아르키메데스 소 문제

아르키메데스의 소 문제(또는 보비눔 또는 아르키메디스 문제)는 정수해를 갖는 다항식 연구인 디오판토스 분석의 문제이다.아르키메데스의 탓으로, 그 문제는 주어진 제한으로부터 태양신 무리 안에 있는 소의 수를 계산하는 것과 관련이 있다.이 문제는 고트홀드 에브라임 레싱이 1773년 ^[1]독일 볼펜뷔텔의 헤르조그 8월 도서관에서 44행의 시를 포함한 그리스 원고를 통해 발견했다.

이 문제는 몇 년 동안 해결되지 않은 채 남아 있었습니다.부분적으로는 솔루션과 관련된 엄청난 숫자를 계산하는 것이 어려웠기 때문입니다.일반적인 해결책은 1880년 독일 ^[2][3][4]드레스덴에 있는 체육관 줌 헤이리겐 크로이츠(성십자의 체육관)의 교장인 칼 에른스트 아우구스트 암토르[de](1845–1916)에 의해 발견되었습니다.로그 표를 사용하여, 그는 최소 해법의 첫 번째 숫자를 계산했는데, 이는 관측 가능한 ^[5]우주에 들어갈 수 있는${\displaystyle \mathrm{}}것$보다 ${\displaystyle \mathrm{훨씬}}$많은 ${\displaystyle {\mathrm{약}}^{}}$ 7.76$$× ${\displaystyle {106544}^{}}$ ([$displaystyle$7.$76$&$times 10^{$206544$$}) 소라는 것을 보여주었다.십진법은 인간이 정확히 계산하기에는 너무 길지만, 컴퓨터의 다중 정밀 산술 패키지는 그것을 명시적으로 쓸 수 있다.

역사

1769년 고트홀드 에브라임 레싱은 많은 그리스어와 라틴어 ^[6]원고가 있는 독일 볼펜뷔텔의 헤르조그 8월 도서관의 사서로 임명되었다.몇 년 후, 레싱은 주석과 함께 일부 원고의 번역본을 출판했다.그 중에는 44행의 그리스 시가 있는데, 이 시는 독자들에게 태양의 신의 무리 속에 있는 소의 수를 알아내라고 요구하는 산술적인 문제를 포함하고 있다.그것은 현재 일반적으로 아르키메데스의 ^[7][8]소행으로 여겨진다.

문제

Ivor Thomas가 영어로 번역한 이 문제는 ^[9]다음과 같습니다.

낯선 사람아, 네가 부지런하고 현명하다면, 옛날에 트리나시아 섬 시칠리아 밭에서 풀을 뜯던 태양의 소의 수를 계산해봐라. 하나는 우유 흰색, 다른 하나는 광택이 나는 검은색, 세 번째는 노란색, 마지막은 얼룩덜룩한 네 가지 색깔로 나누었다.각 무리에는 황소가 있었는데, 그 수는 다음과 같았다.알아둬라, 흰 황소는 황소 전체와 함께 검은 것의 1/3과 같고 검은 것은 얼룩덜룩한 것의 4분의 1과 5분의 1과 같고, 다시 한번 황소 전체와 같다는 것을.남은 황소들, 얼룩덜룩한 황소들은 흰색의 6분의 1과 노란색의 7분의 1과 같았다.소의 비율은 다음과 같습니다.흰색이 정확히 전체 검은 무리의 3분의 1과 4분의 1과 같았고, 검은색이 얼룩덜룩한 무리의 4분의 1과 같았으며, 황소를 포함한 모든 사람이 함께 목초지에 갔을 때, 5분의 1과 같았습니다.네 부분으로 갈라진 얼룩덜룩한 숫자의 5분의 1과 노란 무리의 6분의 1과 같았습니다.마침내 노란색은 흰 무리의 6분의 1과 7분의 1과 같은 수가 되었다.낯선 사람아, 네가 태양의 소의 수를 정확히 말할 수 있다면, 잘 먹인 황소의 수와 각각의 색깔에 따라 암컷의 수를 구분해서 말할 수 있다면, 너는 비숙련하거나 숫자에 대해 무지한 사람이라고는 할 수 없겠지만, 아직 현명한 사람 중에 포함되지 않을 것이다.

