시도렌코 추측

시도렌코의 추측은 1986년 알렉산더 시도렌코가 제기한 그래프 이론 분야의 추측입니다. 대략적으로, 이 추측은 평균 ${\displaystyle \mathrm{차수}}$가 p가$${\$displaystyle pn}$인 n$${\$displaystyle n}$개$$ 정점에 대한$$ 임의의 이분 그래프 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$ 및$$ 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$에 대하여$,$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 $있는{\displaystyle }$ H$${\$displaystyle H}$의 레이블이$$ 지정된 복사본은 최소 ${\displaystyle {pE(H)}^{}}$ n ${\displaystyle {V(H)}^{}}$ $displaystyle P^{ E(H) }n^{ V(H)}}$개이며$,$ 작은 오류항까지 있습니다. 형식적으로는 그래프의 그래프 동형화 밀도에 대한 직관적인 불평등을 제공합니다. 추측된 부등식은 그래프에서$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ 복사본의 밀도가 랜덤 그래프에 의해 점근적으로 최소화된다는 문장으로 해석될 수 있습니다. $각{\displaystyle {}^{}}$ 간선이 $확률{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$로 존재할$$ 경우 가능한 부분 그래프의 ${\displaystyle {pE(H)}^{}}$ {\$displaystyle p^{E(H)}$ 부분은$$ H ${\displaystyle$ H$}$의 복사본일 것으로 예상할 수 있습니다$.$

진술

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$를 그래프라고$$ 합니다. $그렇다면$ H ${\displaystyle$ H$}$는 모든 그래프 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W$에 대하여 부등식이 존재한다면 시도렌코의 성질을 갖는다고 합니다$$.

${\displaystyle t(H,W)\geq t(K_{2},W)^{ E(H) }}$

$참$입니다. 여기서 t (${\displaystyle H,}$W)${\displaystyle$ t ($H, W)}$는 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ W$}$의 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 동형 밀도입니다$.$

Sidorenko의 추측(1986)은 모든 이분 그래프는 Sidorenko의 성질을 가지고 있다고 말합니다.^[1]

$W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$가 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$이면$,$ $즉{\displaystyle }$, V${\displaystyle (H)}$ ${\displaystyle$ V$(H)}$에서 $V{\displaystyle (G)}$ ${\displaystyle V(G)}$까지의 균일한 랜덤 매핑이 동형일 확률은 적어도 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$의 각 에지에 대한 곱이며$$, 해당 에지가 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 에지에 매핑될 확률입니다$.$ 이는 고정된 수의 정점과 평균 차수를 갖는 임의로 선택된 $그래프$가 H ${\displaystyle H}$의 최소 레이블로 표시된 사본 수를 가짐을 대략적으로 의미합니다$.$ 부등식의 우변은 각 에지 맵이 독립적인 경우 매핑이 동형일 확률이기 때문에 이것은 놀라운 추측이 아닙니다. 따라서 양측이 최소한 같은 순서일 것으로 예상해야 합니다. 그래프에 대한 자연스러운 확장은 모든 그래프가 일부 그래프 시퀀스의 극한점이라는 사실에서 비롯됩니다.

$H$ ${\displaystyle H}$가 Sidorenko의 속성을 갖기 위해 이분형이라는 요건이 필요합니다. $W$ ${\displaystyle W}$가 이분형 그래프인 경우 W {\displaystyle W}는 삼각형이 없으므로 $t$ (${\displaystyle K_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W)}$ = 0 ${\displaystyle$t ($K_{3$, W) = 0$}$입니다. 그러나 $t{\displaystyle }$(${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ W${\displaystyle )}$ ${\displaystyle t(K_{2},$ W$)}$는 W ${\displaystyle W}$의 간선 수의 두 배이므로$$시도렌코의 속성은 K ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해 유지되지 않습니다$.$ 유사한 인수는 홀수 사이클을 갖는 그래프가 시도렌코의 속성을 갖지 않는다는 것을 보여줍니다. 그래프는 홀수 사이클이 없는 경우에만 이분형이므로 시도렌코의 속성을 가질 수 있는 유일한 그래프는 이분형 그래프임을 의미합니다.

등가 공식

시도렌코의 재산은 다음과 같은 개조에 해당합니다.

For all graphs ${\displaystyle G}$, if ${\displaystyle G}$ has ${\displaystyle n}$ vertices and an average degree of ${\displaystyle pn}$, then ${\displaystyle t(H,G)\geq p^{ E(H) }}$.

$이$는 K ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$부터 G ${\displaystyle G}$까지의 동형사상 수가 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 간선 수의 2배이므로$$앞서 언급한 $바$와 같이 W ${\displaystyle W}$가 그래프일 때만 부등식을 확인하면 되기 때문에 동등합니다.

