반응 모델링 방법론

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반응 모델링 방법론(RMM)은 반응 변수(의존 변수)와 선형 예측 변수(예측 변수/효과/요인/독립 변수의 선형 조합) 사이의 선형/비선형 관계를 통계적으로 모델링하기 위한 일반적인 플랫폼으로, 종종 선형 예측 변수 함수를 가리켰다.모델링된 관계는 일반적으로 모노톤 볼록스(모노톤 볼록함수 전달) 또는 모노톤 오목함수(모노톤 오목함수 전달)로 가정한다.그러나 2차 방정식과 같은 많은 비모노톤 함수는 일반 모델의 특수한 경우다.null

RMM was initially developed as a series of extensions to the original inverse Box–Cox transformation:${\displaystyle y={{(1+\lambda z)}^{1/\lambda }},}$ where y is a percentile of the modeled response, Y (the modeled random variable), z is the respective percentile of a normal variate and λ is the Box–Cox parameter. λ이 0이 되면, 역 Box-Cox $변환$은${\displaystyle }$y = e ${\displaystyle z^{}}$,$${\$displaystyle$y=$e^{z}$ 지수 모델이 된다.따라서 원래의 역행 Box-Cox 변환에는 선형(λλ = 1), 검정력(λλ 1, λ 0), 지수(λλ = 0)의 3중 모형이 포함되어 있다.이는 λ의 추정에 있어서, 표본 데이터를 이용하여 최종 모형이 사전에 (추정에 앞서) 결정되는 것이 아니라 추정에 따른 결과라는 것을 의미한다.즉, 데이터만으로도 최종 모델이 결정된다는 것이다.null

역 Box-Cox 변환에 대한 확장은 Shore(2001a^[1])에 의해 개발되었으며 역 정규화 변환(INT)으로 표시되었다.그것들은 다양한 공학 분야의 모델 단오톤 볼록 관계에 적용되었고, 주로 화학 화합물의 물리적 특성을 모델링하는 데 적용되었다(Seore 등, 2001a ^[1]및 그 안에서 참조).일단 INT 모델이 비선형 모노톤 볼록 관계를 모델링하기 위한 훨씬 더 광범위한 일반 접근법의 특별한 사례로 인식될 수 있다는 것이 실현되자, 새로운 대응 모델링 방법론이 시작되었고 개발되었다(Seore, 2005a,^[2] 2011^[3] 및 그 참조).null

RMM 모델은 Y(모델화된 랜덤 변수) 반응과 Y에 변동을 전달하는 두 성분 사이의 관계를 표현한다.

• The linear predictor function, LP (denoted η):${\displaystyle \eta =\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{k}X_{k},}$ where {X₁,...,X_k} are regressor-variables (“affecting factors”) that deliver systematic variation to the response;
• 반응에 랜덤 변동을 전달하는 정규 오차.

기본 RMM 모델은 LP의 관점에서 Y를 설명하고 있으며, 두 개의 상관 관계가 있는 0-평균 정규 오차인₁ respectively과 ρ(각각 상관 관계 σ과_ε1 표준 편차 σ과 σ_2ε2 포함) 및 파라미터의 벡터 {α, λ, μ}을 설명한다(쇼어, 2005a,^[2] 2011^[3]).null

${\displaystyle W=\log(Y)=\mu +\\좌({\frac {\alpha }{\lambda }}}}}}[(\eta +\varepsilon _{1}}^{\lambda }-1]+\varepsilon _{2}}}$

및 ε은₁ 설명 변수(LP에 포함)에서 불확실성(측정 부정확 또는 기타)을 나타낸다.이는 반응(response₂)과 관련된 불확실성에 추가된다.상관계 ρ을 갖는 표준 정상변수 Z와₁ Z의₂ 관점에서 각각 ε과₁ ε을₂ 표현하고 Z₂ Z = z1을 조건화₁(Z가₂₁₁ 주어진 값 z)하면 다음과 같은 하나의 오류로 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&=\sigma _{\varepsilon _{1}}Z_{1}\,\,;\,\,\varepsilon _{2}=\sigma _{\varepsilon _{2}}Z_{2};\\[4pt]\varepsilon _{2}&=\sigma _{\varepsilon _{2}}\rho z_{1}+(1-\rho ^{2})^{(1/2)}\sigma _{\varepsilon _{2}}Z=dz_{1}+\varepsilon ,\\\end{aligned}}}$

