플레이페어의 공리

기하학에서 플레이페어의 공리는 유클리드(평행 가설)의 다섯 번째 가설 대신 사용할 수 있는 공리다.

평면에서는 주어진 선과 그 위에 없는 점이 주어진 경우, 주어진 선과 평행한 선은 그 점을 통해 그려질 수 있다.^[1]

유클리드 기하학의^[2] 맥락에서 유클리드(유클리드)의 평행체상에 해당하며 스코틀랜드의 수학자 존 플레이페어의 이름을 따서 명명되었다. 최소한 한 개의 평행선이 존재한다는 것을 나머지 공리에서 증명할 수 있기 때문에 "최대한" 조항만 있으면 된다. 그 진술은 종종 "하나의 평행은 오직 하나"라는 문구와 함께 쓰여진다. 유클리드 원소에서는 두 선이 결코 충족되지 않을 경우 평행하다고 하며 다른 평행선의 특성화를 사용하지 않는다.^[3][4]

이 공리는 유클리드 기하학뿐만 아니라 평행주의 개념이 중심인 아핀 기하학의 광범위한 연구에도 사용된다. 부속 기하학 설정에서는 중립 기하학의 공리가 존재의 증거를 제공하기 위해 존재하지 않기 때문에 플레이페어의 공리("최대"가 "하나뿐인" 것으로 대체되는 곳)의 더 강한 형태가 필요하다. 플레이페어 버전의 공리는 유클리드 버전의 공리는 아니었지만 유클리드 평행 공리로 일컬어지는 경우가 많을 정도로 인기를 끌었다.^[5] 공리의 상각은 평행선의 이항 관계가 직렬 관계라는 것이다.

역사

프롤러스(A.D. 410–485년)는 유클리드 I.31에 대한 논평을 통해 명확하게 밝히고 있다(Book I, Proposition 31).^[6]

1785년 윌리엄 루들람은 병렬 공리를 다음과 같이 표현하였다.^[7]

한 지점에서 만나는 두 직선 모두 세 번째 선과 평행하지 않다.

유클리드 평행주의의 이 간략한 표현은 플레이페어가 자주 재출판된 그의 교과서 기하학적 요소(1795)에서 채택한 것이다. 그는^[8] 썼다.

서로 교차하는 두 직선 모두 동일한 직선에 평행할 수 없다.

플레이페어는 유클리드 주장을 단순화한 루들람 등을 인정했다. 이후 전개에서 두 선의 교차점이 먼저 나왔고, 두 개의 평행선을 부정하는 것은 주어진 점을 통해 고유한 평행선으로 표현되었다.^[9]

쇼펜하우어는 "The World"에서 Will and Idea Vol II, Supp. ch 13으로 공리에 대한 지지를 표명했다.

1883년 아서 케일리는 영국 협회 회장이었으며 협회 연설에서 다음과 같은 의견을 표명했다.^[10]

나 자신의 견해는 플레이페어의 형태에 있는 유클리드 12악시멈은 실증할 필요가 없고, 모든 외부 경험의 밑바닥에 놓여 있는 표현인 우리 경험의 물리적 공간에 대한 공간 관념의 일부분이라는 것이다.

데이비드 힐버트가 유클리드 기하학의 새로운 공리 세트를 ^[11]제공하면서 그의 저서인 기하학의 기초(1899년)를 쓸 때, 그는 평행선을 논하기 위해 원래의 유클리드 버전 대신 플레이페어의 공리 형식을 사용했다.^[12]

유클리드 다섯 번째 가정과의 관계

유클리드 평행 가설 상태:

선 세그먼트가 두 직각 이하로 합한 동일한 횡방향에 두 내부 각도를 형성하는 두 직선을 교차하는 경우, 무한히 확장된 경우 두 선은 각도가 두 직각 이하로 합한 횡방향에서 만난다.^[13]

플레이페어의 공식과 비교했을 때 이 진술의 복잡성은 분명히 평행의 상술에 대한 논의에서 플레이페어의 공리를 인용하는 인기 있는 데 주요한 공헌이다.

