인과 조건

로렌츠 다지관 공간 연구에는 그러한 다지관의 글로벌 구조에 대한 수학적인 이론들을 입증하는 데 중요한 인과관계 조건의 계층이 존재한다. 이러한 조건들은 1970년대 후반에 수집되었다.^[1]

스페이스타임의 인과관계 조건이 약할수록 스페이스타임은 물리적인 것이 아니다. 예를 들어, 닫힌 시간 곡선이 있는 시간 간격은 심각한 해석상의 어려움을 나타낸다. 할아버지의 역설을 보라.

어떤 물리적 스팩타임이 가장 강력한 인과관계 조건인 글로벌 쌍곡선 조건을 만족시킬 것이라고 믿는 것은 타당하다. 그러한 틈새 시간 동안 일반 상대성 방정식은 Cauchy 표면의 초기 가치 문제로 제기될 수 있다.

계층

인과관계 조건의 계층이 있는데, 각각은 이전보다 엄격히 강해진다. 이것을 인과 사다리라고도 한다. 가장 약한 상태부터 가장 강한 상태까지의 조건은 다음과 같다.

• 완전하지 않은 악랄함
• 연대순
• 원인
• 구분
• 인과성이 강한
• 안정적 원인
• 인과연속
• 인과적으로 단순함
• 글로벌 쌍곡선

로렌츠 다지관${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (M,g)}$에 대한 이러한 인과 조건의 정의가 제시되어 있다$.$ 여기서 두 개 이상이 주어지는 것은 동등하다.

표기법:

• ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\ll q}$은 시간적 관계를 나타낸다$$.
• ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\p$\property $q}$은 인과 관계를 나타낸다$$.

(See causal structure for definitions of ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$, ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$ and ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$, ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$.)

완전하지 않은 악랄함

• ${\displaystyle \mathrm{일부}}$ 포인트 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle p\in M}$에 대해서는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll ̸}$ p ${\displaystyle p\not \ll p}$이(가) 있다$.$

연대순

• 닫힌 시간별(시간별) 곡선은 없다.
• 시간적 관계는 회복 ${\displaystyle \mathrm{불가능}}$하다: 모든 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$M ${\displaystyle p\not$ $\ll$ p$}$에 대해$$$.$

원인

• 닫힌 인과(비공간적) 곡선은 없다.
• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\prec q}$ 및$$ $q{\displaystyle }$q ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q\p}$인 경우 $p$ = ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle$ p$=q}$

구분

과거언어

• 동일한 연대기적 과거를 공유하는$$ 두 $점{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$,${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ M ${\displaystyle p,q\in M}$은 동일한 점이다.

${\displaystyle I^{-}(p)=I^{-}(q)\implies p=q}$

• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$의 $모든{\displaystyle }$ 인접 U ${\displaystyle$ U${\displaystyle \},}$ p ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$ V ${\subset U,p\in$ V$}$이(가) 한 번 $이상{\displaystyle }$$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ V$}$의 과거 방향 비공간 모양의 곡선이 교차하지 않도록$$ 인접 $V$가 존재한다$$.

미래언어

• 동일한 시간적 미래를 공유하는$$ 두 점 $p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle qq}$ M ${\displaystyle p,q\in M}$은 동일한 점이다.

${\displaystyle I^{+}(p)=I^{+}(q)\implies p=q}$

• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$의 $모든{\displaystyle }$ 인접 U ${\displaystyle$ U${\displaystyle \},}$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$ V ${\subset U,p\in$ V$}$에 인접해 있어 p$${\$displaystyp}$의 미래 지향 비공간적 곡선이 ${\\displaystytytyty$ V}과 한 번 이상$$ 교차하지$$ 않는다.

인과성이 강한

• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$의 $모든{\displaystyle }$ 인접 U ${\displaystyle U$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$ V ${\subset U,p\in$ V$}$에 인접 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystytle V}$을 두$$ 번 이상 통과하는 타임라이크 곡선이 존재하지 않는다$$$$.
• For any neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle p\in M}$ there exists a neighborhood ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ such that ${\displaystyle V}$ is causally convex in ${\displaystyle M}$ (and thus in ${\displaystyle U}$).
• 알렉산드로프 위상은 다지관 위상과 일치한다.

안정적 원인

위에 정의한 약한 인과관계 조건 중 하나를 만족하는 다지관은 측정기준에 약간의 동요가 주어지면 그렇게 하지 못할 수 있다. 측정지표의 임의적인 작은 동요에 의해 폐쇄된 인과 곡선을 포함할 수 없는 경우 스페이스타임은 안정적으로 인과적이다. 스티븐 호킹은 이것이^[2] 다음과 같다는 것을 보여주었다.

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에는 글로벌 시간 함수가 있으며$,$ 이는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 있는 스칼라 필드 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$이며, 경사도 ${\displaysty \nabla ^{a}t}$는 시간 및 미래 지향적이다. 이 글로벌 시간 함수는 우리에게 스페이스타임의 각 점에 대해 미래와 과거를 구별할 수 있는 안정적인 방법을 제공한다(그래서 우리는 인과적 위반이 없다).

글로벌 쌍곡선

• ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \,M}$은(는) 강하게 인과적이며, 모든 $집합{\displaystyle {}^{}}$J +${\displaystyle {}^{}}$($x$ )${\displaystyle \{{}^{}}$ - (${\displaystyle y}$ )$${\$displaystyle$ J$^{+}(x$)\$cap$ J$^{-}}(y)}($$점{\displaystyle }$ x ,${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystystyle x,y\in M$ )은 콤팩트하다.

Robert Geroch는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대한 Cauchy 표면이 존재하는 경우에만 스팩타임이 전 세계적으로 쌍곡선이라는 것을 보여주었다^[3]$.$ 이는 다음을 의미한다.

• ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) ${\displaystyle 위상학적}$으로 R$$ S {\displaystyle $\mathb$ {$R}$\time $\!\,$일부 Cauchy 표면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 $S}($$$$여기$서 R ${\$ {$R}$은$($는) 실제 선을 나타낸다.

참고 항목

• 스페이스타임
• 로렌츠 다지관
• 인과구조
• 글로벌 쌍곡 다지관
• 닫힌 시간 곡선

참조

• S.W. Hawking, G.F.R. Ellis (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.
• S.W. Hawking, W. Israel (1979). General Relativity, an Einstein Centenary Survey. Cambridge University Press. ISBN 0-521-22285-0.