슈퍼모듈

수학에서 슈퍼모듈은 슈퍼링이나 슈퍼지브라 위에 있는 Z학점₂ 모듈이다.슈퍼모듈은 이론물리학에서 초대칭 개념을 연구하기 위한 수학적인 틀인 초선형 대수학에서 발생한다.

역행성 초거대 위에 있는 초거대들은 (순수하게 짝수) 필드 K에 있는 초거대 공간의 일반화로 볼 수 있다.슈퍼모델들은 종종 슈퍼 벡터 공간을 하는 것보다 슈퍼 선형 대수학에서 더 두드러진 역할을 한다.이러한 이유는 종종 홀수 변수를 포함하도록 스칼라 영역을 확장하는 것이 필요하거나 유용하기 때문이다.그렇게 함으로써 사람들은 밭에서 서로 다른 초특화적 초특화적 초특화적 공간과 벡터 공간에서 모듈로 이동한다.

이 글에서, 모든 슈퍼걸브라는 달리 명시되지 않은 한 연관성이 있고 단일하다고 가정한다.

형식 정의

A를 고정된 초자연적인 존재가 되게 하라.A에 대한 우측 슈퍼모듈은 A에 대한 우측 모듈 E이며, 총량 분해는 (아벨 그룹으로서)

${\displaystyle E=E_{0}\oplus E_{1}:{1}$

A의 요소에 의한 곱셈이 만족하는 것.

${\displaystyle E_{i}A_{j}\subseteq E_{i+j}}$

Z에₂ 있는 모든 I과 J를 위해서.그런 다음 부분군 E는_i 오른쪽 A-모듈이다₀.

E의_i 원소는 동질적이라고 한다.x로 표시된 동질 원소 x의 패리티는 E인지₀ E인지에₁ 따라 0 또는 1이다.패리티 0의 요소는 짝수라고 하며 패리티 1의 요소는 홀수라고 한다.a가 동질적인 스칼라이고 x가 E의 동질적인 요소라면 x·a는 동질이고 x·a = x + a이다.

마찬가지로 왼쪽 슈퍼모듈과 슈퍼모듈은 A에 대한 왼쪽 모듈이나 바이모듈로 정의되며, 스칼라 승수는 명확한 방식으로 등급을 존중한다.A가 슈퍼커머티브인 경우, A를 초과하는 모든 좌우 슈퍼모듈은 설정하여 슈퍼모듈로 간주할 수 있다.

${\displaystyle a\cdot x=(-1)^{ x }x\cdot a}$

동질 원소의 경우, a A 및 x e E이며, 선형성에 의해 확장된다.만약 A가 순전히 이것이라도 된다면 일반적인 정의로 줄어든다.

동형성

슈퍼모듈 간의 동형성은 등급이 유지되는 모듈 동형성이다.E와 F를 A에 대한 올바른 슈퍼모델이 되게 하라.지도

${\displaystyle \phi :E\to F\,}$

다음과 같은 경우 초모듈 동형성이다.

• $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)\,}$
• $\phi(x\cdot a)=\phi(x)\cdot a\,}$
• ${\displaystyle \phi(E_{i})\subseteq F_{i}\,}$

모든 AA와 X, YE를 위해서.E에서 F까지의 모든 모듈 동형성의 집합은 Hom(E, F)으로 표시된다.

많은 경우에, 슈퍼모델들 사이의 더 큰 종류의 형태론을 고려하는 것은 필요하거나 편리하다.A를 초특급 대수학으로 하자.그러면 A에 대한 모든 슈퍼모델은 자연적인 방식으로 슈퍼모델로 간주된다.슈퍼모듈 E와 F의 경우, 홈(E, F)이 모든 A-선형 맵의 공간(즉, E에서 F까지의 모든 모듈 동형성)을 나타내도록 한다.Hom(E, F)에 자연적인 등급이 있는데, 짝수 동형성은 등급을 보존하는 것이다.

${\displaystyle \phi(E_{i}\subseteq F_{i}}}$

그리고 이상한 동음이의어는 점수를 거꾸로 매기는 것이다.

$\phi(E_{i})\subseteq F_{1-i}.}$

φ Hom(E, F)과 ∈ A가 균일하면

$\phi(x\cdot a)=\phi(x)\cdot a\qquad \phi(a\cdot x)=(-1)^{ \phi }a\cdot \phi(x).}$

즉, 짝수 동형식은 좌우 선형인 반면 홀수 동형식은 우측 선형이지만 좌측 반선형(등급 자동형과 관련)이다.

설정된 Hom(E, F)은 A에 대한 바이모듈 구조를 설정하여 지정할 수 있다.

${\displaystyle {\cdot{ligned}(a\cdot \phi )&=a\cdot \phi(x)\\\(\phi \cdot a)&=\phi(a\cdot x)\end{정렬}}}$

위의 등급과 함께 Hom(E, F)은 A에 대한 슈퍼모듈이 되고, A에 대한 짝수 부분은 모든 일반적인 슈퍼모듈 동형성의 집합이다.

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{0}(E,F)=\mathrm {Hom}(E,F).}$

범주 이론의 언어에서, A에 대한 모든 수퍼모듈의 클래스는 형태론으로서 슈퍼모듈 동형성을 가진 범주를 형성한다.이 범주는 내부 Hom functor가 Hom에 의해 주어지는 슈퍼 텐서 제품 아래의 대칭 단면체 폐쇄 범주다.

참조

• Deligne, Pierre; John W. Morgan (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.
• Manin, Y. I. (1997). Gauge Field Theory and Complex Geometry ((2nd ed.) ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-61378-1.
• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2.