스플라인 파장

주문 1, 2, 3, 4, 5의 추기경 B 스플라인 파장을 압축적으로 지원하는 애니메이션.

파도의 수학적 이론에서, 스플라인 파장은 스플라인 함수를 사용하여 만들어진 파장이다.^[1]스플라인 파장의 종류는 다양하다.C.K가 도입한 보간성 스플라인 파장.추이와 J.Z.왕 교수는 어떤 스플라인 보간식에 기초하고 있다.^[2]이 웨이블렛은 직교하지만, 컴팩트한 지지대를 가지고 있지 않다.B-스플라인으로 구성되고 콤팩트한 지지대를 갖는 어떤 의미에서는 독특한 종류의 웨이블렛이 있다.비록 이 파도들이 직교하지 않지만, 그들은 그들을 꽤 유명하게 만든 몇몇 특별한 성질을 가지고 있다.^[3]spline wavelet이라는 용어는 이 spline wavelet의 종류에 있는 wavelet을 가리키는 데 가끔 사용된다.이 특별한 파동은 B-분할 파도와 B-분할 파동이라고도 불린다.^[4]배틀-르마리 웨이블렛도 스플라인 함수를 이용해 만든 웨이블렛이다.^[5]

추기경 B-스플라인스

n을 음이 아닌 고정 정수로 한다.Letⁿ C는 집합의 각 기능과 그것의 첫 번째 n개의 파생상품이 어디에서나 연속적으로 존재하도록 실제 숫자의 집합에 걸쳐 정의된 모든 실제 가치 함수 집합을 의미한다.bi-infinite₋₂ sequence . . . . x₁, x₋₁₀, x, x₂, . 모든_r+1 r에_r 대해 x < x 그리고 r이 ±10에 가까워질 때 x가_r ±10에 접근하는 것을 노트의 집합으로 정의한다고 한다.매듭 집합이 {x_r}인 순서 n의 스플라인(spline)은 C의ⁿ 함수 S(x)로_r, 각 r에 대해 S(x)의 간격 제한(x, x_r+1)이 x의 최대 n의 실제 도 계수를 갖는 다항식과 일치한다.

r이 정수인 x_r+1 - x는_r 매듭 집합의 연속적인 매듭 사이의 분리가 상수라면 스플라인을 추기경 스플라인이라고 한다.정수 Z = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 정수의 집합은 추기경 스플라인(spline)의 매듭 집합에 대한 표준 선택이다.달리 명시되지 않는 한 일반적으로 매듭 집합은 정수의 집합이라고 가정한다.

B 스플라인 추기경은 특별한 종류의 추기경 스플라인이다.임의의 양의 정수 m에 대해 N_m(x)으로 표시된 순서 m의 추기경 B-스플라인(B-spline)은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

N_{1}(x)={\begin{case}1&0\leq x<1\\\0&{\text{otherwise}\case}}}

{\displaystyle N_{m}(x)=\int _{0}^{1

}{N_{m-1}(x-t)dt

m>1

>

m>1

{\

displaystyle m>1

}의 경우

m>1

모든 순서의 B-분할에 대한 구체적인 표현과 그 그래프는 이 글의 뒷부분에 제시되어 있다.

추기경 B-분할의 속성

기본 속성

$N_{m}(x)$ $N_{m}(x)$ ( $N_{m}(x)$ ) $N_{m}(x)$ 의 지원은 닫힌 간격 $[0,m]$ [ $[0,m]$ $[0,m]$ $[0,m]$ $[0,m]$ 이다 $N_{m}(x)$ $[0,m]$
함수 $N_{m}(x)$ $N_{m}(x)$ ( $N_{m}(x)$ ) $N_{m}(x)$ 은 $N_{m}(x)$ (는) 음이 아닌 $0<x<m$ 으로, 즉 0 $0<x<m$ < x $0<x<m$ < $>$ 에 $N_{m}(x)>0$ N $N_{m}(x)>0$ ( $N_{m}(x)>0$ ) $N_{m}(x)>0$ > 0 ${\$ $displaystyle$ $N_$ ${m$ $}($ $x)$ $0}$ 이다 $0<x<m$
$\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ = - $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ ( x $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ - $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ ) $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ = 1 ${\displaystyle \sum \sum$ _{ $k=-\infit }^{\n_{m}(x-k$ $)=$ 1} $모든$ $x$ 에 대해 $\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1$ $x$
The cardinal B-splines of orders m and m-1 are related by the identity: $N_{m}(x)={\frac {x}{m-1}}N_{m-1}(x)+{\frac {m-x}{m-1}}N_{m-1}(x-1)$ .
$N_{m}(x)$ $){\displaystyle N_{m}(x)}$ 함수는 $N_{m}(x)$ $x={\frac {m}{2}}$ = $x={\frac {m}{2}}$ $x={\frac {m}{2}}$ ${\$ x $={\frac{$ m}{ $2}},$ 즉 N $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$ $x={\frac {m}{2}}$ $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$ 2 $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$ - x $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$ ) $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$ = $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$ $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$ $N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)$ + $){\$ 에 $대해 대칭이다.$ $N_{m}\왼쪽({\frac {m}{2}}+x\오른쪽)}$ .
The derivative of $N_{m}(x)$ is given by $N_{m}^{\prime }(x)=N_{m-1}(x)-N_{m-1}(x-1)$ .
$\int _{-\ft }^{\n_{m}(x)\,dx=1$

두 척도 관계

순서 m의 추기경 B-분할은 다음과 같은 두 가지 척도 관계를 만족한다.

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

(

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

=

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

=

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

-

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

+

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

(

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

(

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

-

N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)

)

{\displaystyle N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m2^{m+1}{m

\m

\c선택

k

}{}{m_{m-k

리에츠 속성

순서 m의 추기경 B-스플라인(B-spline)은 Riesz 속성으로 알려진 다음과 같은 속성을 만족한다.정사각형 합계 양면 시퀀스 $\{c_{k}\}_{k=-\infty }^{\infty }$ { $\{c_{k}\}_{k=-\infty }^{\infty }$ $\{c_{k}\}_{k=-\infty }^{\infty }$ $\{c_{k}\}_{k=-\infty }^{\infty }$ k $\{c_{k}\}_{k=-\infty }^{\infty }$ = - $\{c_{k}\}_{k=-\infty }^{\infty }$ ∞ { ${\$ 에 $B$ $\{c_{k}\}_{{k=-\infty }}^{\infty }$ 대한 두 개의 양의 실수 $A$ ${\displaystystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystysty B}$ 이 있다.

