슈퍼 트레이스

슈퍼대격자 이론에서, A가 교환 슈퍼대격자이고, V가 자유우 A-슈퍼모듈이고, T가 V에서 그 자신으로의 내형사상인 경우, T, str(T)의 슈퍼트레이스는 다음 트레이스 다이어그램에 의해 정의된다.

좀 더 구체적으로 T를 짝수 부분공간과 홀수 부분공간으로 분해한 후 블록 매트릭스 형태로 쓰면 다음과 같다.

$({displaystyle T=pmatrix})T_{00}&T_{01}\\T_{10}&T_{11}\end{pmatrix}}$

그럼 슈퍼 트레이스

str(T) = T의 일반₀₀ 미량 - T의 일반₁₁ 미량.

슈퍼트레이스가 근거에 의존하지 않는다는 것을 보여주자.e, ..., e가_p 짝수 기저 벡터이고_p+1 e, ..., e가_p+q 홀수 기저 벡터라고 가정합니다₁.다음으로, A의 요소인 T의 성분은 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle T(\mathbf {e} _{j})=\mathbf {e} _{i}T_{j}^{i}.\,}$

T 등급은ⁱ_j T, e_i, e_j mod 2 등급의 합이다.

e, ..., e_p', e_(p+1)', …, e에_(p+q)' 대한_1' 기저 변경은 슈퍼매트릭스에 의해 주어진다.

$\displaystyle \mathbf {e} _{i'}=\mathbf {e} _{i}A_{i'}^{i}}$

그리고 역수퍼매트릭스

${\displaystyle \mathbf {e} _{i} = \mathbf {e} _{i'} (A^{-1}) _{i}^{i'},}$

물론 여기서 AA⁻¹ = AA = 1 (아이덴티티)입니다⁻¹.

우리는 이제 슈퍼트레이스가 근거에 의존하지 않는다는 것을 명시적으로 확인할 수 있다.T가 짝수인 경우에는

${{displaystyle \operatorname {str}(A^{-1}TA)=param1)^{i'}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=11)^{i'}(-1)^{(i' + j)(i' + j)}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}(A^{-1})_{j}^i'}=11)^{j}^{j}^{j}=\operatorname {str}(T)}$

T가 홀수일 경우에는

${{displaystyle \operatorname {str}(A^{-1}TA)=param1)^{i'}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=11)^{i'}(-1)^{(1+j+k)(i'+j)}T_{k}^{j}(A^{-1})_{j}^{i'}A_{i'}^{k}=11)^{j}T_{j}^j}=\operatorname{str}(T)}$

통상의 트레이스는 베이스에 의존하지 않기 때문에, Z 그레이드₂ 설정으로 사용하는 적절한 트레이스는 슈퍼 트레이스입니다.

슈퍼 트레이스는 특성을 충족합니다.

${{displaystyle \operatorname {str}(T_{1}T_{2})=param1)^{T_{2}}\operatorname {str}(T_{2}T_{1})$

(V₁)의₂ 모든 T, T에 대해서.특히 슈퍼 정류자의 슈퍼 트레이스는 0입니다.

사실, 교환 슈퍼대수 A 위의 임의의 대응 슈퍼대수 E에 대해 슈퍼대수 ^[1]tr: E -> A로 정의하면 슈퍼대수에서 사라진다.이러한 슈퍼 트레이스는 고유하게 정의되어 있지 않습니다.항상 적어도 A의 요소에 의한 곱셈에 의해 수정될 수 있습니다.

물리 응용 프로그램

작용 적분이 대수가 슈퍼대칭인 대칭 변환 세트(초대칭 변환으로 알려져 있음)에서 불변하는 초대칭 양자장 이론에서, 슈퍼 트레이스는 다양한 응용 분야를 가지고 있다.이러한 맥락에서 이론의 질량행렬의 슈퍼트레이스는 서로 ^[2]다른 스핀의 입자에 대한 질량행렬의 흔적의 스핀에 대한 합으로 작성될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {str} [M^{2}]=\sum _{s}(-1)^{2s}(2s+1)\operatorname {tr} [m_{s}^2}]}$

초잠재력에서 정규화 가능한 항만 나타나는 이상 없는 이론에서는 초대칭이 자발적으로 깨져도 위의 초추적이 사라지는 것을 보여줄 수 있다.

하나의 루프에서 발생하는 유효 전위에 대한 기여도(때로는 콜먼-웨인버그^[3] 전위라고도 함)는 슈퍼트레이스(supertrace)의 관점에서 작성될 수 있다.M$(\displaystyle$ M$)$이 주어진 이론의 질량 매트릭스일 $경우{\displaystyle }$, 1루프 전위는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle V_{eff}^{1-loop}=bigdfrac {1}{64\pi ^{2}}\operatorname {str}{g[}M^{4}\ln {\dfrac {M^{2}}{\Lambda ^{2}}{\big}{1}}{dacfr}{g}{\fr}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 m B$(\$ 및$$ $m{\displaystyle {}_{}}$ $(\$는 이론에서 개별 보소닉 및 페르미온 자유도에 대한 트리 수준 질량 행렬이고$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Lambda)$는 컷오프 스케일입니다.

「 」를 참조해 주세요.

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