$이{\displaystyle }$ 공식에서 H ${\displaystyle$ H$}$부터 $G$ ${\displaystyle$ G$}$까지의 비주입 동형의 수는 최대$$ 상수 n ${\displaystyle {V(H)}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ V$(H) -1}$이므로$,$ Sidorenko의 속성은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 레이블이 지정된 복사본이 적어도${\displaystyle }$($pE$($H)$- o$(1)$ n$V$임을 의미합니다$.$

예

앞서 언급한 바와 같이, Sidorenko의 성질을 증명하기 위해서는$모든{\displaystyle }$ $그래프$ G {\$displaystyle$G}에 대한 부등식을 증명하는 것으로 $충분$합니다$.$ 이 섹션 전체에서$$G {\$displaystyle$G}는$$ $평균{\displaystyle }$ 차수 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle pn}$인 n ${\displaystyle n}$ 정점에$$ 있는 그래프입니다$.$ 수량 ${\displaystyle \mathrm{hom}}$⁡${\displaystyle (}$H, $G$) ${\displaystyle \operatorname {hom$}(H, G)}은 H${\$$displaystyle$ H$}$부터 G $displaystyle$ G$}$까지의 $동형화$ 수를 의미합니다. 이 ${\displaystyle {수량}^{}}$은${\displaystyle {}^{}}$n V${\displaystyle (H}$) ${\displaystyle t(}$H$,$ G) ${\displaystyle n^{ V(H$)$$}t(H, G${\displaystyle {)\}}^{}}$와 같습니다.

일부 그래프에 대한 시도렌코의 성질에 대한 기초적인 증명은 코시-슈바르츠 부등식 또는 ö더의 부등식에서 따릅니다. 다른 것들은 스펙트럼 그래프 이론을 사용하여 할 수 있습니다. especially noting the observation that the number of closed paths of length ${\displaystyle \ell }$ from vertex ${\displaystyle i}$ to vertex ${\displaystyle j}$ in ${\displaystyle G}$ is the component in the ${\displaystyle i}$th row and ${\displaystyle j}$th column of the matrix ${\displaystyle A^{\ell }}$${\displaystyle A^{\ell$ 여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$의 인접 행렬입니다$.$

Cauchy–Schwarz: 4사이클₄ C

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 두 정점 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ u$}$ 및$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ v$}$을(를) 고정함으로써$,$ each copy of ${\displaystyle C_{4}}$ that have ${\displaystyle u}$ and ${\displaystyle v}$ on opposite ends can be identified by choosing two (not necessarily distinct) common neighbors of ${\displaystyle u}$ and ${\displaystyle v}$. Letting ${\displaystyle \mathrm{codeg}(u,}$$displaystyle \operatorname {codeg}(u,v)}$은$($는) $u{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ u$}$ $및$ v {\$displaystyle v}$의 코드그리($$즉, 공통 인접 수)를$$ 의미합니다.

${\displaystyle \operatorname {hom} (C_{4},G)=\sum _{u,v\in V(G)}\operatorname {codeg} (u,v)^{2}\geq {\frac {1}{n^{2}}}\left(\sum _{u,v\in V(G)}\operatorname {codeg} (u,v)\right)^{2}}$

코시-슈바르츠 불평등에 의해서 이제 합은 모든 정점 쌍과 그 공통 이웃의 수가 되었으며, 이는 모든 정점과 이웃 쌍의 수와 같습니다. 그래서.

${\displaystyle \operatorname {hom} (C_{4},G)\geq {\frac {1}{n^{2}}}\left(\sum _{x\in V(G)}\deg(x)^{2}\right)^{2}\geq {\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {1}{n}}\left(\sum _{x\in V(G)}\deg(x)\right)^{2}\right)^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {1}{n}}(n\cdot pn)^{2}\right)^{2}=p^{4}n^{4}}$

코시-슈바르츠에 의해 다시. 그래서.

${\displaystyle t(C_{4},G)={\frac {\operatorname {hom} (C_{4},G)}{n^{4}}}\geq p^{4}}$

뜻대로

스펙트럼 그래프 이론: 2k-사이클_2k C

${\displaystyle {C4\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 Cauchy-Schwarz 접근 방식은 우아하고 기본적이지만$$ 모든 짝수 사이클에 즉시 일반화되지는 않습니다. 그러나 모든 짝수 사이클이 시도렌코의 성질을 갖는다는 것을 증명하기 위해 스펙트럼 그래프 이론을 적용할 수 있습니다. 홀수 사이클은 이분형이 아니기 때문에 시도렌코의 추측에서는 설명되지 않습니다.

