알파 최대 + 베타 최소 알고리즘

알파 max + 베타 min 알고리즘은 두 제곱합에 대한 제곱근의 고속 근사값이다.피타고라스 덧셈이라고도 하는 두 개의 정사각형 합계의 제곱근은 유용한 함수인데, 2-D 벡터의 규범인 2개의 측면 길이 또는 ${\displaystyle 진폭\sqrt{{}^{}}}$ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{b\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\$ z $={\sqrt {a^{2}+b$^{2}{\sqrt}{}+b$^{2$}{2}{2}}}}}에 해당하는 두 개의 정사각형인 두 개의 오른쪽 삼각형이 주어지는 것을 알 수 있기 때문이다.콤플렉스 숫자 z의 $}}}$은(는) 실제와 가상의 부분이 주어지는 a + bi이다.

알고리즘은 비교, 곱하기, 덧셈과 같은 간단한 연산을 사용하는 대신 제곱근과 제곱근 연산을 수행하지 않는다.알고리즘의 α 및 β 매개변수의 일부 선택은 고속 디지털 회로의 구현에 특히 잘 맞는 이진수의 단순한 이동으로 곱셈 연산을 감소시킬 수 있다.

근사치는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle z =\alpha \,\mathbf {Max} +\beta \,\mathbf {Min},}$

여기서 $M{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{x}}$ ${\$은$($는) a와 b의 최대 절대값이고, ${\displaystyle \mathbf{Mi}}$ ${\displaystyle \mathbf{n}}$ ${\$은$($는) a와 b의 최소 절대값이다.

가장 가까운 근사치의 경우, $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$} 및$$ $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta$}에 대한 최적 $값$은${\displaystyle \frac{}{}{\alpha \mathrm{}}_{}}$0 = ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{8}{}}{}}$ 8 ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \frac{cos\frac{}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{8}{}}{}}$= 0${\displaystyle \mathrm{.960433870103...}}$${\displaystyle \cHB_{0}={\frac {2\cos {\frac {\pi }{8}}{1+\cos {\frac {}{8}}}}}}}}=0.960433870103...$$}$ 및$$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= 2 ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ 8 ${\displaystyle \frac{\frac{1}{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{8}{}}$=${\displaystyle \mathrm{0.397824734759...}}$${\displaystyle \cHB_{0}={\frac {2\sin {\frac {}{8}}{1+\cos {\frac {\pi }}{8}}}}}}}}=0.3978247349...$$\}\},$ 최대 오류 3.96% 발생.

$\displaystyle \does \,\!}$	$\displaystyle \does \,\!}$	최대 오차(%)	평균 오차(%)
1/1	1/2	11.80	8.68
1/1	1/4	11.61	3.20
1/1	3/8	6.80	4.25
7/8	7/16	12.50	4.91
15/16	15/32	6.25	3.08
${\displaystyle \cHB_{0}}$	${\displaystyle \cHB_{0}}$	3.96	2.41

개선사항

< ${\displaystyle \alpha <1$ ${\displaystyle z}$ $displaystyle$z$}$이$($가) $M{\displaystyle \mathbf{}}$ $i{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{n}}$ ${\\$$\mathbf$${Max$$}($ 기하학적으로 불가능함)이$$ 0에 가까운 축 근처에서 M ${\displaystyle \mathbf{x}}$ ${\$ \$mathbf$ {Max}보다 작아진다$$.이 문제는 더 클$$ 때마다 ${\displaystyle \mathbf{결과}}$를 M ${\displaystyle \mathbf{a}}$ x$${\$displaystyle \mathbf {Max}($으)로 대체하여 해결할 수 있으며, 기본적으로 선을 두 개의 다른 세그먼트로 분할한다.

${\displaystyle z =\max(\mathbf {Max},\alpha \,\mathbf {Max} +\beta \,\mathbf {Min}).}$

하드웨어에 따라 이러한 개선은 거의 무료가 될 수 있다.

이 개선을 사용하면 전체 간격에 대해 더 이상 근접하게 일치시킬 필요가 없기 때문에 어떤 매개변수 값이 최적의지 변경된다.따라서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 더 낮으면 정밀도가 더 높아질 수 있다$$.

정밀도 향상:이렇게 라인을 둘로 분할할 경우 첫 번째 세그먼트를 ${\displaystyle \mathbf{M}}$보다 더 나은 추정치로 ${\displaystyle \mathbf{교체}}$하여 정밀도를 더욱 높일 수 있으며$,$ 그에 따라$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\$ α ${\displaystyle \alpha$ $}$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \bta }.$

${\displaystyle z =\max {\big (}z_{0}), z_{1} {\big )},}$

${\displaystyle z_{0} =\alpha _{0}\,\mathbf {Max} +\beta _{0}\,\mathbf {Min},}$

${\displaystyle z_{1} =\알파 _{1}\,\mathbf {Max} +\beta _{1}\mathbf {Min} .}$

${\displaystyle \cHB_{0}}$	${\displaystyle \cHB_{0}}$	${\displaystyle \cHB _{1}}$	${\displaystyle \cHB _{1}}$	최대 오차(%)
1	0	7/8	17/32	−2.65%
1	0	29/32	61/128	+2.4%
1	0	0.898204193266868	0.485968200201465	±2.12%
1	1/8	7/8	33/64	−1.7%
1	5/32	27/32	71/128	1.22%
127/128	3/16	27/32	71/128	−1.13%

그러나 0이 아닌 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 최소 1회의 추가와 약간의 비트 전환(또는 곱셈)이 필요하므로$$ 아마도 하드웨어에 따라 거의 2배의 비용을 발생시킬 수 있으며, 애초에 근사치를 사용하려는 목적을 좌절시킬 수 있다는 점에 유의하십시오.

참고 항목

• 오버플로 및 언더플로우에도 안전한 정밀한 기능 또는 알고리즘인 하이팟

참조

• 라이온스, 리처드 G.디지털 신호 처리 이해, 섹션 13.2.프렌티스 홀, 2004 ISBN0-13-108989-7.
• 그리핀, 그랜트.DSP 트릭: 진도 추정기.

외부 링크

• "Extension to three dimensions". Stack Exchange. May 14, 2015.