평균 절대 차이

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평균 절대 차이(단변수)는 확률 분포에서 도출된 두 독립 값의 평균 절대 차이와 동일한 통계 분산의 측도입니다.관련 통계량은 상대 평균 절대 차이, 즉 평균을 산술 평균으로 나눈 절대 차이며 지니 계수의 두 배에 해당합니다.평균 절대 차이는 절대 평균 차이(평균 부호 차이의 절대 값과 혼동하지 않음)와 지니 평균 차이(GMD)^[1]로도 알려져 있다.평균 절대차는 δ 또는 MD로 나타나기도 합니다.

정의.

평균 절대 차이는 두 랜덤 변수 X와 Y의 절대 차이에 대한 "평균" 또는 "평균"으로 정의되며, 이는 공식적으로 예상된 값이며 이후 Q라고 불리는 동일한(알 수 없는) 분포로 동일하게 분포됩니다.

$\displaystyle \mathrm {MD} : =E [ X - Y ]}$

계산

특히, 개별적인 경우엔

• Q에 따라 균일하게 분포된 모집단 크기 n의 랜덤 표본에 대해 총 기대의_i 법칙에 따라 샘플 값 y의 (평균) 평균 절대차이, i = 1 ~ n은 가능한 모든 차이의 절대값의 산술 평균으로 계산될 수 있다.

$\displaystyle \mathrm {MD} = E [ X - Y ] = E _ { X } [ X - Y ] = sum frac {1} {n^{n} \ sum _ { j = 1 }^{n} x _ i - n } . j }$

• Q에 이산 확률 함수 f(y)가 있는 경우, 여기서_i y(i = 1 ~ n)는 확률이 0이 아닌 값입니다.

$\displaystyle \mathrm {MD} =\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})f(y_{j})y_{i}-y_{j}.}$

연속적인 경우,

• Q에 확률 밀도 함수 f(x)가 있는 경우:

$\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{-\infty}^{\infty}{\infty}f(x),f(y),x-y,dy.}$

방정식의 다른 형태는 다음과 같다.

$\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }2,f(x),f(x+\display),\displays, d\displays}$

• Q가 분위수 함수 Q(F)를 갖는 누적 분포 함수 F(x)를 갖는 경우, f(x)=dF(x)/dx 및 Q(F(x)=x이므로 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}-Q(F_{2}), dF_{1}, dF_{2}.}$

상대 평균 절대 차이

확률 분포가 유한하고 0이 아닌 산술 평균 AM을 갖는 경우, 상대 평균 절대 차이는 때때로 δ 또는 RMD로 나타나며, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {RMD} = frac {mathrm {MD} {\mathrm {AM} } }$

상대 평균 절대 차이는 평균의 크기와 비교하여 평균 절대 차이를 수량화하고 무차원 수량입니다.상대 평균 절대 차이는 로렌츠 곡선으로 정의된 지니 계수의 두 배와 같습니다.이 관계는 상대 평균 절대 차이와 지니 계수에 대한 보완적 관점을 제공하며, 여기에는 값을 계산하는 대체 방법이 포함된다.

특성.

평균 절대 차이는 변환과 부정에 따라 변하지 않으며 양의 스케일링에 비례하여 변화합니다.즉, X가 랜덤 변수이고 c가 상수인 경우:

• MD(X + c) = MD(X),
• MD(-X) = MD(X) 및
• MD(c X) = c MD(X).

상대 평균 절대 차이는 양의 스케일링에 불변하고 부정과 일치하며 원래 산술 평균과 변환된 산술 평균의 비율에 비례하여 변환 중에 변화합니다.즉, X가 랜덤 변수이고 c가 상수인 경우:

• RMD(X + c) = RMD(X) · 평균(X)/(평균(X) + c) = C µ - mean(X)에 대한 RMD(X) / (1 + c / 평균(X)),
• RMD(-X) = -RMD(X) 및
• RMD(c X) = C > 0의 RMD(X).

랜덤 변수에 양의 평균이 있으면 상대 평균 절대 차이는 항상 0보다 크거나 같습니다.또한 랜덤 변수가 0보다 크거나 같은 값만 취할 수 있는 경우 상대 평균 절대 차이는 2보다 작습니다.

표준편차와 비교

평균 절대 차이는 L 척도(두 번째 L-모멘트)의 두 배이고 표준 편차는 평균에 대한 분산의 제곱근(두 번째 재래식 중심 모멘트)입니다.L-모멘트와 재래식 모멘트의 차이는 평균 절대 차이와 표준 편차를 비교할 때 먼저 나타난다(첫 번째 L-모멘트와 첫 번째 재래식 모멘트는 모두 평균이다).

표준 편차와 평균 절대 차이 측정 분산은 모두 모집단의 값 또는 분포의 확률입니다.평균 절대 차이는 중심 경향에 대한 특정 측정의 관점에서 정의되지 않는 반면, 표준 편차는 산술 평균으로부터의 편차로 정의됩니다.표준 편차는 차이를 제곱하기 때문에 평균 절대 차이에 비해 큰 차이에 더 많은 가중치를 부여하고 작은 차이에 더 적은 가중치를 부여하는 경향이 있습니다.산술 평균이 유한하면 표준 편차가 무한하더라도 평균 절대 차이도 유한합니다.구체적인 비교 예에 대해서는, 예를 참조해 주세요.

최근에 도입된 거리 표준 편차는 평균 절대 차이와 유사한 역할을 하지만 거리 표준 편차는 중심 거리에 대해 작동합니다.전자 통계도 참조하십시오.