${\displaystyle \mathrm{닫힌}}$ 경로에 대한 관찰을 사용하면 ${\displaystyle {홈}_{}}$⁡${\displaystyle {}_{}C}$ 2k$,$ G) ${\displaystyle \operatorname {hom}(C_{$2k, G)}이$$A $2k {\displaystyle$A^{2k}}의 대각선 항목의 ${\displaystyle {합}^{}}$이 됩니다. 이 ${\displaystyle {값}^{}}$은 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ k$${\$displaystyle$ A$^{2k}$의 트레이스와 같으며$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 고유값의 ${\displaystyle 2}$ k ${\displaystyle 2k}$ 승수의$$ 합과 같습니다$.$ λ${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$≥ λ $2$≥ ⋯ ≥ λ $n$ {\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{n}가 A {\displaystyle A}의 고유값이라면, 최소-최대 정리는 다음을 의미합니다.

${\displaystyle \lambda_{1}\geq {\frac {\mathbf {1} ^{\intercal}A\mathbf {1} }{\mathbf {1} ^{\intercal}\mathbf {1}} ={\frac {1}{n}\sum _{x\in V(G)}\deg(x)=pn,}$

여기서 $1{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는$)$ $n개$의 {\$displaystyle$ n$}$개$$ 성분을 가진 벡터이며, 이들 $성분$은$$모두 1 {\$displaystyle$ 1$}$입니다$.$ 그러나 다음은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {hom} (C_{2k},G)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{2k}\geq \lambda _{1}^{2k}\geq p^{2k}n^{2k}}$

실제 대칭 행렬의 고유값이 실수이기 때문입니다. 그래서.

${\displaystyle t(C_{2k},G)={\frac {\operatorname {hom} (C_{2k},G)}{n^{2k}}}\geq p^{2k}}$

뜻대로

엔트로피: 길이 3의 경로

J.L. Xiang Li와 Balás Szegedy(2011)는 엔트로피를 이용하여 Sidorenko의 추측의 일부 사례를 증명하는 아이디어를 소개했습니다. Szegedy(2015)는 나중에 아이디어를 더 적용하여 훨씬 더 광범위한 종류의 이분 그래프가 Sidorenko의 속성을 가지고 있음을 증명했습니다.^[2] Szegedy의 증명은 결국 추상적이고 기술적인 것으로 끝났지만, 팀 고워스와 제이슨 롱은 $길이$가$$3인 경로 {\$displaystyle$ 3$}$와 같은 특정한 경우에 대해 논쟁을 더 단순한 것으로 줄였습니다$.$^[3] 본질적으로, 증명은 경로에서 정점을 선택하는 좋은 확률 분포를 선택하고 젠슨의 부등식을 적용합니다. 볼록성)을 통해 불평등을 추론할 수 있습니다.

부분결과

다음은 시도렌코의 성질을 갖는 것으로 나타난$$ 일부 이분 $그래프$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$의 목록입니다. $H {\displaystyle$ H$}$가 ${\displaystyle \mathrm{이분법}}$ $A$⊔ B ${\displaystyle$ A$\$sqcup B}를 갖도록 합니다.

• 경로는 1959년 멀홀랜드와 스미스가 보여준 것처럼 시도렌코의 성질을 가지고 있습니다(시도렌코가 추측을 공식화하기 전).^[4]
• 나무에는 시도렌코의 속성이 있어 길을 일반화합니다. 이것은 1991년 논문에서 시도렌코에 의해 보여졌습니다.^[5]
• 길이가 짝수인 사이클은 앞에서 보여준 시도렌코의 성질을 가지고 있습니다. 시도렌코는 1991년 논문에서도 이를 입증했습니다.
• 완전한 이분 그래프는 시도렌코의 성질을 가지고 있습니다. 이것은 시도렌코의 1991년 논문에서도 나타났습니다.
• ${\displaystyle \mathrm{최소}}${${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B\}}$ ${\displaystyle \le }$ 4 ${\displaystyle \min\{$ A,$$B$\}\leq 4}$인 이분 그래프는 시도렌코의 속성을 갖습니다$$. 이것은 시도렌코의 1991년 논문에서도 나타났습니다.
• 하이퍼큐브 그래프($Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 일반화$)$는 2008년 Hatami가 보여준 것처럼 Sidorenko의 속성을 가지고 있습니다.^[6]
  • 더 일반적으로 (하타미에 의해 소개된) 정규 그래프는 시도렌코의 속성을 갖습니다.
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$에 B ${\displaystyle$ B$}$의 모든 정점과 이웃하는$$ 정점이 있는 경우($$또는 그 반대의 경우) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$는 2010년 Conlon, Fox 및 Sudakov에 의해 표시된 시도렌코의 속성을 갖습니다$$.^[7] 이 증명은 종속 랜덤 선택 방법을 사용했습니다.
• $모든{\displaystyle }$ 이분 그래프 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H$$}$에 대해$$B {\$displaystyle$ B}의 p ${\$$displaystyle p}$ - blow-up이$$ $Sidorenko의 속성$을 갖는 양의 정수 p {\displaystyle p$}$가 있습니다. Here, the ${\displaystyle p}$-blow-up of ${\displaystyle H}$ is formed by replacing each vertex in ${\displaystyle B}$ with ${\displaystyle p}$ copies of itself, each connected with its original neighbors in ${\displaystyle A}$. This was shown by Conlon and Lee in 2018.^[8]
• 일부 재귀적 접근법이 시도되었는데, 이는 Sidorenko의 속성을 가진 그래프를 수집하여 Sidorenko의 속성을 가진 새로운 그래프를 생성하는 것입니다. 이러한 방식의 주요 진전은 시도렌코가 1991년 논문에서, 2011년에는 리 교수와 세제디 교수,^[9] 그리고 2013년에는 김 교수, 리 교수, 리 교수가 이루어냈습니다.^[10]
  • Li와 Szegedy의 논문은 또한 "반사 나무"라고 불리는 그래프의 종류에 대한 특성을 증명하기 위해 엔트로피 방법을 사용했습니다.
  • Kim, Lee 그리고 Lee의 논문은 이 아이디어를 "나무 배열 그래프"라고 불리는 나무와 같은 하부 구조를 가진 그래프 클래스로 확장했습니다.

