범블비 모델

범블비 모델은 자연적으로 로렌츠 대칭을 파괴하는 진공 기대값을 가진 벡터장을 설명하는 효과적인 필드 이론이다.^[1]^[2]^[3]^[4]범블비 모델은 자발적인 로렌츠 대칭이 깨지는 이론의 가장 단순한 경우다.^[5]

범블비 모델의 개발은 주로 끈 이론의 메커니즘(그리고 그에 따른 다른 양자 중력 이론)이 진공 기대값을 획득하는 텐서 값 장으로 이어질 수 있다는 발견에 의해 동기 부여되었다.^[6]범블비 모델은 현지 U(1) 게이지 이론과 다르다.그럼에도 불구하고 일부 범블비 모델에서는 광자처럼 동작하는 질량이 없는 모드가 나타날 수 있다.

소개

앨런 코스텔레크와 스튜어트 사무엘은 1989년에 끈 이론의 맥락에서 발생하는 메커니즘이 로렌츠 대칭의 자발적인 파괴로 이어질 수 있다는 것을 보여주었다.^[6]^[7]유효장 이론 수준의 모델 집합은 중력장과 0이 아닌 진공 기대치인 벡터장 B를_µ 포함하는 것으로 정의되었다. <B_µ> = b_µ.이것들은 범블비 모델로 알려지게 되었다.

일반적으로 이러한 모델에서 자발적인 로렌츠 위반은 작용에 잠재적 항이 존재하기 때문에 발생한다.진공 값 b는_µ 배경 메트릭과 함께 범블비 잠재력을 최소화하는 솔루션을 제공한다.

진공 값 b는_µ 로렌츠 대칭을 자연적으로 깨는 고정된 배경장 역할을 한다.벡터의 경우 표준-모델 확장에 정의된 로렌츠 위반 계수의 예다.

코스트레크에 의해 만들어진 범블비라는 이름의 이 모델은 날 수 있는 능력이 이론적인 근거에서 종종 의심받았지만, 그럼에도 불구하고 성공적으로 날 수 있는 곤충을 기반으로 한다.^[8]^[9]

라그랑기안

범블비 라그랑지안의 다른 예들을 구성할 수 있다.그들의 표현에는 중력과 범블비장에 대한 운동용어, 자연발생적인 로렌츠 파단을 유도하는 잠재적 V, 물질용어 등이 있다.또한 중력, 범블비, 물질장 사이에 커플링이 있을 수 있다.^[2]^[3]^[4]^[8]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]

한 가지 예로, 전통적인 아인슈타인-Hilbert와 우주론적으로 중력 부문에 대한 용어는 Lagrangian이다.

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{B}&={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )+\sigma _{1}B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu }+\sigma _{2}B^{\mu }B_{\mu }R-{\frac {1}{4}}\tau _{1}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }\\&\quad +{\frac {1}{2}}\tau _{2}D_{\mu }B_{\nu }D^{\mu }B^{\nu }+{\frac {1}{2}}\tau _{3}D_{\mu }B^{\mu }D_{\nu }B^{\nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})+{\mathcal{L}_{\rm {M}}.\end{arged}}

이 식에서 $D_{\mu }{\Big .}$ $D_{\mu }{\Big .}$ $displaystyle D_{\mu }{\Big.$ $}}}}$ 은 $D_{\mu }{\Big .}$ 공변성 파생상품, $B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}$ $B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}$ = D $B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}$ - $B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}$ $B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}$ $B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}$ $displaystyle B_{\mu }}=D_{\nu }-D_{\nu }{\$ nu } $B_{\mu$ }{\mu $}{\B.$ $B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}$ 용어는 상수 집합인 $\sigma _{1}{\Big .}$ $\sigma _{1}{\Big .}$ $displaystyle \sigma _{1}{\Big$ 에 의해 제어된다 $.$ $}}}},$ $\sigma _{2}{\Big .}$ $\sigma _{2}{\Big .}$ $displaystyle \sigma _{2}{\Big$ . $displaystyle \tau_{1}{\Big$ . $}}}},$ $\tau _{2}{\Big .}$ $\tau _{2}{\Big .}$ $displaystyle \tau_{2}{\Big$ . $}}},$ , $displaystyle \tau_{3}{\Big$ 물질- 섹터 라그랑지안, ${\mathcal {L}}_{\rm {M}}$ ${\mathcal {L}}_{\rm {M}}$ {\ $displaystyle {\mathcal{L}_{\rM$ 은(는) B에_µ 커플링을 포함할 수 있다.