A\left\Vert \{c_{k}\}\right\Vert ^{2}\leq \left\Vert \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}N_{m}(x-k)\right\Vert ^{2}\leq B\left\Vert \{c_{k}\}\right\Vert ^{2}

여기서 $\Vert \cdot \Vert$ $\Vert \cdot \Vert$ $\Vert \cdot \Vert$ $\Vert \cdot \Vert$ 은(는) }-space의² 표준이다.

소목 B형 추기경

추기경 B-분할은 순서 1의 B-분할( $N_{1}(x)$ , N $N_{1}(x)$ ( $N_{1}(x)$ ) ${\displaystyle N_{1}(x$ 부터 시작하여 반복적으로 정의되며, 이 값은 다른 곳에서 [0, 1)과 0의 간격으로 1을 취한다.컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 더 높은 순위의 추기경 B-분열을 위한 구체적인 표현을 얻어야 할 수 있다.최대 6개 주문의 B-분할 추기경의 구체적인 표현은 다음과 같다.추기경 B분할의 최대 4개의 순서 그래프도 전시된다.영상에서, 해당 2-척도의 관계에 기여하는 용어의 그래프도 보여진다.각 영상의 두 점은 B-스플라인을 지지하는 구간의 극치를 나타낸다.

상수 B-스플라인

순서 1의 B-스플라인, 즉 $N_{1}(x)$ $N_{1}(x)$ ( $N_{1}(x)$ ) $N_{1}(x)$ 은 $N_{1}(x)$ 상수 B-스플라인이다.에 의해 정의된다.

N_{1}(x)={\begin{case}1&0\leq x<1\\\0&{\text{otherwise}\case}}}

이 B-스플라인에 대한 두 가지 척도 관계는

N_{1}(x)=N_{1}(2x)+N_{1}(2x-1)

상수 B-스플라인 $N_{1}(x)$

선형 B-스플라인

순서 2의 B-스플라인, 즉 $N_{2}(x)$ 2 $N_{2}(x)$ ( $N_{2}(x)$ ) $N_{2}(x)$ 는 선형 B-스플라인이다 $N_{2}(x)$ 그것은 에 의해 주어진다.

N_{2}(x)={\begin}x&0\leq x<1\\-x+2&1\leq x<2\\\0&{\text{otherwise}\case}}}}}

이 파랑의 두 축척 관계는

N_{2}(x)={\frac {1}{1}{2}}N_{2}(2x)+N_{2}(2x-1)+{\frac {1}{1}{2}}N_{2}(2x-2)}

선형 B-스플라인 $N_{2}(x)$

2차 B-스플라인

순서 3의 B-스플라인, 즉 $N_{3}(x)$ $N_{3}(x)$ ( $N_{3}(x)$ ) $N_{3}(x)$ 은 $N_{3}(x)$ 2차 B-스플라인이다.그것은 에 의해 주어진다.

N_{3}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x<1\\-x^{2}+3x-{\frac {3}{2}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{2}}x^{2}-3x+{\frac {9}{2}}&2\leq x<3\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

이 파랑의 두 축척 관계는

N_{3}(x)={\frac {1}{4}}N_{3}(2x)+{\frac {3}{4}}N_{3}(2x-1)+{\frac {3}{4}}N_{3}(2x-2)+{\frac {1}{4}}N_{3}(2x-3)

2차 B-스플라인 $N_{3}(x)$

큐빅 B-스플라인

입방 B-스플라인( $N_{4}(x)$ B-spline)은 순서 4의 추기경 $N_{4}(x)$ 으로 $N_{4}(x)$ N $N_{4}(x)$ 4 $N_{4}(x)$ (x ) {\ $displaystyle N_{4}($ x)}}가 나타낸다 $N_{4}(x)$ 다음과 같은 표현으로 주어진다.

N_{4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{2}}x^{3}+2x^{2}-2x+{\frac {2}{3}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{2}}x^{3}-4x^{2}+10x-{\frac {22}{3}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{6}}x^{3}+2x^{2}-8x+{\frac {32}{3}}&3\leq x<4\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

입방 B-스플라인에 대한 두 가지 척도 관계는

N_{4}(x)={\frac {1}{8}}N_{4}(2x)+{\frac {1}{2}}N_{4}(2x-1)+{\frac {3}{4}}N_{4}(2x-2)+{\frac {1}{2}}N_{4}(2x-3)+{\frac {1}{8}}N_{4}(2x-4)

큐빅 B-스플라인 $N_{4}(x)$

비고: 노란색 그래프의 범례는 1 ${\frac {1}{4}}N_{4}(2x-4)$ ${\frac {1}{4}}N_{4}(2x-4)$ ${\frac {1}{4}}N_{4}(2x-4)$ ( ${\frac {1}{4}}N_{4}(2x-4)$ ${\frac {1}{4}}N_{4}(2x-4)$ - ${\frac {1}{4}}N_{4}(2x-4)$ ) ${\displaystyle {\frac$ {1 $}{4}N_{4}($ 2x-4)이어야 하며 ${\frac {1}{4}}N_{4}(2x-4)$ 모든 계수는 그림 위에 명시된 것과 같아야 한다 $.$

양분 B-스플라인

이차수 B-스플라인( $N_{5}(x)$ b-spline)은 $N_{5}(x)$ $N_{5}(x)$ ( x $N_{5}(x)$ ) $N_{5}(x)$ 가 나타내는 순서 5의 추기경 B-스플라인이다 $N_{5}(x)$ 이 스플라인에 의해 주어진다.

