a^{m}\equiv 1{\pmod{n}}}}

$모든$ 숫자에 대해 n과 한 번 $해보자$ . $r$ < $λ (n)$ 및 $λ(n)$ 의 최소 양성수인 r = $0$ 을 따른다.

$λ (n)$ 은 $φ(n)$ 을 나눈다.

이것은 어떤 유한집단의 지수가 집단의 순서를 나누어야 하기 때문에 초등집단 이론에서 따온 것이다. $λ(n)$ 은 정수모듈로 $n$ 의 승수집단의 지수인 반면 $φ(n)$ 은 그 집단의 순서인 것이다. 특히 원시적 뿌리의 존재로 인해 승법집단이 순환하는 경우에 두 가지가 평등해야 하는데, 이는 괴상한 원권력의 경우다.

따라서 우리는 카마이클의 정리를 오일러의 정리를 날카롭게 한 것으로 볼 수 있다.

부차성

\\style a\, \,b\오른쪽 화살표 \lambda(a)\, \,\lambda(b)}

증명하다.

By definition, for any integer $k$ , we have that $b\, \,(k^{\lambda (b)}-1)$ , and therefore $a\, \,(k^{\lambda (b)}-1)$ . By the minimality property above, we have ${\displaystyle \lambda (a)\, \$ $,\cHBDA (b)}$ .

구성

모든 양의 정수 $a$ 와 $b$ 에 대해, 그것은 그것을 가지고 있다.

\lambda (\mathrm {lcm} (a,b))=\mathrm {lcm} (\lambda (a),\lambda (b))

=\mathrm {lcm}(\lambda(a),\lambda(b

이것은 카마이클 함수의 재귀적 정의의 즉각적인 결과물이다.

지수 사이클 길이

$n$ 이 prime factorization 하의 최대 prime 지수 $r$ 을_max 갖는 경우, 모든 $a$ ( $n$ 에 대한 동시 발생이 아닌 것을 포함) 및 $모든$ r ≥ $r$ 에_max 대해,

a^{r}\equiv a^{r+\lambda (n)}{\pmod {n}.

특히, 제곱이 없는 $n$ ( $r max$ = $1$ )의 경우, 모든 $a$ 에 대해

a\equiv a^{\pmod {n}.

2의 권한에 대한 연장

2에 $대한$ 복사 시간의 경우 $몇$ $시간$ $동안$ a = 1 + $2h$ 가 있다. 그러면

a^{2}=1+4h(h+1)=1+8C

어디에 우리가 사실은 C:\.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output를 이용합니다. .sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫ(h+1)h/2는 정수.

$따라서$ , k = $3$ 의 경우, h:

{\cH1}a^{2^{k-2}}&=1+2^{k-1}h\a^{2^{k-1}h\오른쪽)^{2}=\좌측(1+2^{k+1}^{k-1}{2}^{2}}\우측)^{nd}}}}

$인덕션$ 으로 K ≥ $3$ 이 되면

a^{2^{k-2}\equiv 1{\pmod{2^{k}}.

$λ(2)$ 는^k 기껏해야 $2$ 라고^{k − 2} 제공한다.^[1]

평균값

$n$ ≥ $16$ 의 경우:^[2]^[3]

{\frac {1}{n1}\sum _{i\leq n}\lambda(i)={\frac {n}{\lnn}e^{B(1+o(1))\ln \lnn/(\ln \ln \ln n)}}}}}

(다음에서 Erdős 근사치라고 함) 상수와 함께

B:=e^{-\gamma }\prod _{p\in \mathb {P}}}\왼쪽({1-{\frac {1}{{(p-1)^{2}(p+1)}}}}\오른쪽)\약 0.34537

그리고 $γ$ 0. $57721$ , 오일러-마스케로니 상수.

다음 표에는 $λ$ 함수의 $처음 26$ 2 – $1$ = $67108863$ 값에 대한 몇 가지 개요와 정확한 평균 및 Erdss-tarmation이 수록되어 있다.