이 예에서 잠재적 $V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})$ $V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})$ $V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})$ b $V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})$ ) ${\displaystyle V(B_{\mu }B^{\mu }}\mp b^{2})$ 는 다음과 같은 경우 최소값을 갖는 것으로 가정한다.

B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}=0.

이 조건은 벡터 필드가 bb_µ_µ^µ = ±b를² 준수하는 진공 값을 가질 때 충족된다.전위차에서 상수² ±b의 값은 진공 벡터가 타임라이크인지, 가벼운지 또는 공간적인지 여부를 결정한다.

일반적으로 사용되는 잠재력의 한 가지 예는 부드러운 이차함수,

{\displaystyle V={\frac {1}{1}:{2}}\kappa(B_{\mu }B^{\mu }}\mp b^{2})^{2},

$\kappa {\Big .}$ 서 $displaystyle \kappa】\Big.$ $}}}}$ 은 $\kappa {\Big .}$ 상수다.이 선택으로 잠재 V를 최소화하지 않는 B의_µ 값에 대한 이론에 대규모 모드가 나타날 수 있다.

또 다른 일반적인 선택은 라그랑주-멀티플라이어 필드를 사용하며 다음과 같이 주어진다.

V=\lambda(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}).

이 경우 대규모 모드는 동결된다.그러나 라그랑주-다중배율 분야 λ은 이론상 자유도의 추가로서 그 자리를 차지한다.

이론에서 잠재적 용어 V가 제거되는 한계에서 범블비 모델은 벡터-텐서 중력 이론의 예로 감소한다.^[20]^[21]

$\tau _{1}=1{\Big .}$ $\tau _{1}=1{\Big .}$ = 1 $displaystyle$ ${\mathcal{$ $\tau _{1}=1{\Big .}$ $}_{B}}$ 의 ${{\mathcal L}}_{B}$ 특수 라그랑지안 L B ${\$ $\tau_{1}=1{\Big.$ $\tau _{1}=1{\Big .}$ 그리고 $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ = $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ 2 = $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ 3 = $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ 3 = $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ $displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{3}=0}{\Big.$ $}}}$ 은 KS 범블비 모델로 알려진 ^[1]코스텔렉과 사무엘이 검사한 오리지널 타입의 모델이다 $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ .이 경우 라그랑지안은 범블비 운동용어에 대한 맥스웰 형식을 가지고 있으며, 다음과 같이 주어진다.

{\mathcal {L}}_{\rm {KS}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal{L}_{\rm {M}}

이 때문에 B는_µ 일반화된 벡터 전위, 물질 전류 $J^{\mu }{\Big .}$ $displaystyle$ J $^{\mu }{\big.$ $}}}$ 포함 가능 $J^{\mu }{\Big .}$ .

$\tau _{1}=1{\Big .}$ $\tau _{1}=1{\Big .}$ = 1 $displaystyle$ ${\mathcal{$ $\tau _{1}=1{\Big .}$ $}_{B}}$ 의 ${{\mathcal L}}_{B}$ 특수 라그랑지안 L B ${\$ $\tau_{1}=1{\Big.$ $}}},$ $\sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}$ 1 $\sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}$ = $\sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}$ / $\sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}$ $\sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}$ G $displaystyle \sigma _{1}=\xi /16\pi$ G ${\Big$ . $\sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}$ 그리고 $\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ = $\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ 3 = $\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ 3 $\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ = $\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ $displaystyle \sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big.$ $\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ 은 KS 모델과 유사하지만 $\xi {\Big .}$ 에 의해 파라미터화된 최소 중력 커플링을 포함한다 $displaystyle \xi{\Big.}.$ 이 경우 라그랑지안은 다음과 같다.

{\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda +\xi B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu })-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal{L}_{\rm {M}}

모든 범블비 모델에서 라그랑지안은 국부 로렌츠 변형과 차이점형성 모두에서 불변한다.Vierbein 형식주의는 매 틈새 시점에서 미터법, 범블비 및 물질 필드에 대한 로컬 구성요소를 도입하는 데 사용될 수 있다.자발적인 로렌츠 위반은 범블비 필드가 로컬 로렌츠 프레임에서 0이 아닌 진공 값을 가질 때 발생한다.