N_{5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{6}}x^{4}+{\frac {5}{6}}x^{3}-{\frac {5}{4}}x^{2}+{\frac {5}{6}}x-{\frac {5}{24}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {5}{2}}x^{3}+{\frac {35}{4}}x^{2}-{\frac {25}{2}}x+{\frac {155}{24}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{6}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{3}-{\frac {55}{4}}x^{2}+{\frac{65}{2}}x-{\frac {655}{24}}&3\leq x<4\\{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {5}{6}}x^{3}+{\frac {25}{4}}x^{2}-{\frac {125}{6}}x+{\frac {625}{24}}&4\leq x<5\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

두 척의 관계는

N_{5}(x)={\frac {1}{16}}N_{5}(2x)+{\frac {5}{16}}N_{5}(2x-1)+{\frac {10}{16}}N_{5}(2x-2)+{\frac {10}{16}}N_{5}(2x-3)+{\frac {5}{16}}N_{5}(2x-4)+{\frac {1}{16}}N_{5}(2x-5)

퀸틱 B-스플라인

5중 B-스플라인(B-spline)은 $N_{6}(x)$ $N_{6}(x)$ $N_{6}(x)$ $N_{6}(x)$ 이(가) 나타내는 순서 6의 추기경 B-스플라인이다 $N_{6}(x)$

N_{6}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{120}}x^{5}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{24}}x^{5}+{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}x+{\frac {1}{20}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{12}}x^{5}-x^{4}+{\frac {9}{2}}x^{3}-{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {39}{4}}x-{\frac {79}{20}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{12}}x^{5}+{\frac {3}{2}}x^{4}-{\frac {21}{2}}x^{3}+{\frac {71}{2}}x^{2}-{\frac {231}{4}}x+{\frac {731}{20}}&3\leq x<4\\{\frac {1}{24}}x^{5}-x^{4}+{\frac {19}{2}}x^{3}-{\frac {89}{2}}x^{2}+{\frac {409}{4}}x-{\frac {1829}{20}}&4\leq x<5\\-{\frac {1}{120}}x^{5}+{\frac {1}{4}}x^{4}-3x^{3}+18x^{2}-54x+{\frac {324}{5}}&5\leq x<6\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

추기경 B-분할에 의해 생성된 다중 분해능 분석

순서 m의 $N_{m}(x)$ 추기경 B-spline $N_{m}(x)$ $N_{m}(x)$ ( $N_{m}(x)$ ) $N_{m}(x)$ 은 다중 분해능 분석을 생성한다.실제로 위에서 설명한 이러한 기능의 기본 속성으로부터, 기능 $N_{m}(x)$ $N_{m}(x)$ ( x $N_{m}(x)$ ) $N_{m}(x)$ 은 사각형 통합이 가능하고 $N_{m}(x)$ 공간 $L^{2}(R)$ L $L^{2}(R)$ ( $L^{2}(R)$ ) ${\displaystyle L^{2}(R)$ 의 한 요소인 것으로 나타난다.다중 분해능 분석을 설정하려면 다음과 같은 공식을 사용한다.

모든 정수 $k$ , $j$ ${\displaystyle k,$ $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ $k,j$ 에 대해 함수 $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ m $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ , $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ ( x $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ ) $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ = $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ ( 2 $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ - $N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)$ ) ${\displaystyle N_{m,kj}(x)=$ 를 정의하십시오. $N_{m}(2^{k}x-j)}$ .
For each integer $k$ , define the subspace $V_{k}$ of $L^{2}(R)$ as the closure of the linear span of the set $\{N_{m,kj}(x):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ .

이러한 분석들이 다해상도 분석을 정의한다는 것은 다음과 같다.

The spaces $V_{k}$ satisfy the property: $\cdots \subset V_{-2}\subset V_{-1}\subset V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots$ .
$V_{k}$ 서브 스페이스 $V_{k}$ ${\$ 의 유니언의 $L^{2}(R)$ $2$ ( $L^{2}(R)$ ) ${\displaystyle$ L $^{2}(R)}$ 에서 닫힘은 전체 공간 $L^{2}(R)$ $L^{2}(R)$ ( $L^{2}(R)$ ) ${\displaystyle$ L $^{2}(R)}$ 입니다 $V_{k}$ $L^{2}(R)$
모든 서브 스페이스 $V_{k}$ $V_{k}$ ${\$ 의 교차점은 0 함수만 포함하는 싱글톤 집합이다 $V_{k}$ .
우주 X에 각 정수 들어)Vk{\displaystyle V_{km그리고 4.9초 만}에}}은 아무런 조건이 없는 기준}. 집합을{Nm, kj()):j)⋯, − 2, − 1,0,1,2, ⋯}{\displaystyle\와 같이{N_{m,kj}()):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots{k\displaystyle}k(은 바나흐 공간 X에서 일련{xn}은 아무런 조건이 없는 기초 모든 permutatio.n시퀀스 {x_n}의 기본도 동일한 공간 X)^[6]

추기경 B-스플라인에서 나온 웨이블렛

m을 고정된 양의 정수로 하고 $N_{m}(x)$ m $N_{m}(x)$ ( $N_{m}(x)$ ) $N_{m}(x)$ 을(를) 순서 m의 기본 B-스플라인으로 $N_{m}(x)$ 한다.A function $\psi _{m}(x)$ in $L^{2}(R)$ is a basic wavelet relative to the cardinal B-spline function $N_{m}(x)$ if the closure in $L^{2}(R)$ of the linear span of the set $\{\psi _{m}(x-j):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ $\{\psi _{m}(x-j):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ (this closure is denoted by $W_{0}$ ) is the orthogonal complement of $V_{0}$ in $V_{1}$ . $\psi _{m}(x)$ ( $\psi _{m}(x)$ ) $\psi _{m}(x)$ 의 첨자 m은 $\psi _{m}(x)$ ( $\psi _{m}(x)$ ) $\psi _{m}(x)$ 이(가) 순서 m의 B-spline과 관련된 기본 파장임을 $\psi _{m}(x)$ 나타내기 위해 사용된다 $\psi _{m}(x)$ .추기경 B-spline $N_{m}(x)$ $N_{m}(x)$ ( $N_{m}(x)$ )에 상대적인 $\psi _{m}(x)$ 고유한 기본 파장 $\psi _{m}(x)$ $\psi _{m}(x)$ x $)$ $\displaystyle$ $\$ $psi$ $_{m}(x)$ 는 없으며 $N_{m}(x)$ 이 중 일부는 $다음$ 절에서 논의한다.