여기서 Z는 표준 정상변수로 Z와₁ Z₂ 둘 다와 무관하며, ε은 0평균 오차, d는 매개변수다.이러한 관계에서 관련 RMM 퀀텀마일 함수는 다음과 같다(Seore, 2011^[3]).null

${\displaystyle w=\log(y)=\mu +\left({\frac {\frac}{\pa }}}\pa }\오른쪽)[(\(\eta +cz){\\boda }-1]+(d)z+\varepsilon ,}$

또는 재조정 후:

${\displaystyle w=\log(y)=\log(M_{Y})+\왼쪽({\frac {a\eta ^{b}\{b}\오른쪽)\왼쪽({\frac {c}{\eta }}}z\right]^{b-1\d)+\vareps}$

여기서 y는 반응(Y)의 백분위수, z는 각 표준 정규 백분위수, ε은 분산이 일정한 모델의 0-평균 정규 오차, σ, {a,b,c,d}은 매개변수 값과_Y LP 값에 따라 반응 중위수(z = 0)가 된다.

${\displaystyle \log(M_{Y}=\mu +\왼쪽({\frac {a}{b}\오른쪽)[\eta ^{b}-1]=\log(m)+\leftfrac\frac {a}{b}\오른쪽)[\eta ^{b}-1,}$

여기서 μ(또는 m)는 추가 파라미터다.null

cz<<η>라고 가정할 수 있는 경우, RMM quantile 함수에 대한 위의 모델은 다음과 같이 근사치를 구할 수 있다.

${\displaystyle w=\log(y)=\log(M_{Y})+\좌측({\frac {a\eta ^{b}}\{b}\우측)\exp \좌측({\frac {bcz}{\eta}-1\우측)+(d)+\varepsilon.}$

"c"와 LP는 두 개의 별도 단계(아래 설명과 같이)로 추정되기 때문에 파라미터 "c"를 LP( ()의 파라미터로 "흡수"할 수 없다.null

모형을 추정하는 데 사용되는 반응 데이터에 기호가 변경되는 값이 포함되어 있거나 가장 낮은 반응 값이 0(예를 들어 데이터가 좌경화된 경우)이 아닌 경우, 위치 모수 L을 반응에 추가하여 계량함수와 중위수에 대한 식이 각각 다음과 같이 될 수 있다.

${\displaystyle w=\log(y-L)=\log(M_{Y}-L)+\left({\frac {a\eta ^{b}}{b}}\right)\left\{\left[1+\left({\frac {c}{\eta }}\right)z\right]^{b}-1\right\}+(d)z+\varepsilon \,;}$

${\displaystyle \log(M_{Y}-L)=\mu +\왼쪽({\frac {a}{b}}\오른쪽)[\eta ^{b}-1].}$

연속단조대류

앞에서 보듯이, 역 Box-Cox 변환은 모형의 최종 형태(선형, 검정력, 지수)를 결정하는 단일 모수인 on에 의존한다.따라서 이 세 가지 모델은 모두 λ에 의해 확장된 단조 대류도의 연속 스펙트럼상의 점만을 구성한다.모델 매개변수에 의해 확장되는, 서로 다른 알려진 모델이 연속 스펙트럼의 단순한 지점이 되는 이 특성은 연속 단조 대류성(CMC) 특성을 나타낸다.후자는 모든 RMM 모델의 특성을 나타내며, 기본 "선형-전력-엑스포넨셜" 사이클(역 Box-Cox 변환에 따라)을 ad infinitum을 반복하여 더 많은 볼록한 모델을 도출할 수 있다.그러한 모델의 예는 지수 전력 모델 또는 지수 전력 모델이다(자세한 내용은 명시적 모델 참조).모델의 최종 형태는 RMM 매개변수 값에 의해 결정되므로, 이는 모수를 추정하는 데 사용되는 데이터가 (Box-Cox 역변환과 마찬가지로) 추정 RMM 모델의 최종 형태를 결정한다는 것을 의미한다.따라서 CMC 속성은 매개변수를 추정하는 데 사용되는 데이터를 수용하는데 있어 RMM 모델에 높은 유연성을 부여한다.아래에 제시된 참조는 RMM 모델과 기존 모델 간의 비교 결과를 보여준다.이러한 비교는 CMC 속성의 효과를 입증한다.null