비어베인 형식주의는 범블비 이론의 구조를 표현하는 데 유용하다.예를 들어, 자연발생적인 로렌츠파괴와 차이점포파괴 사이의 직접적인 연관성을 표현할 수 있는 자연스러운 방법을 제공한다.스페이스타임 진공값 b는_µ Vierbein에 대한 진공 솔루션이 벡터장에 대한 국소 진공 값에 작용했을 때 얻는다.그 결과는 스팩타임 프레임에 고정된 배경장이며, 이것은 자연적으로 입자의 차이점들을 깨트린다.

남부-골드스톤과 매시브 모드

범블비 모델은 중력 이론에서 자발적인 로렌츠 위반의 영향을 탐구하는 데 유용하다.이러한 효과에는 남부-골드스톤 모드의 존재, 대규모(하이그스) 모드의 존재, 힉스 메커니즘의 가능성 등이 포함된다.^[18]^[19]범블비 모델에서 로렌츠와 차이점형 대칭은 자연적으로 깨지기 때문에 이러한 효과는 두 가지 유형의 대칭 파괴의 맥락에서 고려되어야 한다.

남부-골드스톤 모드는 연속 대칭이 자연적으로 깨졌을 때 나타난다.남부-골드스톤 모드는 이론의 퇴보적인 진공에 머물러 있는 깨진 대칭에 의해 생성되는 속죄라고 생각할 수 있다.이와는 대조적으로, 매시브(Higgs) 모드는 잠재적 최소치에 머무르지 않는 흥분이다.이런 의미에서 대규모 모드는 남부-골드스톤 속편과 직교한다.

범블비 모델에서, 깨진 차이점형식에 의해 생성된 배설물은 벡터 필드 B와_µ 미터법 g에_µν 모두 포함되어 있다.이 들판들 사이에서 남부-골드스톤 자유도를 효과적으로 이동시키는 다른 게이지 선택이 가능하다.일정한 값이 b인_µ KS 범블비를 포함한 광범위한 모델의 경우, 차이점형성 남부-골드스톤 모드는 물리적 질량 없는 모드로 전파되지 않는다.대신 보조모드다.

다른 게이지 선택은 자발적인 로렌츠 파손에서 발생하는 남부-골드스톤 모드의 해석에도 영향을 미친다.가장 일반적인 범블비 모델에서 로렌츠 변환 및 차이점형성에 대한 게이지 고정법을 만들어 모든 남부 골드스톤 모드가 비어베인 또는 어떤 경우에는 미터법에만 중력 영역에 포함되도록 할 수 있다.이러한 선택으로 범블비 모델은 대체 중력 이론으로 취급된다.

${\mathcal {L}}_{B}$ 의 제한 ${\mathcal {L}}_{B}$ 값 values 1 ${\$ 을 ${\mathcal {L}}_{B}$ 를) 사용하는 일반 모델의 경우 $\sigma _{1}{\Big .}$ $\sigma _{1}{\Big .}$ $displaystyle \sigma _{1}{\Big.$ $}}}},$ $\sigma _{2}{\Big .}$ $\sigma _{2}{\Big .}$ $displaystyle \sigma _{2}{\Big$ . $displaystyle \tau_{1}{\Big$ . $}}}},$ $\tau _{2}{\Big .}$ $\tau _{2}{\Big .}$ $displaystyle \tau_{2}{\Big$ . $}}}},$ $\tau _{3}{\Big .}$ 3 $displaystyle \tau_{3}{\Big$ . $\tau _{3}{\Big .}$ 남부-골드스톤 모드는 무질량 전파 모드와 고스트 모드를 모두 포함한다.한 가지 조사 선은 유령을 전파 모드로 제거하는 매개 변수의 제한된 값을 검색하는 것이다.

KS 범블비 모델에서 유일하게 전파되는 남부-골드스톤 모드는 축 게이지의 광자와 유사한 특성을 가진 2개의 횡방향 무질량 모드다.전파 중력 모드는 일반 상대성에서 일반적인 중력 모드를 설명한다.

남부-골드스톤 모드 외에도 B와_µ g의_µν 조합된 흥분 상태가 잠재 최소치에 머무르지 않는다.그것은 전기취약 모델의 힉스 흥분과 비슷한 대규모 모드다.