기본 보간 스플라인을 이용한 B-스플라인 상대 웨이블릿

기본 보간 스플라인

정의들

m을 고정 양의 $N_{m}(x)$ 로 하고 N $N_{m}(x)$ ( $N_{m}(x)$ ) ${\displaystyle$ N_{ $m}(x$ )}을 $($ 를) 순서 m의 B-spline으로 한다 $N_{m}(x)$ .Given a sequence $\{f_{j}:j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ of real numbers, the problem of finding a sequence $\{c_{m,k}:k=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ of real numbers such that

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

= -

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

∞

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

, k

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

(

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

+

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

-

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

)

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

=

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

{\

displaystyle

\sum _{k=-\inforty }^{{m,}N_{m}\reft(j+{{m}{2}}-k\

오른쪽

)=f_{j

},

모든

\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}

j

기본 스플라인 보간 문제로 알려져 있다.시퀀스 $\{f_{j}\}$ { $\{f_{j}\}$ $\{f_{j}\}$ $\{f_{j}\}}}$ 이 $\{f_{j}\}$ (가) 시퀀스 $\delta _{0j}$ $\delta _{0j}$ ${\$ $_$ ${0j$ 인 이 문제의 특별한 경우, $\delta _{ij}$ 서 $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ j $\delta _{ij}$ {\ $displaysty \delta _$ { $ij$ $}$ 은 $\delta _{ij}$ Kronecker 델타 함수 $\delta _{ij}$ i $\delta _{ij}$ 에 $\delta _{ij}$ 의해 정의된다 $\delta _{ij}$ .

\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}

\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}

\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}

=

\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}

{ 1

\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}

=

\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}

\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}

i

\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}

j

displaystyle \property_{ij}={\case}

1, }{\

case}{}

i=

j\0,

}{{\

text{}}}},

i\neq

j

\end{

case

}}}}},

기본적인 스플라인 보간 문제야문제의 해결은 순서 m의 기본적인 보간성 스플라인을 산출한다.이 스플라인에는 $L_{m}(x)$ $L_{m}(x)$ ( $L_{m}(x)$ ) $L_{m}(x)$ 이(가) 표시되며 $L_{m}(x)$

L_{m}(x)=\sum _{k=--\inflit }^{{m,k}N_{m}\왼쪽(x+{m}{2}}-k\오른쪽)}

여기서 시퀀스 $\{c_{m,k}\}$ { $\{c_{m,k}\}$ $\{c_{m,k}\}$ $\{c_{m,k}\}$ $\{c_{m,k}\}$ $\{c_{m,k}\}\}$ 은 $\{c_{{m,k}}\}$ (는) 다음 방정식 시스템의 해결책이 된다.

\sum _{k=-\inflt }^{}c_{m,k}N_{m}\왼쪽(j+{\frac{m}{2}}-k\right)=\delta _{0j

인

기본적인 보간성 스플라인 $L_{m}(x)$ $L_{m}(x)$ ( x $L_{m}(x)$ ) $L_{m}(x)$ 은(는) Z 변환을 사용하여 결정할 수 있다 $L_{m}(x)$ .다음 표기 사용

nothystyle A(z)=\{k=\ft ^{k0}z^1,}}}

B_{m}(z)=\sum _{k=--\inflit }^{{n_}\{m}\좌측(k+{\frac{m}{2}}\오른쪽)z^{k}}}}}

k=-\ }{displaysty C_{m=\infit ^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}

는 $c_{m,k}$ 시퀀스 $c_{m,k}$ $c_{m,k}$ ${\$ 를 정의하는 방정식에서 알 수 있다.

displaystyle B_{m}(z)_{m}(z)=A(z)}

우리가 얻는 것

C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}

C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}

(

C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}

)

C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}

=

C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}

C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}

m

C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}

( z

C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}

)

{\

$c_{m,k}$ 은 c $c_{m,k}$ , $c_{m,k}$ ${\$ 에 대한 구체적인 식을 얻기 위해 사용할 수 있다 $c_{m,k}$

구체적인 예로 사례 L $L_{4}(x)$ ( $L_{4}(x)$ ) $L_{4}(x)$ 을(를) 조사할 수 있다 $L_{4}(x)$ . $B_{m}(z)$ $B_{m}(z)$ ( $B_{m}(z)$ ) $B_{m}(z)$ 의 정의는 다음을 함축한다 $B_{m}(z)$ .

B_{4}(x)=\sum _{k=--\ft }^{\n_{4}(2+k)z^{k}}}}}

$N_{4}(k+2)$ $N_{4}(k+2)$ + $N_{4}(k+2)$ ) ${\displaystyle N_{4}(k+2$ )의 유일한 0이 아닌 값은 $k=-1,0,1$ = $k=-1,0,1$ - $k=-1,0,1$ , $k=-1,0,1$ 0 $k=-1,0,1$ $k=-1,0,1$ ${\displaystyle k=-1,0,$ 1}으로 지정되며 해당 $N_{4}(k+2)$ $k=-1,0,1$ 값은 다음과 같다.

N_{4}(1)={\frac {1}{1}{6},N_{4}(2)={\frac {4}{6},N_{4}(3)={\frac {1}{6}}.

따라서 $B_{4}(z)$ $B_{4}(z)$ ( $B_{4}(z)$ ) $B_{4}(z)$ 은(는) 다음과 같이 감소한다 $B_{4}(z)$ .

