리페이블 함수

수학에서, 파장 분석 영역에서, 리페이블 함수는 일종의 자기 유사성을 충족시키는 함수다.$다음$과 같은 경우$$ 마스크 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\varphi$ $}$ 함수를 refable이라고 한다$$.

${\displaystyle \varphi (x)=2\cdot \sum _{k=0}^{N-1h_{k}\cdot \varphi(2\cdot x-k)}$

이 상태를 정제 방정식, 팽창 방정식 또는 2척 방정식이라고 한다.

이산 마스크와 확장 연산자 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 있는 함수의 콘볼루션(별, *)을 사용하면 다음과 같이 보다$$ 간결하게 쓸 수 있다.

${\displaystyle \varphi =2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )}$

즉, 이산형 마스크로 기능을 경련시킨 다음 다시 스케일백하면 기능을 얻게 되는 것이다.반복된 함수 시스템과 de Rham 곡선과 유사성이 있다.

연산자 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$/ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle \varphi \mapsto 2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )}$는 선형이다$$.다시 사용할 수 있는 함수는 해당 연산자의 고유함수다.그것의 절대값은 고유하게 정의되어 있지 않다.즉, $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) refable 함수인$$ 경우, $모든{\displaystyle }$ c ${\$$displaystyle c$cd {\displaystyle c\$cdot \varphi }$ 함수도$$ refable된다$$.

이러한 기능은 스케일링 함수로서 웨이블렛 이론에서 근본적인 역할을 한다.

특성.

적분점에서의 값

다시 사용할 수 있는 함수는 암묵적으로만 정의된다.또한 동일한 마스크에 대해 다시 사용할 수 있는 몇 가지 기능이 있을 수 있다.$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 유한한 지지를 가져야 하고$$ 정수 인수의 함수 값을 원하는 경우, 두 척도 방정식은 동시 선형 방정식의 시스템이 된다.

${\displaystyle a}$을(를) 최소 인덱스로 $하고$ b ${\displaystyle b}$을(를) $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$의 0이 아닌 원소의 최대 인덱스로 설정한$$ 다음$,$ 1을 얻는다.

여기서$$ discretation 연산자를 사용하여 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$라고 하고$,$ T ${\displaystyle h_{}}$ ${\$라는 $이름$의 h ${\displaystyle h}$의 전송 매트릭스를 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다$.$

이것은 다시 고정점 방정식이다.그러나 이 문제는 이제 고유 벡터 고유값 문제로 간주될 수 있다.즉, T ${\displaystyle h_{}}$ ${\$가 고유값 1을 갖는$$ 경우, 정밀하게 지원되는 리페이블 함수는 (필수는 아니지만)만 존재한다.

다이디치 포인트의 값

적분 지점의 값으로부터 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 2\mathbb{}}$${\displaystyle {}^{}}$- j ${\$ k$\cdot$ 2$^{-j}$ 형식의 포인트$,$ 즉 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ Z ${\$ {$Z}$및$$ $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ {$N}}$을 사용하여 값을 도출할 수 있다$.$

${\displaystyle \varphi =D_{1/2}(2\cdot(h*\varphi )}$

${\displaystyle D_{2}\varphi =2\cdot(h*\varphi )}$

${\displaystyle Q(D_{2}\varphi )=Q(2\cdot(h*\varphi )=2\cdot(h*Q\varphi )}$

별은 함수를 가진 이산 필터의 경련을 나타낸다.이 단계를 통해 k ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ 형식의 지점에서 값을 계산할 수 있다$.$ 반복적으로 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$을(를) $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{2}\varphi }$로 교체하면$$ 보다 미세한 모든 척도에서 값을 얻을 수 있다.

