푸앵카레-홉 정리

수학에서 푸앵카레-홉프 정리(Poincaré-Hopf 지수 공식, Poincaré-Hopf 지수 정리 또는 Hopf 지수 정리라고도 한다)는 미분위상에 사용되는 중요한 정리다. 앙리 푸앵카레와 하인츠 홉프의 이름을 따서 지은 것이다.

푸앵카레-홉프 정리는 흔히 털복숭이 볼 정리의 특수한 사례에 의해 설명되는데, 이것은 단순히 출처나 싱크대가 없는 고른 차원 n-sphere에는 매끄러운 벡터장이 없다고 기술한다.

형식명세서

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $M$$}$을(를) $차원{\displaystyle }$ n ${\$$displaystyle n$$}$및 v ${\displaystyle$ v$}$의 벡터 필드로 구분할 수 있는 다지관으로 두십시오$$$.$ x ${\displaystyle v}$이(가$)$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ v$}$의 $분리$된 0이라고 가정하고$,$ x ${\daystyp$를 $선택하십시오.$ a cl.osed ball ${\displaystyle D}$ centered at ${\displaystyle x}$, so that ${\displaystyle x}$ is the only zero of ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle D}$. Then the index of ${\displaystyle v}$ at ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$, can be defined as the degree of the map ${\displaystyle u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}}$ from the boundary of ${\displaystyle D}$ to the ${\displaystyle (n-1)}$-sphere given by ${\displaystyle u(z)=v(z)/\ v(z)\ }$.

정리. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 콤팩트하게 구별할 수 있는 다지관으로 두십시오$$. $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 0이 분리된$$ M ${\displaystyle M}$의 벡터 필드가 되도록$$ 하십시오. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 경계가 있는$$ 경우 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) 경계를 따라 바깥쪽 정상 방향을 가리키고 있다고$$ 주장한다. 그럼 공식이 있잖아

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}(v)=\chi(M)\,}$

지수의 합계가 $v{\displaystyle }${\$displaystyle v}$과 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle M}$)의 모든 격리된 영에 걸쳐 있는 경우, $M{\displaystyle }$ {\$displaystyle \chi (M)$은 M ${\displaystyle M$}의 오일러 특성$.$ 특히 유용한 곡선은 오일러 특성 0을 의미하는 비바니싱 벡터 필드가 있을 때입니다.

이 정리는 앙리 푸앵카레에^[1] 의해 2차원에 대해 증명되었고 후에 하인츠 홉프에 의해 더 높은 차원으로 일반화되었다.^[2]

의의

닫힌 표면의 오일러 특성은 순수한 위상학적 개념인 반면 벡터 장의 지수는 순수하게 분석적이다. 따라서, 이 정리는 겉으로 보기에 관계가 없어 보이는 수학의 두 영역 사이에 깊은 연계를 확립한다. 아마도 이 정리의 증명이 통합에 크게 의존하고 있으며, 특히 미분 형식의 외부 파생상품의 적분은 경계를 넘어 그 형태의 적분과 동일하다고 기술한 스토크스의 정리가 흥미로울 것이다. 경계가 없는 다지관의 특수한 경우, 이는 적분량이 0이라고 말하는 것과 같다. 그러나 소스나 싱크대의 충분히 작은 동네에 있는 벡터장을 조사함으로써 우리는 소스와 싱크가 총계에 정수량(지수로 알려져 있음)을 기여한다는 것을 알 수 있고, 그것들은 모두 0으로 합해야 한다. 이 결과는 기하학적 개념과 분석적 또는 물리적 개념들 사이의 깊은 관계를 확립하는 전체 일련의^[which?] 이론들 중 가장 이른 것 중 하나로 간주될^{[by whom?]} 수 있다. 그들은 두 분야의 현대 연구에 중요한 역할을 한다.

증거 스케치

1. M을 어떤 고차원 유클리드 공간에 임베드한다. (휘트니 임베딩 정리 사용)

2. 그 유클리드 공간에서 M의 작은 동네를 취하라, N_ε. 벡터장을 이 동네로 확장시켜 여전히 0이 같고 0이 지수가 같도록 한다. 또한 N의_ε 경계에 있는 확장 벡터 필드가 바깥쪽으로 향하도록 하십시오.

3. 구(및 새로운) 벡터장 영점의 지수 합은 N의_ε 경계에서 (n–1)차원 구까지의 가우스 지도의 정도와 같다. 따라서 지수의 합은 실제 벡터장과는 독립적이며, 다지관 M에만 의존한다. 기술: 작은 동네가 있는 벡터 영역의 0을 모두 잘라낸다. 그런 다음 n차원 다지관의 경계에서 전체 n차원 다지관으로 확장할 수 있는 (n–1)차원 구까지의 지도의 정도가 0이라는 사실을 이용한다.^{[citation needed]}

4. 마지막으로 이 지수의 합을 M의 오일러 특성으로 파악한다. 그러기 위해서는 지수의 합이 오일러 특성과 동일한 것이 분명한 M의 삼각측량을 사용하여 M에 매우 구체적인 벡터 필드를 생성한다.

일반화

비절연 0이 있는 벡터 필드에 대한 인덱스를 정의하는 것은 여전히 가능하다. 0이 절연되지 않은 벡터장에 대한 이 지수의 구성과 Poincaré-Hopf 정리의 확장은 (Braslet, Seade & Suwa 2009) harv error: no target: CITREFBrasseletSeadeSuwa2009 (도움말)에 요약되어 있다.

참고 항목

• 아이젠부드-레빈-킴샤쉬빌리 시그니처 공식
• 홉 정리

참조

• "Poincaré–Hopf theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). Vector fields on singular varieties. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7.