{\displaystyle B_{4}(z)={\frac {1}{6}z^{-1}+{4}{6}{6}}}z^{0}+{6}z^{1}{1}}}={\frac {1+4z+z^{6z}}}}}}}}}}}{6z}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

$C_{4}(z)$ 은 C $C_{4}(z)$ ( $C_{4}(z)$ z ) $C_{4}(z)$ 에 대해 다음과 같은 식을 산출한다 $C_{4}(z)$

{\displaystyle C_{4}(z)={\frac {6z}{1+4z+z^{2}}:

이 식을 부분 분수로 나누고 각 항을 환상 영역에서 z의 힘으로 확장하면 c $c_{4,k}$ , $c_{4,k}$ ${\$ 의 값을 계산할 수 있다 $c_{4,k}$ .그런 다음 이러한 값은 L $L_{4}(x)$ ( $L_{4}(x)$ ) ${\displaystyle L_{4}(x)$ 가 산출되도록 $L_{4}(x)$ 식에서 대체된다.

L_{4}(x)=\sum _{k=-\infit }^{k}{3}{\sqrt{3}}^{}{{{{\sqrt{3}}}}{{{{{{}}}}}}{{{{{{N_}(x+2-k)})}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

기본 보간 스플라인을 이용한 웨이브레트

양의 정수 m의 경우 $\psi _{m}(x)$ ) $\psi _{m}(x)$ 함수는 다음과 같이 정의된다 $\psi _{m}(x)$ .

\psi _{I,m}(x)={\frac {d^{m}{dx^{m}}L_{2m}(2x-1)

순서 $N_{m}(x)$ $N_{m}(x)$ ( $N_{m}(x)$ ) $N_{m}(x)$ 의 추기경 B-스플라인에 상대적인 기본 파장이다 $N_{m}(x)$ $\psi _{I,m}$ $\psi _{I,m}$ , $\psi _{I,m}$ ${\$ 의 첨자는 보간성 스플라인 공식에 기초하고 있음을 나타내는 데 사용된다 $\psi _{I,m}$ .이 기본 웨이브는 압축적으로 지지되지 않는다.

예

보간 스플라인을 사용한 순서 2의 웨이블렛은 다음 명령을 통해 제공된다.

\psi _{I,2}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}L_{4}(2x-1)

$L_{4}(x)$ L $L_{4}(x)$ ( $L_{4}(x)$ ) $L_{4}(x)$ 에 대한 식이 다음과 같은 공식을 산출한다.

\psi _{I,2}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{ k }N_{4}(2x+1-k)

이제 $N_{m-1}(x)$ $N_{m-1}(x)$ $N_{m}(x)$ - $N_{m-1}(x)$ ( $N_{m-1}(x)$ $N_{m}(x)$ ) $N_{m}(x)$ 의 $N_{m}(x)$ 파생상품에 대한 식을 N m $N_{m-1}(x)$ - 1 ( x $N_{m-1}(x)$ ) $N_{m-1(x)$ 함수 $N_{m-1}(x)$ $\psi _{2}(x)$ $\psi _{2}(x)$ ( $\psi _{2}(x)$ ) ${\displaysty \psi _{2(x)}$ 에 넣을 수 있다 $\psi _{2}(x)$ .

\psi _{I,2}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}4{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{ k }{\Big (}(N_{2}(2x+k-1)-2N_{2}(2x+k-2)+N_{2}(2x+k-3){\Big )}}

다음 조각의 선형 함수는 $\psi _{2}(x)$ $\psi _{2}(x)$ ( $\psi _{2}(x)$ ) ${\displaystyle \$ $k=-3,\ldots ,3$ $_{2}(x)}$ 에 대한 무한 시리즈 $k=-3,\ldots ,3$ 에서 $k=-3,\ldots ,3$ k $k=-3,\ldots ,3$ = $k=-3,\ldots ,3$ - 3 $k=-3,\ldots ,3$ , $k=-3,\ldots ,3$ , $k=-3,\ldots ,3$ 3 {\ $displaystyle k=-3,\ldots$ ,3}에 해당하는 용어의 합을 취하여 얻은 $\psi _{2}(x)$ $\psi _{2}(x)$ 2 $\psi _{2}(x)$ ( $\psi _{2}(x)$ ) ${\displaystyle \psi \{2}(x)$ 에 대한 근사이다 $\psi _{2}(x)$

\psi _{I,2}(x)\trawth {\begin}0.07142668x+0.17856670&-2.5<x\leq -2\\-0.48084803x-0.92598272&-2<x\leq -1.5\\2.0088293x+2.8085333&-1.5<x\leq -1\\-7.5684795x-6.7687755&-1<x\leq -0.5\\28.245949x+11.138439&-0.5<x\leq 0\\-57.415316x+11.138439&0<x\leq 0.5\\57.415316x-46.276878&0.5<x\leq 1\\-28.245949x+39.384388&1<x\leq 1.5\\7.5684795x-14.337255&1.5<x\leq 2\\-2.0088293x+4.8173625&2<x\leq 2.5\\\0.1684803x-1.4068308&2.5<x\leq 3\\-0.07142668x+0.2499338&3<x\leq 3.5\\\0&{pair}\end{case}}}}

두 척도 관계

wavelet 함수 $\psi _{m}(x)$ m $\psi _{m}(x)$ ( $\psi _{m}(x)$ ) $\psi _{m}(x)$ 에 대한 두 가지 척도 관계는 다음에 의해 주어진다 $\psi _{m}(x)$ .

\psi _{I,m}(x)=\sum _{-\infty }^{\infty }q_{n}N_{m}(2x-n)

where

{\displaystyle q_{n}=\sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}{m \choose j}c_{m+n-j-1}.

}

콤팩트하게 지원되는 B-스플라인 웨이브

보간파장을 사용하여 생성된 스플라인 파장은 압축적으로 지지되지 않는다.압축적으로 지지되는 B-분할 파동은 찰스 K에 의해 발견되었다.추이와 지안중 왕씨로 1991년에 출판되었다.^[3]^[7]The compactly supported B-spline wavelet relative to the cardinal B-spline $N_{m}(x)$ of order m discovered by Chui and Wong and denoted by $\psi _{C,m}(x)$ , has as its support the interval $[0,2m-1]$ .이 파도들은 아래에서 설명하는 어떤 의미에서는 본질적으로 독특하다.