콘볼루션

$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $h$$}$에 대해 {\displaystyle h}$$\$varphi$ $}$을(를) 다시 사용할 수 있고$$$$$,$ $g{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle g}$에 대해$$$displaystyle \varphi *\\$$psi$$}$을(를)을(를$)$ 다시 사용할 수 있는 경우, $h{\displaystyle }$∗ ${\displaystyle g}$ ${\displaystypisplaystystypaystystypatchsty)$를 다시$$ 사용할 수 있다$.$

차별화

$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$과($와$$)$ 관련하여$$【\displaystyle \$varphi }$을(를) 다시 사용할 수 있고, 파생 $모델{\displaystyle {}^{}}$ $【\$$displaystyle \varphi '}$이(가) 있다면$$, ${\displaystyle {】}^{}}$ ${\displaystystyle 2\cdot$ h$}$에 대해 다시 사용할 수 있다$$$.$ 이는 콘볼루션 속성의 특별한 사례로 해석할 수 있다.경련 피연산자 중 하나는 디락 충동(Dirac 임펄스)의 파생물이다.

통합

If ${\displaystyle \varphi }$ is refinable with respect to ${\displaystyle h}$, and there is an antiderivative ${\displaystyle \Phi }$ with ${\textstyle \Phi (t)=\int _{0}^{t}\varphi (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$, then the antiderivative ${\displaystyle t\mapsto$$\Phi (t)+c}$ is refinable with respect to mask ${\textstyle {\frac {1}{2}}\cdot h}$ where the constant ${\displaystyle c}$ must fulfill ${\textstyle c\cdot \left(1-\sum _{j}h_{j}\right)=\sum _{j}h_{j}\cdot \Phi (-j)}$.

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 지원을 제한했다면, 우리는 통합을 Hubiside 함수와 함께 convolution으로 해석하고 convolution 법칙을 적용할 수 있다.

스칼라 제품

두 개의 다시 사용할 수 있는 함수의 스칼라 제품과 그 번역물을 계산하는 것은 위의 두 가지 속성으로 나눌 수 있다.$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) 변환 연산자로$$ 두십시오.그것은 지탱하고 있다.

where ${\displaystyle \psi ^{*}}$ is the adjoint of ${\displaystyle \psi }$ with respect to convolution, i.e., ${\displaystyle \psi ^{*}}$ is the flipped and complex conjugated version of ${\displaystyle \psi }$, i.e., ${\displaystyle \psi ^{*}(t)={\overline {\psi ($$-t$

위의 속성 때문에 ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \ast }$ \ \ ${\displaystyle {\backslash }^{}}$ \$\$ {\$displaystyle$$\$varphi $*\$$psi ^{*}}}$에 대해서는 reflection이 가능하며$,$ 적분 $인수$에서의 값은 전송 매트릭스의 고유 벡터로 계산할 수 있다.이 아이디어는 세 가지 이상의 리피블 기능의 제품 통합으로 쉽게 일반화될 수 있다.^[1]

부드러움

다시 사용할 수 있는 함수는 보통 프랙탈 모양을 가지고 있다.연속적이거나 매끄러운 리페이블 기능의 설계는 명확하지 않다.강제적인 부드러움을 다루기 전에 리페이블 기능의 부드러움을 측정할 필요가 있다.Villemoes 기계를^[2] 사용하면 소볼레프 지수의 관점에서 리피커블 기능의 부드러움을 계산할 수 있다.

첫 번째 단계에서 정제 $마스크{\displaystyle }$ h ${\displaystyle h}$은(는) 필터 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$로 나뉘는데$$$,$ 이 필터 b (${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystyle$(1,$1)$ $$(이는 이항 마스크$)$와 휴식 $q{\displaystyle }${\$displaysty q$ 대략적으로 말하면 이항 $마스크{\displaystyle }$ b$${\$displaystystystystytyone$}은 매끄럼 b$}$을 만들고$$ 매끄럽게 한다.$[\displaystyle q}$는 다시 부드러움을 감소시키는 프랙탈 성분을 나타낸다$$.이제 소볼레프 지수는 $대략{\displaystyle {}_{}}$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle {q{}^{}}_{}}$ q$q$의 스펙트럼 반경의 b ${\$$displaystyle$ $b}$에서 로그($Logarithm$)를 뺀 순서가 된다$.$

