공간 분산

연속매체물리학에서 공간분산(spatial distance)은 자유도나 전도도 같은 물질적 매개변수가 파동 벡터에 의존하는 현상이다.일반적으로 그러한 의존성은 단순성을 위해 없는 것으로 가정되지만, 공간적 분산은 모든 재료에서 다양한 정도로 존재한다.

공간적 분산은 종종 단지 분산이라고 불리는 시간적 분산과 비교될 수 있다.시간 분산은 광학 및 전자공학에서 흔히 볼 수 있는 시스템의 메모리 효과를 나타낸다.반면에 공간적 분산은 확산 효과를 나타내며 보통 미세한 길이 눈금에서만 중요하다.공간적 분산은 광학 활동에 상대적으로 작은 동요를 일으키며 광학 활동과 같은 약한 효과를 준다.공간적 분산과 시간적 분산은 동일한 시스템에서 발생할 수 있다.

오리진: 로컬이 아닌 응답

공간적 분산의 기원은 힘장에 대한 반응이 여러 위치에서 나타나고 힘이 0인 위치에서도 나타날 수 있는 비지역적 대응이다.이것은 보통 숨겨진 미시적인 자유도에 의한 효과의 확산 때문에 발생한다.^[1]

예를 들어 공간(x)과 시간(t)이 다른 전기장 $E($${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle E(x,t)}$에 반응하여 구동되는 현재$$ $J{\displaystyle (x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle J(x,t)}$을(를) 예로 들어보자.옴의 법칙과 같은 단순화된 법칙은 이러한 법칙들이 서로 정비례한다고 ${\displaystyle \mathrm{말할}}$ 수 $있지만{\displaystyle }$,${\displaystyle }$J = ${\displaystyle e}$ E ${\displaystyle J=\sigma$ E$\},$ 그러나 시스템에 메모리(임시 분산) 또는 확산(공간 분산)이 있을 경우 이는 분해된다.가장 일반적인 선형 반응은 다음과 같다.

${\displaystyle J(x,t)=\int _{-\nft }^{-\nft }^{-\nft }^{-\nft }\sigma(x,x',t')E(x,t',t')},}}}$

여기서 $\sigma {\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime ,}$ t${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 국소 전도성 함수다.

If the system is invariant in time (time translation symmetry) and invariant in space (space translation symmetry), then we can simplify because ${\displaystyle \sigma (x,x',t,t')=\sigma _{\rm {sym}}(x-x',t-t')}$ for some convolution kernel ${\displaystyl$$e$ $\sigma _{\rm {sym$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 및 J ${\displaystyle$ J$}$에 대한 평면파 솔루션도 다음과 같이 고려할$$ 수 있다.

${\displaystyle J(x,t)=\operatorname {Re}(J_{0}e^{ikx-i\omega t}})$

${\displaystyle E(x,t)=\operatorname {Re}(E_{0}e^{ikx-i\omega t}})$

두 평면파의 복잡한 진폭 사이에 현저하게 단순한 관계를 산출한다.

${\displaystyle J_{0}={\tilde {\sigma }}}}}(k,\omega )E_{0}}$

여기서 $\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}}}(k,\omega$) 함수는 공간 시간 응답 함수의 푸리에 변환에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle {\tilde {\\dma }}}}}{-\inful }^{-\inful }x"\int_{-\inful }^{-\infit }^{-\ikx"+i\i1}\inma _{\rm {x't't'"""""""""""""""""""".}$

전도도함수 $\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\tilde${\$sigma }}}}(k,\omega$)은 도파관 k에 의존하는 경우 공간 분산이$$ 있다.공간함수 ${\displaystyle {\sigma s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{m}(}_{}x}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime ,}$ t${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}(x-x',t-t')$이 x-x'의 점성(delta 함수) 반응이 아닌$$ 경우 이 문제가 발생한다.

전자석의 공간적 분산

전자기학에서 공간적 분산은 광학 활동과 도플러 확대와 같은 몇 가지 물질적 효과에서 역할을 한다.공간적 분산은 전자기 메타물질의 이해에도 중요한 역할을 한다.가장 보편적으로, 자유도 ε의 공간적 분산은 관심의 대상이다.

크리스털 광학

결정 내부에는 공간적 분산, 시간적 분산, 음이소트로피의 조합이 있을 수 있다.^[2]양극화 벡터에 대한 구성 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle P_{0}\delta_{i}({\vec{k},\omega )=\sum_{j}(\epsilon _{\vec{k},\omega)-\epsilon _{0}\delta _{ij}E_{j}({\vec {k},\omega }),}$

즉, 허용률은 파동 벡터와 주파수 변환 텐서이다.