표본 추정기

랜덤 변수 X에서 n개의 값 y로 구성된 랜덤_i 표본 S의 경우 통계량

${\displaystyle \mathrm {MD} (S) = frac {sum _ {i=1}^{n} \ sum _ {j=1} y _ {i} - y _ {j} } {n ( n - 1 ) } } }$

는 MD(X)의 일관성 있는 편견 없는 추정치입니다.통계 정보:

${\displaystyle \mathrm {RMD} (S) = sum frac {sum _ {i=1}^{n} \sum _ {i} - y_{j} } {(n-1) \sum _ {i=1}^{n} y_{i}} }$

는 RMD(X)의 일관된 추정치이지만 일반적으로 치우치지 않습니다.

RMD(X)의 신뢰 구간은 부트스트랩 샘플링 기술을 사용하여 계산할 수 있습니다.

일반적으로 RMD(X)에 대한 편향되지 않은 추정기는 존재하지 않는데, 이는 부분적으로 평균의 역수를 곱하기 위한 편향되지 않은 추정치를 찾기 어렵기 때문이다.예를 들어, 알 수 없는 p에 대해 샘플이 랜덤 변수 X(p)에서 추출된 것으로 알려진 경우에도 X(p) - 1은 베르누이 분포를 가지므로 Pr(X(p) = 1) = 1 - p 및 Pr(X) = 2) = p이다.

RMD(X(p)) = 2p(1 - p)/(1 + p).

그러나 RMD(X(p))의 추정기 R(S)의 예상값은 ^{[citation needed]}다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {E}(R(S))=\sum _{i=0}^{n}p^{i}(1-p)^{n-i}r_{i}$

여기서 r은 상수입니다.따라서 E(R(S)는 0과 1 사이의 모든 p에 대해 RMD(X(p))와 같을 수 없습니다.

예

평균 절대 차이 및 상대 평균 절대 차이의 예제

분배	파라미터	의미하다	표준편차	평균 절대 차이	상대 평균 절대 차이
연속 유니폼	${\displaystyle a=0;b=1}$	${\displaystyle 1/2=0.5}$	$(\displaystyle {1}{\displayrt {12}}\약 0.2887)$	$(\displaystyle\frac{1}{3}}\약 0.3333)$	$(\displaystyle\frac{2}{3}}\약 0.6667)$
보통의	${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$\ $mu$=$0$} ; ${\displaystyle \mathrm{\sigma \sigma }}$ ${\displaystyle =}$ 1 { $displaystyle$\$display$=$1$}	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle\frac{2}{\displayrt\pi }}\약 1.1284)$	$(\displaystyle\frac{2}{\displayrt\pi }}\약 1.1284)$
지수	$\displaystyle \displayda = 1$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
파레토	> { $displaystyle$ k >$1$ ;${\displaystyle x_{}}$ m ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$ x$_$ { m } $= 1$	${\displaystyle\frac{k-1}}$	${\displaystyle {1} {k-1}, {\displayrt {\frac {k} {k-2}} {\text{ for }}k > 2 }$	${\displaystyle {2k}{(k-1)(2k-1)}},$	${\displaystyle\frac{2k-1}},$
감마	${\displaystyle }$$k{\displaystyle }$$\displaystyle$ k$;$} {$displaystyle \theta }$	${\displaystyle k\theta}$	${\displaystyle {k}},\theta}$	${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 2}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}_0}$.${\displaystyle 5_{}}$(${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle }$k + ${\displaystyle 1}$)$${ $displaystyle$k \$theta$( 2 - $4I$_ { $0$. $5 }$ ( k , k +$1$ ) ）$$ 。	${\displaystyle 4_{}}$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$0.5${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle k,k}$ +${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ $({displaystyle 4I_{0.5}(k,k+1)-2)$ $$†
감마	${\displaystyle k}$ ${\displaystyle =}$ $({디스플레이$ 스타일 $k=$1$\}),$ ${\displaystyle =}$ $({디스플레이$ 스타일 $\theta = 1$)	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
감마	${\displaystyle k}$ ${\displaystyle =}$ $({디스플레이$ 스타일 $k=$2$\}),$ ${\displaystyle =}$ $({디스플레이$ 스타일 $\theta = 1$)	${2\displaystyle}$	${\displaystyle{\sqrt{2}}\approx 1.4142}$	${3/2=1.5\displaystyle}$	${3/4=0.75\displaystyle}$
감마	K=3{\displaystyle k=3}, θ=1{\displaystyle \theta =1}.	${3\displaystyle}$	${\displaystyle{\sqrt{3}}\approx 1.7321}$	${15/8=1.875\displaystyle}$	${5/8=0.625\displaystyle}$
감마	K=4{\displaystyle k=4};θ=1{\displaystyle \theta =1}.	${4\displaystyle}$	${2\displaystyle}$	${35/16=2.1875\displaystyle}$	${\displaystyle 35/64=0.546875}$
베르누이	$(\displaystyle 0\leq p\leq 1)$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle {p(1-p)}}$	${\displaystyle 2p(1-p)}$	${\displaystyle 2(1-p){\text{ for }}p > 0}$
학생 T, 2 D.F.	$\displaystyle \nu =2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle\infty}$	$\ displaystyle \ frac \ pi } { \ frac rt { } \ 약 2.2214$	정의되어 있지 않다

∙${\displaystyle {}_{}\mathrm{Iz}}$ (${\displaystyle x}$,$$y ) { $display I_{z}(x$ ,$$y )는 정규화된 불완전 베타 함수입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 평균 절대 오차
• 평균 편차
• 추정기
• 변동 계수
• L-모멘트

레퍼런스

원천

• Xu, Kuan (January 2004). "How Has the Literature on Gini's Index Evolved in the Past 80 Years?" (PDF). Department of Economics, Dalhousie University. Retrieved 2006-06-01. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
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