일반화

refable 함수의 개념은 둘 ${\displaystyle {}^{}}$의 변수, 즉 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ d${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ {R$} ^{$d}\$to$\mathb {$R}}의$함수로 일반화할 수 있다$.$ 가장 간단한 일반화는 텐서 제품에 관한 것이다.${\displaystyle h}$ ${\displaystyle$ $h$$}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g$에 대해 { ${\$displaystyle $\varphi$ $\$$otimes g}$과(와) $관련$하여 ${\displaystyle \{}$$$${\displaystyle$ $\varphi \psi}$을$($와)을$$(를) 다시 사용할 수 있는 경우$$$.$

이 계획은 다른 차원 또는 심지어 차원 간 데이터 혼합과 관련하여 다른 스케일링 계수에 더 일반화될 수 있다.^[3]신호 2와 같은 스칼라 계수에 의한 스케일링 대신 좌표는 정수의 $행렬$ M ${\displaystyle M}$에 의해 변환된다.체계가 작동하도록 하려면 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모든 고유값의 절대값이 1보다 커야$$ 한다.( > 1{\$displaystyle$\왼쪽 $\det M\오른쪽$ >1$}$을(를$)$ 것으로 충분할 것이다.)

공식적으로 2-척도 방정식은 크게 변하지 않는다.

예

• 정의를 분포로 확장하면 단위 벡터 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$에 대해 Dirac 임펄스가 다시 정의될 수 있으며$,$ 이는 Kronecker delta라고 알려져 있다.Dirac 분포의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$번째$$ 파생상품은 ${\displaystyle {2n}^{}\Delta }$ ${\displaystyle 2^{n}\cdot \delta }$에 대해 다시 정의할 수 있다$.$
• 1 ${\displaystyle \frac{2}{}\Delta }$ ${\displaystyle {\frac{1}{1$}:{2$}}\cdot \delta }$에 대해 Hubiside 기능을 다시 사용할 수 있다$.$
• 지수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 가진 잘린 전력 함수는 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2n}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1^{}}{}\Delta }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n+1}}\cdot \delta }$에 대해 다시 사용할 수 있다$$$.$
• 삼각함수는 다시 사용할 수 있는 함수다.^[4]연속적인 적분 노드가 있는 B-스플라인 기능은 콘볼루션 정리 및 구간${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$1$){\$디스플레이 스타일$[0,1)}$ $$(박스카 함수)에 대한 특성 함수의 재결합성 때문에 다시 사용할 수 있다.
• 모든 다항식 함수는 다시 사용할 수 있다.모든 정제 마스크에는 상수 인자에 대해 고유하게 정의되는 다항식이 있다.정도 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 모든 다항식마다 모든 마스크 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$과($와)$ ${\$$displaystyle$ $v}$에 대해$$ v ${\displaystyle \ast }$(${\displaystyle 1}$,$$-${\displaystyle {}^{}}$$1$)${\displaystyle {}^{}}$+ $+$1$} 유형의 마스크$에 의해 $모두{\displaystyle }$ 다른 많은 정제 마스크가 있다$$$.$^[5]
• A rational function ${\displaystyle \varphi }$ is refinable if and only if it can be represented using partial fractions as ${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{\frac {s_{i}}{(x-i)^{k}}}}$, where ${\displaystyle k}$ is a positive natural number and ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$ is a real sequence with finitely many non-zero elements (a Laurent polynomial) such that ${\displaystyle s (s\uparrow 2)}$ (read: ${\displaystyle \exists h(z)\in \mathbb {R} [z,z^{-1}]\ h(z)\cdot s(z)=s(z^{2})}$).Laurent 다항식 ${\displaystyle {2k}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2^{k-1}\cdot h}$는 관련 정제 마스크다.^[6]

참조

참고 항목

• 소분법