그러나 Sidorenko의 추측이 여전히 열려 있는 그래프가 있습니다. "$뫼비우스$ 스트립" 그래프 $K$ ${\displaystyle {5,}_{}}$ ${\displaystyle 5_{}}$$$∖ C $10$ {\$displaystyle$K_{5,$5}\setminus$C_{10}}가 그 예이며$,$ 크기가 5 {\$displaystyle$ 5$\}$인 완전한 이분 그래프에서 10 {\$displaystyle$ 10$}$ 사이클을$$하여 형성됩니다.

László Lovász는 Sidorenko의 추측의 로컬 버전을 증명했습니다. 즉, 컷 규범의 의미에서 무작위 그래프에 "가까운" 그래프에 대한 것입니다.^[11]

강제추측

${\displaystyle {그래프}_{}^{}}${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ n = $1$∞ {\$displaystyle$ \{G_{n}\}_{n=1}^{\infty}}의 시퀀스를 모든 그래프 H {\displaystyle H}에 대해 밀도 p {\displaystyle p}인 준random라고 합니다.

${\displaystyle t(H,G_{n})=(1+o(1))p^{ E(H) }.}$

따라서 그래프 시퀀스는 Erd ős–Rényi $랜덤{\displaystyle \mathrm{그래프}}$ ${\displaystyle G(}$n$,$ p) ${\displaystyle$G(n, p)}의 속성을 갖습니다.

에지 밀도 $t{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t(K_{2},G_{n})}$가${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle o}$(${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (1+o(1))p}$에 고정되어 있는$$경우 조건은 그래프 시퀀스가 모든 $그래프{\displaystyle }$ H$${\$display H}$에 대해 Sidorenko 속성의 동일한 경우 근처에 있음을 의미합니다$.$

준 random 그래프에 대한 Chung, Graham 및 Wilson의 1989년 논문에서 ${\displaystyle C_{}}$4 {\$displaystyle C_{$4}} 카운트는 랜덤 그래프에서 예상되는 것과 일치합니다(즉, 조건은 H = C$$ {\$displaystyle$H = C_${$4}}에 대해 $유지$됨). 이 논문은 $또한{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {C4\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 이외에 어떤 그래프 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$가 이러한 속성을 갖는지 묻습니다$.$ 이러한 그래프의 카운트가 그래프 시퀀스의 준 무작위성을 제어하기 때문에 이러한 그래프를 강제 그래프라고 합니다.

강제 추론은 다음과 같습니다.

그래프 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$는 트리가 아닌 이분형인 경우에만 강제로 적용됩니다.

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$가 강제적이라면 트리가 아니라 이분법적임을 쉽게 알 수 있습니다. 그래프를 강제하는 예로는 짝수 사이클(정, 그레이엄 및 윌슨)이 있습니다. 스코칸과 토마는 나무가 아닌 완전한 이분 그래프가 모두 강제적이라는 것을 보여주었습니다.^[13]

밀도 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 그래프에 대한 Sidorenko의 추측은 강제 추측에서 따릅니다$$. 또한 강제 추론은 Sidorenko의 속성에서 동등성에 가까운 그래프가 준난수 조건을 만족해야 한다는 것을 보여줄 것입니다.^[14]

참고 항목

• 공통 그래프

참고문헌