RMM 모델의 예

RMM 오류(백분위수 모델에서 cz, dz 및 e 항을 무시함)를 무시하고, 우리는 다음과 같은 RMM 모델을 얻으며, 단조로운 볼록도의 증가 순서로 제시된다.

${\displaystyle {\displaystyle}&{\text{lineer:}}}y=\eta &&(\cHB =1,\cHBDA =0);\\[5pt]&{\text{power: }}}y=\eta ^{\reta }&(\reason \neq 1,\reasedda =0);\\[5pt]&{\text{next-lineer:}}}y=k\exp(\eta ),&(\cHB \neq 1,\cHBDA =1);\\[5pt]&{\text{neq-power:}}}y=k\exp(\eta ^{\\eta }),&(\cHB \neq 1,\neq \k{\text는 음이 아닌 매개 변수}).\end{정렬}}}$

η(는 백분위 수 모델에)를에 의해:exp⁡[(β κ)(η κ − 1컵]{\displaystyle \exp \left[\left({\frac{\beta}{\kappa}}\right)(\eta ^{\kappa}-1)\right]},“linear-power-exponential”의 새로운 사이클이 더 강한 단조로운 볼록성(쇼어, 2005a,[2]2011,[3]과 모델을 생산하를 2개의 새로운 매개 변수를 더하여 결정한다.2012[4]):

${\displaystyle {\regated}&{\text{data-power: }}y=k\exp(\eta ^{\eta }),&(\i1\neq,\neq 1,\capa =0,\&#&#{text{data.}).\\[6pt]&#{\text-lineer: }y=k_{1}\exp[k_{2}\exp(\eta )],&(\cHB \neq 1,\necda \neq 1,\cappa =1);\\[6pt]&{\text{nector-power: }}y=k_{1}\exp[k_{2}\exp(\eta ^{\appa }})],&(\i1\necda \neq 1,\necda \neq =1,\cappa \neq 1).\end{정렬}}}$

「단조 볼록함수의 사다리」(쇼어, 2011^[3])에 계층적 순서로 나타나면서 제시되는 이 일련의 단조 볼록 모델은 위에서부터 무제한임을 실감한다.단, 모든 모델은 RMM 파라미터에 의해 확장되는 연속 스펙트럼 상의 포인트에 불과하다.또한 곰퍼츠 기능과 같은 수많은 성장 모델이 RMM 모델의 정확한 특수 사례라는 점에 유의하십시오.null

순간

Y의 k번째 비중심 모멘트는 다음과 같다(L = 0; Shore, 2005a,^[2] 2011^[3]).null

${\displaystyle \operatorname {E}(Y^{k})=(M_{Y})^{k}\opername {E}\left\{\exp \left\{\frac {k\alpha }{\lambda }}}\right)[(\eta +cZ)^{\putda }-1]+(kd)Z\right\}\right\}}$

우측에 주어진 Y를^k Z(표준 정상변수)의 힘 측면에서 0을 전후한 테일러 시리즈로 확장한 다음, 양쪽 모두에 대해 기대하여 확장 시 처음 6개 항을 기준으로 k번째 비중심 모멘트에 대한 대략적인 단순 표현인 , + cZ η η을 가정하면 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)^{k}\cong (M_{Y})^{k}e^{\alpha k\left(\eta ^{\lambda }-1\right)/\lambda }\left\{1+{\frac {1}{2}}(kd)^{2}+{\frac {1}{8}}(kd)^{4}\right\}.}$

cZ ≪ η을 가정하지 않고 유사한 표현을 도출할 수 있다.이렇게 되면 더 정확한 표현(얼마나 길고 거추장스러운 표현)이 나올 것이다.위의 식에서 cZ를 무시하면 Y는 로그 정규 랜덤 변수가 된다(η에 의존하는 파라미터가 있음).null

피팅 및 추정

RMM 모델은 무작위 변동을 모델링(분포 피팅을 위한 일반 플랫폼으로)하거나 체계적 변동을 모델링(일반화된 선형 모델, GLM과 유사하게)하는 데 사용될 수 있다.