하지만 와서, 태양의 소에 관한 이 모든 조건들을 이해하라.흰 황소들이 숫자와 검은 황소를 섞었을 때, 그들은 깊이와 폭이 같고, 꿋꿋하게 서 있었고, 트리나시아의 평원은 모든 면에서 그 무리들로 가득 차 있었다.다시 노란색과 얼룩덜룩한 황소들이 한 떼로 모였을 때, 그들은 한 떼에서 시작하여 삼각형 모양을 완성할 때까지 천천히 수가 증가하여, 그 가운데 다른 색깔의 황소도 없고, 부족한 황소도 없었다.이방인아, 네가 이 모든 것을 알아내고, 그것들을 너의 마음에 모아 모든 관계를 맺을 수 있다면, 너는 영광으로 왕관을 쓰고 떠날 것이며, 네가 이 지혜의 종족에서 완벽한 판단을 받았음을 알게 될 것이다.

솔루션

문제의 첫 번째 부분은 방정식 체계를 설정함으로써 쉽게 풀 수 있다.흰색, 검은색, 얼룩진 황소 및 노란색 황소의${\displaystyle 수}$가 ${\displaystyle W,}$ B${\displaystyle ,}$ D$,$ $({displaystyle$ W,$B, D,$ Y$$(\$displaystyle$ Y$)$로 $표시$되고 $흰색{\displaystyle }$, 검은색, 얼룩진 황소 및 노란색${\displaystyle 소}$의 ${\displaystyle 수}$가 w$,$ b${\displaystyle ,}$ d${\displaystyle ,}$ \$displaystyle w, b,$ d$,$ d, y(\$displaystyle$ y$)$로 표시되어$$ 있는 경우 단순히 문제를 찾을 수 있습니다$.$

$디스플레이 스타일W&=superfrac {5}{6}B+Y,\B&=superfrac {9}{20}D+Y,\D&=superfrac {13}{42)W+Y,\w&=superfrac {7}{12}(B+b),\b&superfrac {D920}{D}{D}}{D}}$

7개의 방정식으로 이루어진 8개의 미지수를 갖는 체계입니다.그것은 불확실하고 무한히 많은 해결책을 가지고 있다.7개의 방정식을 만족시키는 최소 양의 정수는 다음과 같다.

$디스플레이 스타일B&=7,460,514=4657\times 1602\\W&=10,366,482=4657\times 2226,\D&=7,358,060=4657\times 1580,\Y&=4,149,387=4657\times 891,\b&=4,893,246,360,155,20,20,20,\D&\D&=7,060,158,\8,\Y&8,20,\Y&8,20,\Y&8,20,\Y&8,\Y&8,20,20,\Y&8,\Y&8,20,20,\$

총 50389082마리의 ^[10]소와 다른 용액은 이들의 정수배수이다.소수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ $({displaystyle p=$4657$)$일 경우 처음 4개의 숫자는 p의 배수이며 p와 p+1은 모두 아래에 반복적으로 표시됩니다.

이 문제의 두 번째 부분에서는${\displaystyle W}$+ B(\$displaystyle$ W$+B)$는 정사각형 $숫자$이고${\displaystyle }$Y +$$(\$displaystyle$ Y$+D)$는 삼각형 $숫자$입니다.문제의 이 부분에 대한 일반적인 해결책은 A에 의해 처음 발견되었습니다.1880년^[11].H. W. Lenstra는 ^[5]Pell의 방정식에 기초하여 다음과 같은 버전을 설명했습니다: 문제의 첫 번째 부분에 대해 위에 제시된 해법은 다음과 같이 곱해야 합니다.

${{displaystyle n=wfrac {(w^{4658j}-w^{-4658j}}{(4657)(79072)}},$

여기서 j는 임의의 양의 정수입니다.