정의

오더 m의 B-스플라인 파장은 다음과 같이 압축적으로 지원된다.

\psi _{C,m}(x)={\frac {1}{2^{2m-1}}}\sum _{j=0}^{2m-2}(-1)^{j}N_{2m}(j+1){\frac {d^{m}}{dx^{m}}}N_{2m}(2x-j)

이것은 m번째 주문 스플라인이다.특별한 경우로서, 오더 1의 B-스플라인 파슬릿이 콤팩트하게 지지되고 있다.

\psi _{C,1}(x)={\frac {1}{1}{2}}N_{2}(1){\frac {d}{dx}}}}}}N_{2}(2x)={\begin{case}1&0\leq x<{\frac {1}{1}{1}\-1&{\frac {1}{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}{1}}\leq x<1\0&{\text}{otherwise}}}}}}}}}}}}}

잘 알려진 하르 파도타기 입니다.

특성.

$\psi _{C,m}(x)$ $\psi _{C,m}(x)$ , $\psi _{C,m}(x)$ ( $\psi _{C,m}(x)$ ) $\psi _{C,m}(x)$ 의 지원은 닫힌 간격 $[0,2m-1]$ [ $[0,2m-1]$ $[0,2m-1]$ - $[0,2m-1]$ $[0,2m-1]$ $[0,2m-1]$ 이다 $\psi _{{C,m}}(x)$ $[0,2m-1]$
wavelet $\psi _{C,m}(x)$ $\psi _{C,m}(x)$ , $\psi _{C,m}(x)$ ( $\psi _{C,m}(x)$ ) $\psi _{C,m}(x)$ 는 다음과 같은 의미로 최소 지원을 하는 고유한 wavelet이다 $\psi _{C,m}(x)$ .If $\eta (x)\in W_{0}$ generates $W_{0}$ and has support not exceeding $2m-1$ in length then $\eta (x)=c_{0}\psi _{C,m}(x-n_{0})$ for some nonzero constant ${\displayst$ $yle c_{0}}$ 과 $c_{0}$ (와) $n_{0}$ 정수 $n_{0}$ n 0 {\ $displaystyle$ n_ ${0}$ 에 대해 $n_{0}$ ^[8]
$\psi _{C,m}(x)$ $\psi _{C,m}(x)$ , $\psi _{C,m}(x)$ ( $\psi _{C,m}(x)$ ) $\psi _{C,m}(x)$ 은 짝수 m에 대칭이고 $\psi _{C,m}(x)$ 홀수 m에 대칭이다.

두 척도 관계

$\psi _{m}(x)$ ( $\psi _{m}(x)$ ) $\property _{m}(x)$ 은(는) 두 가지 척도 관계를 만족한다 $\psi _{m}(x)$ .

\psi _{C,m}(x)=\sum _{n=0}^{3m-2}q_{n}N_{m}(2x-n)

where

q_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2^{m-1}}}\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}N_{2m}(n-j+1)

.

분해관계

압축적으로 지원되는 B-스플라인 파슬릿의 분해 관계는 다음과 같은 형태를 가진다.

N_{m}(2x-l)=\sum _{k=-\infit }^{\infit }\왼쪽[a_,l-2k}N_{m}(x-k)+b_{m,l-2k}\psi _{C,m}(x-k)\rig

여기서 $b_{m,j}$ 계수 $a_{m,j}$ $a_{m,j}$ $a_{m,j}$ ${\$ 및 $a_{m,j}$ b $b_{m,j}$ $b_{m,j}$ ${\$ 는 다음과 같이 주어진다.

a_{m,j}=-{\frac {(1)^{j}}{2}}\sum _{l=-\infl}^{{l=-\infl_{-j+2m-2l+1}c_{2m,l}

b_{m,j}={\frac {(1)-^{j}}{2}}\sum _{l=-\nfl}^{{l=-\fl}{p_{-j+2m-2l+1}c_{2m,l}

여기서 순서 $c_{2m,l}$ $c_{2m,l}$ $c_{2m,l}$ ${\$ 는 순서 m의 기본 보간형 추기경 스플라인 파장의 계수 순서다 $c_{2m,l}$ .

소규모 주문의 B-분할 파장을 압축적으로 지원

오더 1의 B-스플라인 파장을 콤팩트하게 지지

순서가 1인 B-분할 파장에 대한 2-척도의 관계는 다음과 같다.

\psi _{C,1}(x)=N_{1}(2x)-N_{1}(2x-1)

순서 1의 콤팩트하게 지원되는 B-스플라인 파장에 대한 닫힌 폼 표현은

\psi _{C,1}(x)={\begin{pase}1&0\leq x<{1}{\frac{1}{1}{1}{1}{1}{1}}\frac {1}{1}{{1}}}}\req x 1\0&{otherwise}\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\case}}}}}}

주문 2의 B-스플라인 파슬릿을 콤팩트하게 지지

2차 순서의 B-분할 파장에 대한 2-척도 관계는

\psi \c,2}(x)={\frac {1}{1}{12}\좌측(N_{2}-6N_{2}(2x-1)+10N_{2}(2x-2)-6N_{2}(2x-3)+{2}-{2}-{2}(2x-3)+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++N_{2}(2x-4)\오른쪽)

순서 2의 콤팩트하게 지원되는 B-스플라인 파장을 위한 폐쇄형 표현은

\psi _{C,2}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {7}{6}}x+{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {8}{3}}x-{\frac {19}{6}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {8}{3}}x+{\frac {29}{6}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {7}{6}}x-{\frac {17}{6}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Compactly supported B-spline wavelet of order 3

The two-scale relation for the compactly supported B-spline wavelet of order 3 is

\psi _{C,3}(x)={\frac {1}{480}}{\Big [}(N_{3}(2x)-29N_{3}(2x-1)+147N_{3}(2x-2)-303N_{3}(2x-3)+