또한 보다 쉽게 액세스할 수 있는 "Logarithm over Logarithm" 값 $LoL(n) := ln$ $λ (n)/ ln$ $n$ 에 대한 개요도 제공된다.

$LoL(n) > 4 / 5 \Leftrightarrow λ (n) > n 4 / 5$ .

거기, 26번째 줄의 테이블 항목 열

$% LoL$ > $4 / 5$ → 60.49

$11$ n ( $6710863$ 정수 중 60.49%(최대 40000000)가 $λ(n)$ > $n$ 을^4/5 가지고 있다는 것을 나타내며, 즉, $λ$ 값의 대다수가 $입력$ $n$ 의 l $:= log 2 (n)$ 길이에 지수적이라는 것을 의미한다.

\left(2^{\frac {4}{5}\오른쪽)^{l}=2^{\frac {4l}{5}}=\왼쪽(2^{l}\오른쪽)^{\frac {4}{5}}{5}=n^{\frac {4}{5}}}.

$ν$	$n = 2 ν - 1$	합계를 내다 $\sum _{i\leq n}\boda (i)$	평균의 ${\tfrac {1}{n}\sum _{i\leq n}\da(i)$	에르디즈 평균	에르디즈 / 정확한 평균	$LoL$ 평균	% $LoL$ > 4/5	% $LoL$ > 7/8
5	31	270	8.709677	68.643	7.8813	0.678244	41.94	35.48
6	63	964	15.301587	61.414	4.0136	0.699891	38.10	30.16
7	127	3574	28.141732	86.605	3.0774	0.717291	38.58	27.56
8	255	12994	50.956863	138.190	2.7119	0.730331	38.82	23.53
9	511	48032	93.996086	233.149	2.4804	0.740498	40.90	25.05
10	1023	178816	174.795699	406.145	2.3235	0.748482	41.45	26.98
11	2047	662952	323.865169	722.526	2.2309	0.754886	42.84	27.70
12	4095	2490948	608.290110	1304.810	2.1450	0.761027	43.74	28.11
13	8191	9382764	1145.496765	2383.263	2.0806	0.766571	44.33	28.60
14	16383	35504586	2167.160227	4392.129	2.0267	0.771695	46.10	29.52
15	32767	134736824	4111.967040	8153.054	1.9828	0.776437	47.21	29.15
16	65535	513758796	7839.456718	15225.430	1.9422	0.781064	49.13	28.17
17	131071	1964413592	14987.400660	28576.970	1.9067	0.785401	50.43	29.55
18	262143	7529218208	28721.797680	53869.760	1.8756	0.789561	51.17	30.67
19	524287	28935644342	55190.466940	101930.900	1.8469	0.793536	52.62	31.45
20	1048575	111393101150	106232.840900	193507.100	1.8215	0.797351	53.74	31.83
21	2097151	429685077652	204889.909000	368427.600	1.7982	0.801018	54.97	32.18
22	4194303	1660388309120	395867.515800	703289.400	1.7766	0.804543	56.24	33.65
23	8388607	6425917227352	766029.118700	1345633.000	1.7566	0.807936	57.19	34.32
24	16777215	24906872655990	1484565.386000	2580070.000	1.7379	0.811204	58.49	34.43
25	33554431	96666595865430	2880889.140000	4956372.000	1.7204	0.814351	59.52	35.76
26	67108863	375619048086576	5597160.066000	9537863.000	1.7041	0.817384	60.49	36.73

우세 간격

모든 숫자 $N$ 과 $o(N)$ ^[4] 양의 정수 $n$ ≤ $N$ 을 제외한 모든 정수("예약" 다수)에 대해:

\lambda (n)={\frac {n}{(\ln n)^{\ln \ln \ln \ln n+A+o(1)}}}}}}}}}}}}}}

상수로^[3]

A:=-1+\sum _{p\in \mathb {P}}{\frac {\ln p}{(p-1)^{2}}\약 0.2269688

하한

충분히 큰 수 $N$ 과 $Δ ($ ( $ln$ $ln$ N)의 경우 $, 3$ 기껏해야 있다.