KS 범블비 모델에서, 대규모 모드 흥분은 중력의 배경 원천이자 전하 밀도의 배경 원천으로 작용한다.이론의 안정성은 아인슈타인-맥스웰 이론에 비해 추가적인 자유도를 나타내는 거대한 모드의 행동에 의해 영향을 받는다.

KS 모델에서는 매시브 모드를 항상 0으로 설정하는 적절한 초기 조건이 존재함을 알 수 있다.또는 대규모 모드의 질량 스케일이 커지면 그 효과가 크게 억제된다.매시브 모드에 대한 무한 질량 척도의 한계에서 KS 모델은 고정 축력 게이지에서 아인슈타인-맥스웰 이론과 동등한 것으로 밝혀졌다.^[18]^[19]

범블비 이외의 다른 모델에서는 알려진 무질량 입자가 남부-골드스톤 모드로 발생할 수 있다는 점에 유의하십시오.예를 들어, 추기경 모형은 대칭 투텐서를 기반으로 한다.이 모델에서 자발적인 로렌츠 파단으로부터 발생하는 모드는 그라비톤과 동일시될 수 있다.^[22]

자발 로렌츠로부터의 광자 위반

자연발생적인 로렌츠 위반이 있는 이론에서 광자가 남부-골드스톤 모드로 등장할 수 있다는 생각은 특수상대성이성의 맥락에서 처음 생겨났다.

1951년, 폴 디락은 전자의 전하를 발생시키는 대안적 모델로서 라그랑주-멀티플라이어 전위를 가진 벡터 이론을 고려했다.^[23]이것은 자발적인 로렌츠가 깨지는 이론이라는 것이 나중에 인정되었다.

그로부터 12년 뒤인 1963년 제임스 비요르켄은 페르미온 들판의 집단적 배설물이 복합광자를 남부-골드스톤 모드로 부상시킬 수 있는 모델을 제안했다.^[24]이 원래 모델에서 광자의 관측 가능한 거동은 전기역학과 동등하다고 주장되었다.

그 후 1968년, 남부 요이치로가 대칭파괴 전위를 수반하지 않는 벡터 모델을 도입했다.^[25]그 대신 벡터장이 고정된 규범을 갖는 제약조건이 직접 도입되었고, 대규모 모드를 포함하지 않는 결과론도 고정 게이지에서 전자기학에 준하는 것으로 나타났다.

벡터장 외에 중력장까지 포함하는 KS 범블비 모델은 남부-골드스톤 모드로 발생하는 광자의 사상을 특수상대성이론에서 일반상대성이론까지 확대한다.

KS 모델에서는 국소 U(1) 게이지 대칭이 없다.대신 질량이 없는 남부-골드스톤 모드와 자연발생적인 로렌츠 위반으로 인한 대규모 모드가 있다.무한한 질량의 한계에서 광자는 질량이 없는 남부-골드스톤 모드로 나타난다.

힉스 메커니즘

로렌츠 대칭은 중력이 존재하는 곳에서 국부 대칭이기 때문에, 로렌츠 대칭이 자연적으로 깨졌을 때 힉스 메커니즘의 가능성이 발생한다.기존의 게이지-이론 힉스 메커니즘에서 남부-골드스톤 모드는 거대한 게이지 영역과 연관된 자유도로 재해석된다.남부-골드스톤 모드는 먹었다고 하며 게이지 보손은 질량을 얻는다.

범블비 모델에서 중력 힉스 메커니즘이 중력을 지닌 중력 힉스 메커니즘에 질량을 부여할 수 있는 가능성은 코스트레키와 사무엘이 고려했다.^[1]그러나 그들은 질량 용어로 보이는 것은 부속 연결부 $\Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }$ $\Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }$ $\Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }$ ν { { { $\Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }$ { {\ $displaystyle \Gamma$ _{\,\,\ $mu \nu$ }^{\ $lambda$ }}}}}}}}}}}과(와)의 제곱과 관련이 있다는 것을 보여주었다 $\Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }$ 따라서, 거대한 그라비톤을 만드는 범블비 모델에는 전통적인 힉스 메커니즘이 없다.