$({displaystyle w=300,426,607,914,281,713,bcrt {609}}+84,bc,507,677,858,393,258bcrt {7766})$

마찬가지로, 제곱 w는 다음과 같은 결과를 낳는다.

${\displaystyle w^{2}=u+vgcrt {(609)(7766)}},$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$(${\displaystyle }$u ,${\displaystyle v}$) {$displaystyle (u , v$ ) where$$ 、 Pell 방정식의 기본 해법입니다.

${\displaystyle u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1.}$

문제의 첫 번째와 두 번째 부분을 모두 만족시킬 수 있는 가장 작은 집단의 크기는 j = 1로 나타내며, 약 ${\displaystyle 7.}$76 × ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {206}^{}}$ 544$($ & $times$ 10$^{display, 544})$이다(암토르가 최초로 해결).최신 컴퓨터는 쉽게 모든 숫자를 출력할 수 있다.이것은 1965년 휴 C에 의해 워털루 대학에서 처음 행해졌다. 윌리엄스, R. A. 독일인, 찰스 로버트 잔키.그들은 IBM 7040과 IBM 1620 컴퓨터를 ^[12]함께 사용했다.

펠 방정식

문제의 두 번째 부분의 제약은 간단하며 풀어야 할 실제 펠 방정식을 쉽게 제시할 수 있습니다.먼저, B + W는 정사각형이어야 한다고 요구하거나 위에 주어진 값을 사용하여

$({displaystyle B+W=7,460,514,k+10,366,482,k=(2^{2}(3)(11)(4657)k,}$

따라서 일부 정수 q에 대해 k = (3)(11)(29)(4657)q를² 설정해야 한다.그러면 첫 번째 조건이 해결됩니다.두 번째 예에서는 D + Y가 삼각수여야 합니다.

${\displaystyle D+Y=snap frac {t^{2}+t}{2}}.}$

t를 위한 해결,

${\displaystyle t=pm {-1\pm {\displayrt {1+8(D+Y)}}}{2}}}$

D + Y와 k의 값을 대입하고 이 2차 판별자가 완벽한 제곱² p가 되도록 q의 값을² 구하는 것은 Pell 방정식을 푸는 것을 수반한다.

${\displaystyle p^{2}-(2^{2})(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1.}$

이전 섹션에서 설명한 Amthor의 접근법은 기본적으로 최소 ${$$displaystyle$ v$\}$를 2$$× $4657로 완전히$ 나눌 수 있도록 찾는 것이었습니다.이 방정식의 기본 해는 십진수 자릿수가 100,000을 넘습니다.

레퍼런스

추가 정보

• Bell, A. H. (1895), "The "Cattle Problem." By Archimedies 251 B. C.", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 2 (5): 140–141, doi:10.2307/2968125, JSTOR 2968125
• Dörrie, Heinrich (1965). "Archimedes' Problema Bovinum". 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications. pp. 3–7.
• Williams, H. C.; German, R. A.; Zarnke, C. R. (1965). "Solution of the Cattle Problem of Archimedes". Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 19 (92): 671–674. doi:10.2307/2003954. JSTOR 2003954.
• Vardi, I. (1998). "Archimedes' Cattle Problem". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 105 (4): 305–319. doi:10.2307/2589706. JSTOR 2589706.
• Benson, G. (2014). "Archimedes the Poet: Generic Innovation and Mathematical Fantasy in the Cattle Problem". Arethusa. Johns Hopkins University Press. 47 (2): 169–196. doi:10.1353/are.2014.0008. S2CID 162393743.

외부 링크

• OEIS 시퀀스 A096151(아르키메데스의 소 문제에 대한 206545자리 정수 솔루션의 10진수 확장): 두 번째 문제에 대한 완전한 10진법 해결
• Alex Bellos. "Holy Cow that's a Big Number" (video). YouTube. Brady Haran. Archived from the original on 2021-12-19. Retrieved 25 November 2019.