N\exp \left(-0.69(\Delta \ln \Delta )^{\frac {1}{3}\오른쪽)

inte( $n) ne$ 와^−Δ 같은 양의 정수 $n$ n ne.^[5]

미니멀 오더

양의 정수의 $모든 1 시퀀스 2 3$ n < n < n < $\dots,$ 임의의 상수 $0$ < $c$ < $1$ / $ln$ 2 $및$ 임의의 충분히 큰 $i$ :^[6]^[7]

\lambda (n_{i})}\왼쪽(\ln n_{i}\right)^{c\ln \ln \ln n_{i}}.

작은 값

상수 $c$ 와 충분히 큰 양의 $A$ 에 대해서는 $다음$ 과^[7] 같은 정수 n > $A$ 가 존재한다.

\displaystyle \lambda(n)<\ln(\ln A\right)^{c\ln \ln \ln A}.}

더욱이 $n$ 은 형식이다.

n=\mathop {\prod_{q\in \mathb {P}}}}} _{(q-1) m}q

일부 사각형 없는 $정수$ m < $(ln$ $A) c ln ln ln A$ ^[6]

함수의 이미지

Carmichael 함수의 값 집합에는 카운팅 기능이^[8] 있다.

{\frac {x}{(\ln x)^{\eta +o(1)}},

어디에

\eta =1-{\frac {1+\ln \ln \ln2}{\ln2}}\약 0.08607

암호화에 사용

카마이클 기능은 RSA 암호화 알고리즘에서 사용되기 때문에 암호학에서 중요하다.

참고 항목

카마이클 수

메모들

^ Carmichael, Robert Daniel. The Theory of Numbers. Nabu Press. ISBN 1144400341.^{[페이지 필요]}
^ 에르디스의 정리 3 (1991)
^ ^a ^b 선도르 & 크르스티치(2004) 페이지 194
^ Erdős의 정리 2 (1991년) 3. 정상 순서. (p.365)
^ 프리드랜더 주의 정리 5(2001)
^ ^a ^b 1991년 에르디스의 정리 1
^ ^a ^b 선도르 & 크르스티치(2004) 페이지 193
^ Ford, Kevin; Luca, Florian; Pomerance, Carl (27 August 2014). "The image of Carmichael's λ-function". Algebra & Number Theory. 8 (8): 2009–2026. arXiv:1408.6506. doi:10.2140/ant.2014.8.2009.

참조

Erdős, Paul; Pomerance, Carl; Schmutz, Eric (1991). "Carmichael's lambda function". Acta Arithmetica. 58 (4): 363–385. doi:10.4064/aa-58-4-363-385. ISSN 0065-1036. MR 1121092. Zbl 0734.11047.
Friedlander, John B.; Pomerance, Carl; Shparlinski, Igor E. (2001). "Period of the power generator and small values of the Carmichael function". Mathematics of Computation. 70 (236): 1591–1605, 1803–1806. doi:10.1090/s0025-5718-00-01282-5. ISSN 0025-5718. MR 1836921. Zbl 1029.11043.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36, 193–195. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001.
Carmichael, R. D. (2004-10-10). The Theory of Numbers. Nabu Press. ISBN 978-1144400345.

[car-1] Carmichael, Robert Daniel. The Theory of Numbers. Nabu Press. ISBN 1144400341.^{[페이지 필요]}

[2] 에르디스의 정리 3 (1991)

[HBII194-3] 선도르 & 크르스티치(2004) 페이지 194

[4] Erdős의 정리 2 (1991년) 3. 정상 순서. (p.365)

[5] 프리드랜더 주의 정리 5(2001)

[Theorem_1_in_Erdős_1991-6] 1991년 에르디스의 정리 1

[HBII193-7] 선도르 & 크르스티치(2004) 페이지 193

[8] Ford, Kevin; Luca, Florian; Pomerance, Carl (27 August 2014). "The image of Carmichael's λ-function". Algebra & Number Theory. 8 (8): 2009–2026. arXiv:1408.6506. doi:10.2140/ant.2014.8.2009.

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카마이클의 정리를 이용한 연산 with( $n)$