이 결과는 스페이스타임이 리만 스페이스타임을 가정했다.대신에 Riemann-Cartan 스페이스타임을 고려한다면, 힉스 메커니즘이 가능해진다.^[18]^[19]그러나 이 경우 미사를 얻는 것은 그라비톤이 아니다.대신에 자발적인 로렌츠 파단을 통해 거대해지는 것이 스핀 연결이다.

Riemann-Cartan spacetime에서 국소 텐더에 작용하는 공변량 파생상품은 스핀 연결을 포함한다.이러한 유형의 기하학에는 비틀림이 포함되기 때문에 스핀 연결은 전파할 수 있는 추가적인 동적 자유도 세트를 제공한다.

Riemann-Cartan spacetime의 범블비 모델은 국부 로렌츠 대칭의 자발적 파단을 통해 스핀 연결에 대한 질량 항을 유도한다.힉스 메커니즘에서처럼 스핀 연결을 대량으로 만드는 자유도로서 남부-골드스톤 모드를 재해석할 수 있다.그러나 귀신과 타키온이 없는 대규모 스핀 연결에 적합한 운동 용어를 찾는 것은 아직 해결되지 않은 문제로 남아 있다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c Kostelecký, V. Alan; Samuel, S. (1989). "Gravitational phenomenology in higher-dimensional theories and strings". Physical Review D. 40 (6): 1886–1903. Bibcode:1989PhRvD..40.1886K. doi:10.1103/PhysRevD.40.1886. hdl:2022/18652. PMID 10012017.
^ ^a ^b Kostelecký, V. Alan; Lehnert, Ralf (2001). "Stability, causality, and Lorentz and CPT violation". Physical Review D. 63 (6): 065008. arXiv:hep-th/0012060. Bibcode:2001PhRvD..63f5008K. doi:10.1103/PhysRevD.63.065008. S2CID 119074843.
^ ^a ^b Kostelecký, V. Alan (2004). "Gravity, Lorentz violation, and the standard model". Physical Review D. 69 (10): 105009. arXiv:hep-th/0312310. Bibcode:2004PhRvD..69j5009K. doi:10.1103/PhysRevD.69.105009. S2CID 55185765.
^ ^a ^b Bailey, Quentin; Kostelecký, V. Alan (2006). "Signals for Lorentz violation in post-Newtonian gravity". Physical Review D. 74 (4): 045001. arXiv:gr-qc/0603030. Bibcode:2006PhRvD..74d5001B. doi:10.1103/PhysRevD.74.045001. S2CID 26268407.
^ Bluhm, R. (2008). "Nambu-Goldstone modes in gravitational theories with spontaneous Lorentz breaking". International Journal of Modern Physics D. 16 (12b): 2357–2363. arXiv:hep-th/0607127. Bibcode:2007IJMPD..16.2357B. doi:10.1142/S021827180701122X. S2CID 12186967.
^ ^a ^b Kostelecký, V. Alan; Samuel, Stuart (1989). "Spontaneous breaking of Lorentz symmetry in string theory". Physical Review D. 39 (2): 683–685. Bibcode:1989PhRvD..39..683K. doi:10.1103/PhysRevD.39.683. hdl:2022/18649. PMID 9959689.
^ Bluhm, R.; Lämmerzahl, Claus (2006). Ehlers, JüRgen; Lämmerzahl, Claus (eds.). Overview of the Standard Model Extension: implications and phenomenology of Lorentz violation. Lecture Notes in Physics. Vol. 702. Springer Berlin / Heidelberg. pp. 191–226. doi:10.1007/b11758914. ISBN 978-3-540-34522-0.
^ ^a ^b Bluhm, Robert; Gagne, Nolan; Potting, Robertus; Vrublevskis, Arturs (2008). "Constraints and stability in vector theories with spontaneous Lorentz violation". Physical Review D. 77 (12): 125007. arXiv:0802.4071. Bibcode:2008PhRvD..77l5007B. doi:10.1103/PhysRevD.77.125007.
^ Dickinson, Michael H.; Lehmann, Fritz-Olaf; Sane, Sanjay P. (1999). "Wing rotation and the aerodynamic basis of insect flight". Science. 284 (5422): 1954–1960. doi:10.1126/science.284.5422.1954. PMID 10373107.
^ Jacobson, Ted; Mattingly, David (2001). "Gravity with a dynamical preferred frame". Physical Review D. 64 (2): 024028. arXiv:gr-qc/0007031. Bibcode:2001PhRvD..64b4028J. doi:10.1103/PhysRevD.64.024028. S2CID 119372246.
^ Carroll, Sean; Lim, Eugene (2004). "Lorentz-violating vector fields slow the universe down". Physical Review D. 70 (12): 123525. arXiv:hep-th/0407149. Bibcode:2004PhRvD..70l3525C. doi:10.1103/PhysRevD.70.123525. S2CID 119065573.
