비임 전파법

빔 전파법(BPM)은 천천히 변화하는 광도파로에서 빛의 전파를 시뮬레이션하기 위한 근사 기법입니다.이는 기본적으로 수중 음향학에서 소위 포물선 방정식(PE) 방법과 동일합니다.BPM과 PE는 모두 1970년대에 처음 도입되었다.파장이 먼 거리(파장보다 큰 거리)에서 도파로를 따라 전파되는 경우, 엄격한 수치 시뮬레이션이 어렵습니다.BPM은 일방향 모델이라고도 하는 근사 미분 방정식에 의존합니다.이러한 단방향 모델은 변수 z(도파관 축의 경우)에 1차 도함수만 포함하며 "초기" 값 문제로 해결할 수 있습니다."초기" 값 문제는 시간과 관련이 없으며, 공간 변수 ^[1]z에 대한 문제입니다.

원래의 BPM과 PE는 천천히 변화하는 엔벨로프 근사치에서 파생되었으며, 이른바 근축 단방향 모델입니다.그 이후 개선된 일방향 모델이 다수 도입되었습니다.제곱근 연산자가 포함된 일원 모형에서 가져옵니다.제곱근 연산자에 합리적인 근사치를 적용하여 구한다.단방향 모델을 얻은 후에도 변수 z를 이산화하여 해결해야 한다.그러나 두 단계(제곱근 연산자에 대한 합리적 근사 및 z의 이산화)를 한 단계로 병합할 수 있습니다.즉, 일방향 전파자(제곱근 연산자의 지수)에 대한 합리적인 근사치를 직접 찾을 수 있다.합리적인 근사치는 사소한 것이 아니다.표준 대각선 파데 근사치는 소위 에버넨트 모드에 문제가 있습니다.이러한 증발 모드는 z 단위로 빠르게 붕괴해야 하지만 대각선 Padé 근사치가 도파관을 따라 전파 모드로 잘못 전파됩니다.이제 일시적 모드를 억제할 수 있는 수정된 합리적 근사치를 사용할 수 있습니다.에너지 절약형 단방향 모델 또는 단일 산란 단방향 모델을 사용하면 BPM의 정확도가 더욱 향상될 수 있습니다.

원칙

BPM은 일반적으로 시간 조화의 경우 헬름홀츠 방정식에 대한 해로 공식화된다.

\displaystyle(\displaystyle ^{2}+k_{0}^{2}n^{2})\psi = 0}

라고 써있는 필드와 함께

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

(

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

,

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

,

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

,

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

)

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

,

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

)

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

（

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

- j ）

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

\

displaystyle

E (

x

,

y

,

z

, t ) = \

psi

( x ,

y

) \

expj

\

obega

t

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

。

이제 이 필드의 공간 의존성은 하나의 TE 또는 TM 편광에 따라 작성됩니다.

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

(

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

,

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

)

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

=

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

(

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

,

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

)

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

( +

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

{\

y

) \ display

style \psi

( x ,

y

) =

A

( x ,

y

) \ exp ( +

jk _

{

o

} \

nu

y

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

) ,

봉투를 들고

A(x,y)

A(x,y)

A(x,y)

,

A(x,y)

) ( \

displaystyle

A (

x

,

y

) 。

(\displaystyle\frac\partial^{2}(A(x,y))}{\cisco y^{2}}}=0}

이제 해답은 헬름홀츠 방정식으로 대체될 때 다음과 같습니다.

\displaystyle \left[{\frac {\frac x^{2}} +k_{0}^2}(n^{2}-\nu ^{2})\right]A(x,y)=\pm 2jk_{0}\nu {frac A_{k}(x,y)}{\partial y}}

모든 공간의 모든 지점에서 항상 필드를 계산하기 위해 모든 공간에 대해 $A(x,y)$ y $)$ { $displaystyle A(x,$ y)}만 $A(x,y)$ 계산하면 됩니다. 그러면 $\psi (x,y)$ ( $\psi (x,y)$ , $\psi (x,y)$ y ) $\displaystyle \psi (x$ , y $\psi (x,y)$ 를 재구성할 수 있습니다.해법은 시간-조음 Heltharmholtz 방정식만 계산하면 됩니다.1회.전파 방향 또는 단면 도파관 모드를 따라 필드를 시각화할 수 있습니다.

수치법

이산화된 마스터 방정식의 수치해에는 공간영역법 및 주파수(스펙트럼)영역법을 모두 사용할 수 있다.격자(다양한 집중차이, 크랭크 니콜슨법, FFT-BPM 등) 및 인과관계로 재배열된 필드값으로 이산하면 전파방향에 따라 반복을 통해 필드 진화를 계산한다.공간 영역 방법은 선형 방정식을 풀어서 다음 단계(전파 방향)에서 필드를 계산하는 반면, 스펙트럼 영역 방법은 강력한 순/역 DFT 알고리즘을 사용한다.스펙트럼 영역 방법은 비선형성(굴절률 또는 매체 특성)이 존재하는 경우에도 안정성이라는 장점이 있는 반면 공간 영역 방법은 수치적으로 불안정해질 수 있다.

적용들

BPM은 통합 광학 디바이스의 필드를 빠르고 쉽게 해결할 수 있는 방법입니다.일반적으로 산란 문제가 아니라 성형(굴곡, 테이퍼, 종단) 도파관 구조 내의 강도 및 모드에 대해서만 사용됩니다.이러한 구조는 일반적으로 등방성 광학 물질로 구성되지만, 액정과 같은 일반적인 이방성 물질에서 빛의 전파를 시뮬레이션하기 위해 BPM이 확장되었습니다.이를 통해 이방성 재료의 편광 회전, 액정에 기초한 방향성 커플러의 조정성 또는 LCD 픽셀의 광회절 등을 분석할 수 있습니다.

BPM의 제한

빔 전파 방법은 천천히 변화하는 엔벨로프 근사치에 의존하며, 이산적으로 또는 빠르게 변화하는 구조의 모델링에는 부정확하다.빛이 넓은 각도로 전파되는 구조의 모델링과 실리콘 광자학 등에서 흔히 볼 수 있는 높은 굴절률 대비 장치를 위한 기본 구현도 부정확하다.그러나 고급 구현은 이러한 제한 사항의 일부를 완화하여 많은 실리콘 광자 구조를 포함한 이러한 사례의 많은 부분을 정확하게 모델링하기 위해 BPM을 사용할 수 있게 합니다.

BPM 방식을 사용하여 양방향 전파를 모델링할 수 있지만, 반사를 반복적으로 구현해야 하므로 수렴 문제가 발생할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Clifford R. Pollock, Michal. Lipson (2003), Integrated Photonics, Springer, ISBN 978-1-4020-7635-0
^ Okamoto K. 2000 광도파도의 기초 (샌디에이고, 캘리포니아: 학술)
^ EE290F: BPM 코스 슬라이드, Devang Parech, 캘리포니아 버클리 대학교

[1] Clifford R. Pollock, Michal. Lipson (2003), Integrated Photonics, Springer, ISBN 978-1-4020-7635-0

[2] Okamoto K. 2000 광도파도의 기초 (샌디에이고, 캘리포니아: 학술)

[3] EE290F: BPM 코스 슬라이드, Devang Parech, 캘리포니아 버클리 대학교

[1]

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