맥스웰의 방정식을 생각하면 그러한 결정 안에서 평면파도 정상모드를 찾을 수 있다.이러한 현상은 0이 아닌 전기장 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$E → ${\$E}}에 대해 다음과 같은 관계가 충족될 때 발생한다$.$^[2]

${\displaystyle \omega^{2}\mu_{0}\epsilon({\vec{k},\omega){\vec}-({\vec{k}}\cdot{\vec}}}{\vec}}}}{\vec {k}}}}}=0}$

$ϵ{\displaystyle }$(${\displaystyle k\stackrel{}{}}$→ ,${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \epsilon({\vec {k},\omega )}$의 공간 분산은 동일한 주파수 및 파동 벡터 방향에서 복수의 모드가 존재하지만 파동 벡터 크기가 다른 등 이상한 현상을 초래할 수 있다$$.

근처의 결정 표면과 경계는 더 이상 파동 벡터 측면에서 시스템 반응을 설명하는 것은 유효하지 않다.전체 설명을 위해 (변환 대칭이 없는) 완전한 비로컬 응답 함수로 돌아가야 하지만, 최종 효과는 때때로 "추가 경계 조건"(ABC)으로 설명될 수 있다.

등방성 매체에서

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도움도 된다. (2015년 12월)

관련 결정 구조가 없는 재료에서는 공간 분산이 중요할 수 있다.

대칭은 0의 파동 벡터에 대해 허용률이 등방성이어야 함을 요구하지만, 0이 아닌 파동 벡터에는 이 제한이 적용되지 않는다.0이 아닌 파동 벡터에 대한 비등방성 허용률은 치랄 분자의 용액에서 광학 활성과 같은 효과로 이어진다.광학 활동이 없는 등방성 물질에서 허용률 텐서는 도파관에 수직 또는 평행한 전기장에 대한 응답을 참조하여 가로 및 세로 구성요소로 분해할 수 있다.^[1]

흡수선 근처의 주파수(예: 익시톤)의 경우 공간 분산은 중요한 역할을 할 수 있다.^[1]

란다우 댐핑

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도움도 된다. (2015년 12월)

플라즈마 물리학에서 파장은 파장의 위상 속도와 일치하는 속도를 가진 플라즈마 내의 입자에 의해 충돌 없이 축축해질 수 있다.이것은 일반적으로 플라즈마의 자유도에 공간적으로 분산되는 손실로 표현된다.

0이 아닌 주파수에서 허용률-허용성 모호성

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도움도 된다. (2015년 12월)

0이 아닌 주파수에서는 모든 자성을 시간 변광성 편광으로 나타낼 수 있다.더욱이 전기장과 자기장은 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle E}$= -${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle B}$ /${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nabla \time$ E$=-\partial$ B$/\partial t}$에 의해 직접 관련되기 때문에$,$ 자기장에 의해 유도되는 자기화는 비록 분산적인 관계가 있지만, 대신 전기장에 의해 유도되는 양극화로 나타낼 수 있다.

즉, 0이 아닌 주파수에서 투과성 μ에 대한 기여는 대신 허용률 ε에 대한 공간 분산 기여로 대신 나타낼 수 있다.투과성과 허용성의 값은 이 대체 표현에서 서로 다르지만, 이는 전기장, 자속 밀도, 자기 모멘트, 전류와 같은 실제 수량에서 관측할 수 있는 차이를 초래하지 않는다.

그 결과 광학 주파수에서는 진공투과성 μ에₀ μ를 설정하고 분산 허용률 ε만을 고려하는 것이 가장 일반적이다.^[1]이것이 μ에 대한 효과적인 매체 근사치를 사용하는 메타물질에 적절한지에 대한 논의와 음의 지수 메타물질에서 보이는 '부정투과성'의 실체에 대한 논의가 있다.^[3]

음향의 공간적 분산

음향학, 특히 고체에서 공간 분산은 일반적으로 매우 높은 주파수(기가헤르츠 이상)에서 발생하는 격자 간격에 필적하는 파장에 유의할 수 있다.

고형물의 경우, 가로 방향 음향 모드와 세로 방향 음향 모드의 전파 차이는 응력과 변형률과 관련된 탄성 텐서 내 공간 분산에 기인한다.극진동(광학음파)의 경우 종방향과 횡방향 모드의 구별은 전자기장인 "숨겨진" 비기계적 자유도의 복원력에서 공간적 분산으로 볼 수 있다.

공간적 분산으로 인한 많은 전자파 영향은 음향파에서 아날로그를 발견한다.예를 들어, 치랄 물질에는 광학 활동과 ^[4]유사한 음향 활동(횡음파의 양극화 면의 회전)이 있다.

참조