^ Bertolami, O.; Páramos, J. (2005). "Vacuum solutions of a gravity model with vector-induced spontaneous Lorentz symmetry breaking". Physical Review D. 72 (4): 044001. arXiv:hep-th/0504215. Bibcode:2005PhRvD..72d4001B. doi:10.1103/PhysRevD.72.044001. S2CID 119091136.
^ Cheng, Hsin-Chia; Luty, Markus A; Mukohyama, Shinji; Thaler, Jesse (2006). "Spontaneous Lorentz breaking at high energies". Journal of High Energy Physics. 2006 (5): 076. arXiv:hep-th/0603010. Bibcode:2006JHEP...05..076C. doi:10.1088/1126-6708/2006/05/076. S2CID 603052.
^ Chkareuli, J. L.; Froggatt, C. D.; Nielsen, H. B. (2009). "Deriving gauge symmetry and spontaneous Lorentz violation". Nuclear Physics B. 821 (1–2): 65–73. arXiv:hep-th/0610186. Bibcode:2009NuPhB.821...65C. doi:10.1016/j.nuclphysb.2009.06.011. S2CID 1897414.
^ Seifert, Michael (2009). "Vector models of gravitational Lorentz symmetry breaking". Physical Review D. 79 (12): 124012. arXiv:0903.2279. Bibcode:2009PhRvD..79l4012S. doi:10.1103/PhysRevD.79.124012. S2CID 119113124.
^ Seifert, Michael D. (2010). "Generalized bumblebee models and Lorentz-violating electrodynamics". Physical Review D. 81 (6): 065010. arXiv:0909.3118. Bibcode:2010PhRvD..81f5010S. doi:10.1103/PhysRevD.81.065010. S2CID 119126100.
^ Altschul, B.; Kostelecký, V. Alan (2005). "Spontaneous Lorentz violation and nonpolynomial interactions". Physics Letters B. 628 (1–2): 106–112. arXiv:hep-th/0509068. Bibcode:2005PhLB..628..106A. doi:10.1016/j.physletb.2005.09.018. S2CID 14973827.
^ ^a ^b ^c ^d Bluhm, Robert; Kostelecký, V. Alan (2005). "Spontaneous Lorentz violation, Nambu-Goldstone modes, and gravity". Physical Review D. 71 (6): 065008. arXiv:hep-th/0412320. Bibcode:2005PhRvD..71f5008B. doi:10.1103/PhysRevD.71.065008. S2CID 119354909.
^ ^a ^b ^c ^d Bluhm, Robert; Fung, Shu-Hong; Kostelecký, V. Alan (2008). "Spontaneous Lorentz and diffeomorphism violation, massive modes, and gravity". Physical Review D. 77 (6): 065020. arXiv:0712.4119. Bibcode:2008PhRvD..77f5020B. doi:10.1103/PhysRevD.77.065020. S2CID 119263833.
^ Will, Clifford M.; Nordtvedt, Kenneth, Jr. (1972). "Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity. I. Preferred-frame theories and an extended PPN formalism". The Astrophysical Journal. 177: 757. Bibcode:1972ApJ...177..757W. doi:10.1086/151754.
^ Clifford M. Will (1993). Theory and Experiment in Gravitational Physics. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43973-2.
^ Kostelecký, V. Alan; Potting, Robertus (2009). "Gravity from spontaneous Lorentz violation". Physical Review D. 79 (6): 065018. arXiv:0901.0662. Bibcode:2009PhRvD..79f5018K. doi:10.1103/PhysRevD.79.065018. S2CID 119229843.
^ Dirac, P. A. M. (1951). "A New Classical Theory of Electrons". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 209 (1098): 291–296. Bibcode:1951RSPSA.209..291D. doi:10.1098/rspa.1951.0204. S2CID 119918259.
^ Bjorken, J. D. (1963). "A dynamical origin for the electromagnetic field". Annals of Physics. 24: 174–187. Bibcode:1963AnPhy..24..174B. doi:10.1016/0003-4916(63)90069-1.
^ Y. Nambu (1968). "Quantum electrodynamics in nonlinear gauge". Progress of Theoretical Physics. E68 (Suppl. Extra): 190–195. Bibcode:1968PThPS.E68..190N. doi:10.1143/PTPS.E68.190.