절대 기하학의 맥락 안에서 두 문장은 등가인데, 이는 각 문장이 기하학의 나머지 공리가 있는 곳에서 다른 문장을 가정함으로써 증명될 수 있다는 것을 의미한다. 예를 들어, 타원형 기하학의 구형 모델에서 해석할 때 한 문장은 참이고 다른 문장은 사실이 아니기 때문에, 이것은 문장이 논리적으로 동등하다는 것을 말하는 것이 아니다(즉, 하나는 논리의 형식적인 조작만을 사용하여 다른 문장에서 증명될 수 있다.^[14] 논리적으로 동등한 진술은 해석이 있는 모든 모델에서 동일한 진실 가치를 가진다.

아래 증명은 절대(중립) 기하학의 모든 공리가 유효하다고 가정한다.

유클리드의 다섯 번째 가설은 플레이페어의 공리를 암시한다.

이를 가장 쉽게 보여주는 방법은 삼각형의 각도가 두 개의 직각으로 합한다는 유클리드 정리(제5차 가정과 동일)를 사용하는 것이다. 선 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$이(가) 있고 해당 선에 없는 점 P가 있으면 점 P를 통해 주어진 선에 수직인 선, t를 생성한 다음 점 P에서 이 선에 수직인 선을 생성한다. 이 선은 유클리드 원소의 제1권 발의안 27호에 명시된 $\ell {\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\ell }$을(를) 충족하고$$ 삼각형을 형성할 수 없기 때문에 평행하다.^[15] 이제 다른 유사점은 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. n이 P를 통과하는 두 번째 선이었다면, n은 (수직선이 아니기 때문에) t와 예리한 각도를 만들고, 다섯 번째 추정 홀드의 가설을 만들어 n은 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$을 만난다$.$^[16]

플레이페어의 공리는 유클리드의 다섯 번째 추정을 암시한다.

플레이페어의 추정이 수직에 수직인 것만이 평행이라는 것을 함축하고 있는 것을 감안하면 유클리드 건설의 선들은 한 점에서 서로를 절단해야 할 것이다. 각도가 2개 직각 이하로 합치는 쪽에서 할 것이라는 점도 증명해야 하지만 이 점이 더 어렵다.^[17]

병렬의 전이성

유클리드 제안서 30에는 "각각 세 번째 선과 평행한 두 선은 서로 평행하다"고 적혀 있다. 아우구스투스 드 모건(Augustus De Morgan)은 이 명제가 논리적으로 플레이페어의 공리와 동등하다는 점에 주목했다^[18]. 이 통지는 1908년 T. L. 히스가 재검표하였다^[19]. 드 모건의 주장은 다음과 같이 진행된다. X를 하나의 공통 선에 평행한 선들의 집합과 Y를 만나는 구별되는 선들의 집합으로 한다. z가 한 쌍의 구별되는 선을 나타낸다면, 그 문장은,

모든 z에 대해, z가 X에 있으면, z는 Y에 있지 않다.

플레이페어의 공리(De Morgan의 용어로는 No X is Y)와 논리적으로 동등한 경쟁자,

모든 z에 대해, z가 Y에 있으면 z는 X에 있지 않다.

유클리드 I.30, 평행성의 전이성(No Y is X)이다.

보다 최근에는 병렬 선으로 표현된 이항 관계 측면에서 함축적 의미가 다르게 표현되었다. 부속 기하학에서 관계는 동등성 관계로 간주되며, 이는 선이 그 자체와 평행하다고 간주됨을 의미한다. 앤디 류는^[20] "P가 2번 라인이 아닌 포인트가 되게 하라. 라인 1과 라인 3이 모두 P를 통과하고 라인 2와 평행하다고 가정한다. transitivity에 의해, 그들은 서로 평행하게 되며, 따라서 정확히 P를 공통적으로 가질 수 없다. 그 뒤에 같은 선이라는 것이 플레이페어의 공리인 것이다."

메모들

참조

• Playfair, John (1846). Elements of Geometry. W. E. Dean.
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Volume One), Boston: Allyn and Bacon
• Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements ([Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1908] 2nd ed.). New York: Dover Publications.

(3권): ISBN 0-486-60088-2(볼륨 1) ISBN 0-486-60089-0(볼륨 2) ISBN 0-486-60090-4(볼륨 3)