전자의 경우(계통적 변동, 즉 η = 상수) RMM Quantile 함수는 알려진 분포에 적합된다.기초 분포를 알 수 없는 경우, 사용 가능한 샘플 데이터를 사용하여 RMM quantile 함수를 추정한다.RMM을 사용한 무작위 변동의 모델링은 Shore(2011년^[3] 및 그에 따른 참조)에서 다루어지고 입증된다.null

후자의 경우(계통적 변동 모델)에서 선형 예측 변수의 변동(역류 변수의 변동을 통해 생성됨)이 모델링된 반응 변수(Y)의 전체적인 변동에 기여한다고 가정하여 RMM 모델을 추정한다.이 사례는 Shore(2005a,^[2] 2012^[4] 및 관련 참고자료)에서 다루어지고 입증된다.평가는 두 단계로 진행된다.첫째, 중위수는 (표본 데이터 점에서 적합된 모형의) 절대 편차의 합을 최소화하여 추정한다.두 번째 단계에서는 나머지 두 개의 파라미터(즉, 첫 번째 단계에서 추정되지 않음, {c,d})를 추정한다.쇼어(2012년^[4])에는 최대우도, 모멘트 일치 및 비선형 정량 회귀 분석의 세 가지 추정 접근법이 제시되어 있다.null

문학평론

2021년 현재 RMM 문헌은 다음 세 가지 영역을 다루고 있다.

(1) INTs 및 이후 RMM 접근법 개발, 제휴 추정 방법

(2) RMM의 특성을 탐구하고 RMM의 효과를 다른 전류 모델링 접근방식과 비교(분포 피팅 또는 체계적 변동을 모델링하기 위한)

(3) 신청.null

쇼어(2003a^[5])는 21세기 첫 해에 역 정규화 변환(INT)을 개발하여 통계 공정 관리(쇼어, 2000a,^[1] b,^[6] 2001a,^[7] b,^[8] 2002a^[9]) 및 화학 공학(쇼어, 2002년^[10])과 같은 다양한 공학 분야에 적용하였다.이에 따라 운행되는 새로운 대응 모델링 방법론(RMM)과 단조 볼록 관계(궁극적으로 책에, 쇼어 2005a[2]제시되)모델링에 대한 본격적인 플랫폼으로 발전하고 떠오르고, RMM 속성(쇼어, 2002b,[11]2004a,[12]b,[13]2008a,[14]2011[3])를 발굴하였다, 평가 절차(쇼어, 2005a, 발달되어 있다.[2]b,[15]2012[4]1개 새로운.랜덤 변동 모델링(쇼어 2005c,^[16] 2007,^[17] 2010;^[18] 쇼어 및 A'wad 2010^[19]) 및 체계적 변동 모델링(쇼어, 2008b^[20])에 대한 다른 접근방식과 비교한 모델링 방법론.null

동시에, RMM은 다양한 과학 및 엔지니어링 분야에 적용되었고, 현재 모델 및 모델링 접근방식과 비교되었다.예를 들어, 화학 공학(쇼어, 2003b,[21]Benson-Karhi(알., 2007년;[22]Shacham(알., 2008년;[23]쇼어와 Benson-Karhi, 2010[24]), 통계적 프로세스 관리(쇼어, 2014년;[25]쇼어(알., 2014년;[26]Danoch과 쇼어 2016[27]), 신뢰성 공학(쇼어, 2004c,[28]Ladany과 쇼어 2007[29]), 예측(쇼어와 Benson-Karh.나는, 2007[30]), 생태학(쇼어, 2014[25]),.d 의료 전문직 (쇼어 외, 2014;^[26] 벤슨-카리 외, 2017^[31]).null

참조