중앙단순대수학

수학의 링 이론과 관련 영역에서 K 분야에 대한 중앙 단순 대수(CSA)는 유한차원 연관 K-알지브라 A로 단순하며, 그 중심은 정확히 K이다.예를 들어, 간단한 대수학은 그 중심에 대한 중심 단순 대수라는 점에 주목하라.

예를 들어, 복잡한 숫자 C는 그들 자신 위에 CSA를 형성하지만, 실제 숫자 R을 넘어서지는 않는다(C의 중심은 R뿐만 아니라 C의 모든 것이다).Quaternion H는 R에 대한 4차원 CSA를 형성하며, 사실 R에 대한 Brauer 그룹의 유일한 비경쟁적 요소(아래 참조)를 나타낸다.

동일한 필드 F에 걸쳐 A~M(n,S)과 B~M(m,T)의 중심 단순 알헤그라 2개가 주어졌을 때, A와 B는 분할이 S와 T가 이형성인 경우 유사(또는 Brauer 등가)라고 불린다.주어진 필드 F에 대한 중심 단순 알헤브라의 모든 등가 등급 집합은 이 등가성 관계에 따라 알헤브라의 텐서 곱에 의해 주어지는 그룹 연산을 장착할 수 있다.결과 그룹은 필드 F의 브라워 그룹 Br(F)로 불린다.^[1]그것은 항상 비틀림 그룹이다.^[2]

특성.

• 아르틴-에 따르면웨더번 정리 유한차원 단순 대수 A는 일부 디비전 링 S에 대해 행렬 대수 M(n,S)과 이형성이다.따라서, 각 브루어 등가 등급에는 고유한 분할 대수학이 있다.^[3]
• 중앙 단순 대수학의 모든 자동형은 내적 자동화(Skolem-Noeter 정리로부터 따옴)이다.
• 중심 위의 벡터 공간으로서 중심 단순 대수학의 치수는 항상 사각형이다: 정도는 이 차원의 제곱근이다.^[4]중앙 단순대수의 슈르 지수는 등가분할대수의 정도로서,^[5] 대수의 브루어 등급에만 의존한다.^[6]
• 중앙 단순 대수학의 시대나 지수는 브라워 집단의 요소로서 그 브라워 계급의 순서다.그것은 지수의 점수로,^[7] 두 숫자는 동일한 주요 요인으로 구성된다.^[8][9][10]
• 만약 S가 중심 단순 대수 A의 단순한 하위 대수라면, dim_F S는 dim_F A를 나눈다.
• 모든 4차원 중앙 단순대수는 quaternion 대수와는 이형이다. 사실 2x2 행렬 대수 또는 분할 대수다.
• D가 K에 대한 중심분할 대수인 경우, 지수의 초기 인자화

${\displaystyle \mathrm {ind}(D)=\prod _{i=1}^{r_{i}^{m_{i}\}}}$

D는 텐서성분해효소가 있다.

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

여기서 각 성분 D는_i 지수 p ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$ ${\$의 중심분할 대수이며, 성분들은 이소모르피즘까지 고유하게 결정된다.^[11]

분할장

우리는 AeE가 E 위에 있는 매트릭스 링에 대해 이형인 경우 E 필드를 A에 대한 K에 대한 분할 영역이라고 부른다.모든 유한 치수 CSA에는 분할장이 있다. 실제로, A가 분할 대수일 경우, A의 최대 하위장은 분할장이 된다.일반적으로 Wedderburn과 Koete의 이론에 의해 A의 지수와 같은 K의 분리 가능한 확장인 분할장이 있으며, 이 분할장은 A의 하위 영역과 이형이다.^[12][13]예를 들어, 필드 C는 quaternion 대수 H를 R에 대해 분할한다.

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}\좌우타로우 \left\ft\mathbf{array}{*}c}t+xi&y+zi\-t-xi\end{array}\rig}\오른쪽).}$

우리는 분할 영역의 존재를 이용하여 CSA A에 대한 축소된 표준과 축소된 추적을 정의할 수 있다.^[14] 분할 영역 위의 매트릭스 링에 대한 지도 A의 축소된 표준과 추적을 정의하고, 각각 결정 요소와 추적을 사용하여 이 맵의 합성인 축소된 표준과 추적을 정의할 수 있다.예를 들어, quaternion 대수 H에서 위의 분할은 원소 t + x i + y j + z + k가 표준 t² + x + y²² + z를² 감소시키고 트레이스 2t을 감소시켰음을 보여준다.

감소된 규범은 승법적이고 감소된 추적은 첨가물이다.A의 원소 A는 0이 아닌 경우만 변환할 수 있다. 따라서 CSA는 0이 아닌 원소에서 감소된 표준이 0이 아닌 경우에만 분할 대수다.^[15]

일반화

필드 K에 대한 CSA는 K보다 확장된 필드와 비확장적인 유사점이다. 두 경우 모두, CSA는 비확장적일 수 있고 (분할 대수학이 필요하지 않음) 인버를 가질 필요가 없지만, 두 경우 모두 비경쟁적인 양면 이상을 가지고 있지 않으며, 중심에 구별되는 필드를 가지고 있다.이것은 숫자 필드(합리성 Q의 확장자)의 일반화로서 비확정수 이론에 특히 관심이 있다. 비확정수 필드를 참조한다.

참고 항목

• 아즈마야 대수학, 베이스 필드가 정류 로컬 링으로 대체되는 CSA의 일반화
• 세베리-브라워 품종
• 포스너의 정리

참조

• Cohn, P.M. (2003). Further Algebra and Applications (2nd ed.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001.
• Jacobson, Nathan (1996). Finite-dimensional division algebras over fields. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.

추가 읽기

• Albert, A.A. (1939). Structure of Algebras. Colloquium Publications. Vol. 24 (7th revised reprint ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.