303N_{3}(2x-4)-147N_{3}(2x-5)+29N_{3}(2x-6)-N_{3}(2x-7){\Big ]}

The closed form expression for compactly supported B-spline wavelet of order 3 is

\psi _{C,3}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{240}}x^{2}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {31}{240}}x^{2}+{\frac {2}{15}}x-{\frac {1}{30}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {103}{120}}x^{2}-{\frac {221}{120}}x+{\frac {229}{240}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {313}{120}}x^{2}+{\frac {1027}{120}}x-{\frac {1643}{240}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {22}{5}}x^{2}-{\frac {779}{40}}x+{\frac {339}{16}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {22}{5}}x^{2}+{\frac {981}{40}}x-{\frac {541}{16}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {313}{120}}x^{2}-{\frac {701}{40}}x+{\frac {2341}{80}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {103}{120}}x^{2}+{\frac {809}{120}}x-{\frac {3169}{240}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {31}{240}}x^{2}-{\frac {139}{120}}x+{\frac {623}{240}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {1}{240}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x-{\frac {5}{48}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Compactly supported B-spline wavelet of order 4

The two-scale relation for the compactly supported B-spline wavelet of order 4 is

\psi _{C,4}(x)={\frac {1}{40320}}{\Big [}N_{4}(2x)-124N_{4}(2x-1)+1677N_{4}(2x-2)-7904N_{4}(2x-3)+18482N_{4}(2x-4)-

24264N_{4}(2x-5)+18482N_{4}(2x-6)-7904N_{4}(2x-7)+1677N_{4}(2x-8)-124N_{4}(2x-9)+N_{4}(2x-10){\Big ]}

The closed form expression for compactly supported B-spline wavelet of order 4 is

\psi _{C,4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{30240}}x^{3}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {127}{30240}}x^{3}+{\frac {2}{315}}x^{2}-{\frac {1}{315}}x+{\frac {1}{1890}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {19}{280}}x^{3}-{\frac {47}{224}}x^{2}+{\frac {2147}{10080}}x-{\frac {103}{1440}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1109}{2520}}x^{3}+{\frac {465}{224}}x^{2}-{\frac {32413}{10080}}x+{\frac {16559}{10080}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {5261}{3360}}x^{3}-{\frac {33463}{3360}}x^{2}+{\frac {42043}{2016}}x-{\frac {145193}{10080}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {35033}{10080}}x^{3}+{\frac {93577}{3360}}x^{2}-{\frac {148517}{2016}}x+{\frac {216269}{3360}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {4832}{945}}x^{3}-{\frac {27691}{560}}x^{2}+{\frac {113923}{720}}x-{\frac {28145}{168}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {4832}{945}}x^{3}+{\frac {58393}{1008}}x^{2}-{\frac {52223}{240}}x+{\frac {2048227}{7560}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {35033}{10080}}x^{3}-{\frac {75827}{1680}}x^{2}+{\frac {981101}{5040}}x-{\frac {234149}{840}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {5261}{3360}}x^{3}+{\frac {38509}{1680}}x^{2}-{\frac {112487}{1008}}x+{\frac {30347}{168}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\{\frac {1109}{2520}}x^{3}-{\frac {24077}{3360}}x^{2}+{\frac {78311}{2016}}x-{\frac {141311}{2016}}&5\leq x<{\frac {11}{2}}\\-{\frac {19}{280}}x^{3}+{\frac {1361}{1120}}x^{2}-{\frac {14617}{2016}}x+{\frac {4151}{288}}&{\frac {11}{2}}\leq x<6\\{\frac {127}{30240}}x^{3}-{\frac {55}{672}}x^{2}+{\frac {5359}{10080}}x-{\frac {11603}{10080}}&6\leq x<{\frac {13}{2}}\\-{\frac {1}{30240}}x^{3}+{\frac {1}{1440}}x^{2}-{\frac {7}{1440}}x+{\frac {49}{4320}}&{\frac {13}{2}}\leq x<7\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Compactly supported B-spline wavelet of order 5

The two-scale relation for the compactly supported B-spline wavelet of order 5 is

\psi _{C,5}(x)={\frac {1}{5806080}}{\Big [}N_{5}(2x)-507N_{5}(2x-1)+17128N_{5}(2x-2)-166304N_{5}(2x-3)+748465N_{5}(2x-4)

-1900115N_{5}(2x-5)+2973560N_{5}(2x-6)-2973560N_{5}(2x-7)+1900115N_{5}(2x-8)

-748465N_{5}(2x-9)+166304N_{5}(2x-10)-17128N_{5}(2x-11)+507N_{5}(2x-12)-N_{5}(2x-13){\Big ]}

The closed form expression for compactly supported B-spline wavelet of order 5 is

