분리형

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수학에서 분리형(separoid)은 포함에 의해 유도된 표준적 순서에서 이상으로서 안정된 분리형(disjoint set) 사이의 이항 관계다.상당히 다른 것으로 보이는 많은 수학적 물체는 분리형 구조에서 공통 일반화를 발견한다. 예를 들어 그래프, 볼록형 집합의 구성, 지향성 매트로이드, 폴리토페스.모든 계산 가능한 범주는 균질화^[1](viz, 소위 최소 라돈 파티션을 보존하는 매핑)가 부여될 때 분리가 유도된 하위 범주다.

이 일반적인 틀에서, 다른 범주의 일부 결과와 불변성은 같은 측면의 특별한 경우로 판명된다. 예를 들어, 그래프 이론의 의사역학적 숫자와 결합 대류에서 나온 트베르그 정리는 동일한 측면의 두 면, 즉 분리형 색채의 완전한 색채화일 뿐이다.

공리

$분리형$이란^[2] $전원{\displaystyle }$ 세트에 이진$$ 관계 ${\displaystyle \text{∣}}$ ${\displaystyle s^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$S × ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle S^{}}$\$displaystyle \mid \subseteq$ 2$^{S}\time$ 2$^{S}}}}$가 부여된$$ 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle A,B\subseteq S}$ $::$

$A\mid B\왼쪽 오른쪽 화살표 B\mid A,}$

$A\displaystyle A\mid B\Rightarrow A\cap B=\varnothy,}$

$B{\displaystyle A\mid B{\hbox{ 및 }A'\subset A\Rightarrow A'\mid B.}$

관련 쌍 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\mid B}$을 분리라고 하는데 우리는 흔히 A가 B와 분리되어 있다고 말한다.분리형을 재구성할 수 있는 최대 분리를 아는 것만으로도 충분하다.

매핑 ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi \colon S\to$ T$}$는 분리 전 이미지가 분리인 경우, 즉 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A,B\subseteq T}$의 분리형 형태론이다.

$\displaystyle A\mid B\Rightarrow \varphi ^{-1}(A)\mid \varphi ^{-1}(B)}$

예

분리형의 예는 수학의 거의 모든 분야에서 찾아볼 수 있다.^[3][4][5]여기 몇 개만 나열하면 돼.

1. 그래프 G=(V,E)를 보면, A와 B라고 하는 V의 두 (분열) 부분 집합이 한 개에서 다른 하나의 가장자리가 없을 때 분리된다고 하여, 즉, 그 정점에 분리형을 정의할 수 있다.

$A{\hbox{ 및 }b\colon ab\not \in E.}에 모든 a\in a\in a{\hbox} 및 }b\in \in \in \}$

2. 방향성^[5] 매트로이드 M = (E,T)이 주어지면, Topes T의 관점에서, 우리는 두 개의 서브셋이 Tope의 반대 기호에 포함되어 있으면 분리된다고 하여 E에 분리형을 정의할 수 있다.즉, 지향성 매트로이드의 상단은 분리형의 최대 분리다.이 예에는 물론 모든 지시 그래프가 포함된다.

3. 유클리드 공간에 있는 물체 집단을 볼 때, 우리는 두 개의 하위 집합이 분리되어 있다는 것, 즉 두 개의 하위 집합이 분리되어 있다는 것, 즉 그 반대편에 있는 물체들을 그대로 둔다는 것, 즉 두 개의 하위 집합이 분리되어 있다는 것을 말함으로써 그 안에 있는 분리체를 정의할 수 있다.

4. 위상학적 공간을 주어, 두 개의 분리형 오픈셋(각각 하나씩)이 들어 있는 두 개의 분리형 오픈세트가 존재한다면 두 개의 서브셋이 분리된다는 분리형 말을 정의할 수 있다.

기본 보조정리

모든 분리형은 일부 유클리드 공간에서 볼록한 집합과 하이퍼플레인에 의한 분리로 나타낼 수 있다.

참조

추가 읽기

• Strausz, Ricardo (1998). "Separoides". Situs, Serie B, No 5. Universidad Nacional Autónoma de México.
• Montellano-Ballesteros, Juan José; Por, Attila; Strausz, Ricardo (2006). "Tverberg-type theorems for separoids". Discrete and Computational Geometry. 35 (3): 513–523. doi:10.1007/s00454-005-1229-4.
• Bracho, Javier; Strausz, Ricardo (2006). "Two geometric representations of separoids". Periodica Mathematica Hungarica. 53 (1–2): 115–120. doi:10.1007/s10998-006-0025-0.
• Strausz, Ricardo (2008). "Erdös-Szekeres 'happy end'-type theorems for separoids". European Journal of Combinatorics. 29 (4): 1076–1085. doi:10.1016/j.ejc.2007.11.011.