[ks1-1] Kostelecký, V. Alan; Samuel, S. (1989). "Gravitational phenomenology in higher-dimensional theories and strings". Physical Review D. 40 (6): 1886–1903. Bibcode:1989PhRvD..40.1886K. doi:10.1103/PhysRevD.40.1886. hdl:2022/18652. PMID 10012017.

[bb1-2] Kostelecký, V. Alan; Lehnert, Ralf (2001). "Stability, causality, and Lorentz and CPT violation". Physical Review D. 63 (6): 065008. arXiv:hep-th/0012060. Bibcode:2001PhRvD..63f5008K. doi:10.1103/PhysRevD.63.065008. S2CID 119074843.

[bb2-3] Kostelecký, V. Alan (2004). "Gravity, Lorentz violation, and the standard model". Physical Review D. 69 (10): 105009. arXiv:hep-th/0312310. Bibcode:2004PhRvD..69j5009K. doi:10.1103/PhysRevD.69.105009. S2CID 55185765.

[bb3-4] Bailey, Quentin; Kostelecký, V. Alan (2006). "Signals for Lorentz violation in post-Newtonian gravity". Physical Review D. 74 (4): 045001. arXiv:gr-qc/0603030. Bibcode:2006PhRvD..74d5001B. doi:10.1103/PhysRevD.74.045001. S2CID 26268407.

[bluhm-5] Bluhm, R. (2008). "Nambu-Goldstone modes in gravitational theories with spontaneous Lorentz breaking". International Journal of Modern Physics D. 16 (12b): 2357–2363. arXiv:hep-th/0607127. Bibcode:2007IJMPD..16.2357B. doi:10.1142/S021827180701122X. S2CID 12186967.

[ks2-6] Kostelecký, V. Alan; Samuel, Stuart (1989). "Spontaneous breaking of Lorentz symmetry in string theory". Physical Review D. 39 (2): 683–685. Bibcode:1989PhRvD..39..683K. doi:10.1103/PhysRevD.39.683. hdl:2022/18649. PMID 9959689.

[springer-7] Bluhm, R.; Lämmerzahl, Claus (2006). Ehlers, JüRgen; Lämmerzahl, Claus (eds.). Overview of the Standard Model Extension: implications and phenomenology of Lorentz violation. Lecture Notes in Physics. Vol. 702. Springer Berlin / Heidelberg. pp. 191–226. doi:10.1007/b11758914. ISBN 978-3-540-34522-0.

[rbngrpav-8] Bluhm, Robert; Gagne, Nolan; Potting, Robertus; Vrublevskis, Arturs (2008). "Constraints and stability in vector theories with spontaneous Lorentz violation". Physical Review D. 77 (12): 125007. arXiv:0802.4071. Bibcode:2008PhRvD..77l5007B. doi:10.1103/PhysRevD.77.125007.

[insectflight-9] Dickinson, Michael H.; Lehmann, Fritz-Olaf; Sane, Sanjay P. (1999). "Wing rotation and the aerodynamic basis of insect flight". Science. 284 (5422): 1954–1960. doi:10.1126/science.284.5422.1954. PMID 10373107.

[jm-10] Jacobson, Ted; Mattingly, David (2001). "Gravity with a dynamical preferred frame". Physical Review D. 64 (2): 024028. arXiv:gr-qc/0007031. Bibcode:2001PhRvD..64b4028J. doi:10.1103/PhysRevD.64.024028. S2CID 119372246.

[cl-11] Carroll, Sean; Lim, Eugene (2004). "Lorentz-violating vector fields slow the universe down". Physical Review D. 70 (12): 123525. arXiv:hep-th/0407149. Bibcode:2004PhRvD..70l3525C. doi:10.1103/PhysRevD.70.123525. S2CID 119065573.