\psi _{C,5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{8709120}}x^{4}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {73}{1244160}}x^{4}+{\frac {1}{8505}}x^{3}-{\frac {1}{11340}}x^{2}+{\frac {1}{34020}}x-{\frac {1}{272160}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {9581}{4354560}}x^{4}-{\frac {19417}{2177280}}x^{3}+{\frac {1303}{96768}}x^{2}-{\frac {19609}{2177280}}x+{\frac {6547}{2903040}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {118931}{4354560}}x^{4}+{\frac {366119}{2177280}}x^{3}-{\frac {186253}{483840}}x^{2}+{\frac {121121}{311040}}x-{\frac {427181}{2903040}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {759239}{4354560}}x^{4}-{\frac {3146561}{2177280}}x^{3}+{\frac {6466601}{1451520}}x^{2}-{\frac {13202873}{2177280}}x+{\frac {26819897}{8709120}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {2980409}{4354560}}x^{4}+{\frac {5183893}{725760}}x^{3}-{\frac {13426333}{483840}}x^{2}+{\frac {426589}{8960}}x-{\frac {12635243}{414720}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {7873577}{4354560}}x^{4}-{\frac {16524079}{725760}}x^{3}+{\frac {7385369}{69120}}x^{2}-{\frac {17868671}{80640}}x+{\frac {497668543}{290304}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {14714327}{4354560}}x^{4}+{\frac {108543091}{2177280}}x^{3}-{\frac {56901557}{207360}}x^{2}+{\frac {1454458651}{2177280}}x-{\frac {5286189059}{8709120}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {15619}{3402}}x^{4}-{\frac {33822017}{435456}}x^{3}+{\frac {15828929}{32256}}x^{2}-{\frac {597598433}{435456}}x+{\frac {277413649}{193536}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {15619}{3402}}x^{4}+{\frac {38150335}{435456}}x^{3}-{\frac {20157247}{32256}}x^{2}+{\frac {859841695}{435456}}x-{\frac {64472345}{27648}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\{\frac {14714327}{4354560}}x^{4}-{\frac {4466137}{62208}}x^{3}+{\frac {165651247}{290304}}x^{2}-{\frac {875490655}{435456}}x+{\frac {4614904015}{1741824}}&5\leq x<{\frac {11}{2}}\\-{\frac {7873577}{4354560}}x^{4}+{\frac {30717383}{725760}}x^{3}-{\frac {179437319}{483840}}x^{2}+{\frac {16606729}{11520}}x-{\frac {869722273}{414720}}&{\frac {11}{2}}\leq x<6\\{\frac {2980409}{4354560}}x^{4}-{\frac {12698561}{725760}}x^{3}+{\frac {16211669}{96768}}x^{2}-{\frac {19138891}{26880}}x+{\frac {3289787993}{2903040}}&6\leq x<{\frac {13}{2}}\\-{\frac {759239}{4354560}}x^{4}+{\frac {10519741}{2177280}}x^{3}-{\frac {10403603}{207360}}x^{2}+{\frac {71964499}{311040}}x-{\frac {3481646837}{8709120}}&{\frac {13}{2}}\leq x<7\\{\frac {118931}{4354560}}x^{4}-{\frac {1774639}{2177280}}x^{3}+{\frac {630259}{69120}}x^{2}-{\frac {14096161}{311040}}x+{\frac {245108501}{2903040}}&7\leq x<{\frac {15}{2}}\\-{\frac {9581}{4354560}}x^{4}+{\frac {21863}{311040}}x^{3}-{\frac {407387}{483840}}x^{2}+{\frac {9758873}{2177280}}x-{\frac {25971499}{2903040}}&{\frac {15}{2}}\leq x<8\\{\frac {73}{1244160}}x^{4}-{\frac {4343}{2177280}}x^{3}+{\frac {5273}{207360}}x^{2}-{\frac {313703}{2177280}}x+{\frac {380873}{1244160}}&8\leq x<{\frac {17}{2}}\\-{\frac {1}{8709120}}x^{4}+{\frac {1}{241920}}x^{3}-{\frac {1}{17920}}x^{2}+{\frac {3}{8960}}x-{\frac {27}{35840}}&{\frac {17}{2}}\leq x<9\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Images of compactly supported B-spline wavelets


B-spline wavelet of order 1	B-spline wavelet of order 2

B-spline wavelet of order 3	B-spline wavelet of order 4	B-spline wavelet of order 5

Battle-Lemarie wavelets

The Battle-Lemarie wavelets form a class of orthonormal wavelets constructed using the class of cardinal B-splines. The expressions for these wavelets are given in the frequency domain; that is, they are defined by specifying their Fourier transforms. The Fourier transform of a function of t, say, $F(t)$ , is denoted by ${\hat {F}}(\omega )$ .

Definition

Let m be a positive integer and let $N_{m}(x)$ be the cardinal B-spline of order m. The Fourier transform of $N_{m}(x)$ is ${\hat {N}}_{m}(\omega )$ . The scaling function $\phi _{m}(t)$ for the m-th order Battle-Lemarie wavelet is that function whose Fourier transform is

{\hat {\phi }}_{m}(\omega )={\frac {{\hat {N}}_{m}(\omega )}{\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }\vert {\hat {N}}_{m}(\omega +2\pi k)\vert ^{2}\right)^{1/2}}}.

The m-th order Battle-Lemarie wavelet is the function $\psi _{BL,m}(t)$ whose Fourier transform is

{\hat {\psi }}_{BL,m}(\omega )=-{\frac {e^{-i\omega /2}\,\,{\overline {{\hat {\phi }}_{m}(\omega +2\pi )}}\,\,{\hat {\phi }}_{m}\left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\overline {{\hat {\phi }}_{m}\left({\frac {\omega }{2}}+\pi \right)}}}

References

^ Michael Unser (1997). "Ten good reasons for using spline wavelets" (PDF). Proc. SPIE Vol. 3169, Wavelets Applications in Signal and Image Processing V: 422–431. Retrieved 21 December 2014.
^ Chui, Charles K, and Jian-zhong Wang (1991). "A cardinal spline approach to wavelets" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 113 (3): 785–793. doi:10.2307/2048616. JSTOR 2048616. Retrieved 22 January 2015.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ ^a ^b Charles K. Chui and Jian-Zhong Wang (April 1992). "On Compactly Supported Spline Wavelets and a Duality Principle" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 330 (2): 903–915. doi:10.1090/s0002-9947-1992-1076613-3. Retrieved 21 December 2014.
^ Charles K Chui (1992). An Introduction to Wavelets. Academic Press. p. 177.
^ Ingrid Daubechies (1992). Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 146–153.
^ Christopher Heil (2011). A Basis Theory Primer. Birkhauser. pp. 177–188.
^ Charles K Chui (1992). An Introduction to Wavelets. Academic Press. p. 249.
^ Charles K Chui (1992). An Introduction to Wavelets. Academic Press. p. 184.

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기본 보간 스플라인

정의들

인

기본 보간 스플라인을 이용한 웨이브레트

예

두 척도 관계

콤팩트하게 지원되는 B-스플라인 웨이브

정의

특성.

두 척도 관계

분해관계

소규모 주문의 B-분할 파장을 압축적으로 지원

오더 1의 B-스플라인 파장을 콤팩트하게 지지

주문 2의 B-스플라인 파슬릿을 콤팩트하게 지지

Compactly supported B-spline wavelet of order 3

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Battle-Lemarie wavelets

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