[bp-12] Bertolami, O.; Páramos, J. (2005). "Vacuum solutions of a gravity model with vector-induced spontaneous Lorentz symmetry breaking". Physical Review D. 72 (4): 044001. arXiv:hep-th/0504215. Bibcode:2005PhRvD..72d4001B. doi:10.1103/PhysRevD.72.044001. S2CID 119091136.

[clmt-13] Cheng, Hsin-Chia; Luty, Markus A; Mukohyama, Shinji; Thaler, Jesse (2006). "Spontaneous Lorentz breaking at high energies". Journal of High Energy Physics. 2006 (5): 076. arXiv:hep-th/0603010. Bibcode:2006JHEP...05..076C. doi:10.1088/1126-6708/2006/05/076. S2CID 603052.

[chk-14] Chkareuli, J. L.; Froggatt, C. D.; Nielsen, H. B. (2009). "Deriving gauge symmetry and spontaneous Lorentz violation". Nuclear Physics B. 821 (1–2): 65–73. arXiv:hep-th/0610186. Bibcode:2009NuPhB.821...65C. doi:10.1016/j.nuclphysb.2009.06.011. S2CID 1897414.

[mds1-15] Seifert, Michael (2009). "Vector models of gravitational Lorentz symmetry breaking". Physical Review D. 79 (12): 124012. arXiv:0903.2279. Bibcode:2009PhRvD..79l4012S. doi:10.1103/PhysRevD.79.124012. S2CID 119113124.

[mds2-16] Seifert, Michael D. (2010). "Generalized bumblebee models and Lorentz-violating electrodynamics". Physical Review D. 81 (6): 065010. arXiv:0909.3118. Bibcode:2010PhRvD..81f5010S. doi:10.1103/PhysRevD.81.065010. S2CID 119126100.

[baak-17] Altschul, B.; Kostelecký, V. Alan (2005). "Spontaneous Lorentz violation and nonpolynomial interactions". Physics Letters B. 628 (1–2): 106–112. arXiv:hep-th/0509068. Bibcode:2005PhLB..628..106A. doi:10.1016/j.physletb.2005.09.018. S2CID 14973827.

[rbak-18] Bluhm, Robert; Kostelecký, V. Alan (2005). "Spontaneous Lorentz violation, Nambu-Goldstone modes, and gravity". Physical Review D. 71 (6): 065008. arXiv:hep-th/0412320. Bibcode:2005PhRvD..71f5008B. doi:10.1103/PhysRevD.71.065008. S2CID 119354909.

[rbffak-19] Bluhm, Robert; Fung, Shu-Hong; Kostelecký, V. Alan (2008). "Spontaneous Lorentz and diffeomorphism violation, massive modes, and gravity". Physical Review D. 77 (6): 065020. arXiv:0712.4119. Bibcode:2008PhRvD..77f5020B. doi:10.1103/PhysRevD.77.065020. S2CID 119263833.

[wn-20] Will, Clifford M.; Nordtvedt, Kenneth, Jr. (1972). "Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity. I. Preferred-frame theories and an extended PPN formalism". The Astrophysical Journal. 177: 757. Bibcode:1972ApJ...177..757W. doi:10.1086/151754.

[cmw-21] Clifford M. Will (1993). Theory and Experiment in Gravitational Physics. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43973-2.

[kp09-22] Kostelecký, V. Alan; Potting, Robertus (2009). "Gravity from spontaneous Lorentz violation". Physical Review D. 79 (6): 065018. arXiv:0901.0662. Bibcode:2009PhRvD..79f5018K. doi:10.1103/PhysRevD.79.065018. S2CID 119229843.

[dirac51-23] Dirac, P. A. M. (1951). "A New Classical Theory of Electrons". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 209 (1098): 291–296. Bibcode:1951RSPSA.209..291D. doi:10.1098/rspa.1951.0204. S2CID 119918259.

[bjorken-24] Bjorken, J. D. (1963). "A dynamical origin for the electromagnetic field". Annals of Physics. 24: 174–187. Bibcode:1963AnPhy..24..174B. doi:10.1016/0003-4916(63)90069-1.

[nambu68-25] Y. Nambu (1968). "Quantum electrodynamics in nonlinear gauge". Progress of Theoretical Physics. E68 (Suppl. Extra): 190–195. Bibcode:1968PThPS.E68..190N. doi:10.1143/PTPS.E68.190.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

Search