글로벌 쌍곡 다지관

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2008년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학 물리학에서 지구 쌍곡성은 스페이스타임 다지관(Lorenzian 다지관)의 인과 구조에서 일정한 조건이다.로렌츠 다지관을 발생시키는 근본적 조건이 다음과 같기 때문에 쌍곡선이라고 한다.

• ${\displaystyle t^{2}-r^{2}=T^{2}}$

(t와 r은 시간 및 반지름의 일반적인 변수임) 이것은 하이퍼볼라를 나타내는 일반적인 방정식 중 하나이다.그러나 이 표현은 평범한 기원에 관해서만 사실일 뿐이다. 그리고 나서 이 기사는 스페이스타임에 어떤 한 쌍의 점으로 개념을 일반화하기 위한 기초를 개략적으로 제시한다.이것은 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론, 그리고 잠재적으로 다른 미터법 중력 이론과 관련이 있다.

정의들

글로벌 쌍곡선에는 몇 가지 동등한 정의가 있다.M을 경계 없이 매끄럽게 연결된 로렌츠 다지관이 되게 하라.우리는 다음과 같은 예비 정의를 내린다.

• M은 닫힌 시간 곡선이 그것을 통과하지 않을 정도로 적어도 한 점이 있다면 완전히 악랄하지 않다.
• M은 닫힌 인과 곡선이 없으면 인과관계다.
• 콤팩트 세트에 확장 불가능한 인과 곡선이 포함되지 않은 경우 M은 완전하지 않은 수감이다.이 속성은 인과관계를 내포하고 있다.
• 모든 p 지점과 p의 모든 근린 U에 대해 U에 포함된 p의 원인 볼록한 근린 V가 있는 경우, 여기서 인과 볼록은 V에 엔드포인트가 있는 모든 인과 곡선이 전적으로 포함됨을 의미한다.이 재산은 완전한 투옥이 아니라는 것을 의미한다.
• M, $J{\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( p${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ J$^{+}(p)}$ [resp.$$${\displaystyle J^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle J^{-}(p)}$ $]$은 p로부터 시작되는 미래 지향 [resp. 과거 지향] 연속 인과 곡선으로 도달할 수 있는 점의 집합이다.
• M의 부분집합 S가 주어진 경우, S의존성 영역은 p를 통한 모든 확장 불가능한 인과 곡선이 S를 교차하도록 M의 모든 점 p의 집합이다.
• 시간 곡선이 S와 두 번 이상 교차하지 않으면 M의 부분 집합 S는 무정합이다.
• M에 대한 Cauchy 표면은 M이 의존하는 영역이 있는 닫힌 무생물 집합이다.

다음 조건은 동일하다.

1. 스페이스타임이 인과적이며, M의 각 p와 q 지점 쌍에 대해 p에서 q까지의 연속적인 미래 지향 인과 곡선의 공간은 $C{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle 0^{\mathrm{}}}$ ${\$ 위상에서는$$ 콤팩트하다.
2. 스페이스타임은 코시 표면이 있다.
3. 스페이스타임은 인과관계가 있으며, M에서 ${\displaystyle p}$와 q의 모든 쌍에 대해 부분 집합 $J{\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}}$+ (${\displaystyle {}^{}q}$) ${\displaystyle J^{-}(p)\cap$ J$^{+}(q)}$이 콤팩트하다$$.
4. 스페이스타입은 총체적으로 투옥되지 않으며, M에서 포인트 p와 q의 각 쌍에 대해 부분 $집합{\displaystyle {}^{}}$ J${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$j${\displaystyle {}^{}}$+ ( $q$ ${\displaystyle )}$ ${\$스타일 {$J^{-}(p)\cap J^{+}}}}}}}}}}}}$은 콤팩트 세트(즉, 닫힘이 콤팩트함)에 포함되어 있다$$.

만약 이러한 조건들 중 하나가 충족된다면, 우리는 M이 전세계적으로 쌍곡선이라고 말한다.M이 경계를 가진 매끄럽게 연결된 로렌츠 다지관이라면, 우리는 M의 내부가 전 세계적으로 쌍곡선이라면 전 세계적으로 쌍곡선이라고 말한다.

글로벌 쌍곡선의 다른 등가 특성화에서는 로렌츠 거리 d${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ sup ${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle \gamma }$ )${\displaystyle d(p,q):$$=\sup _{\gamma }l(\gamma )}$지점을$$ 연결하는 모든 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{1}$인과$$ 곡선(그런 곡선이 없는 경우 convention d=0).그들은 그렇다.

• $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이(가) 유한하게 평가되는$$ 강한 인과적 여유 시간.^[1]
• $d{\displaystyle }$ {\$displaystyle d}$이(가$)$ 원래 메트릭의 일치 클래스에서 선택한 모든 메트릭에 대해 연속되는$$ 총 형무소 시간.

언급

글로벌 쌍곡성(global pypolicity)은 다지관의 파동 방정식에 대한 코치 문제의 잘 노출되는 것을 고려하기 위해 레레이에^[2] 의해 처음 도입되었다.1970년에 게로치는^[3] 정의 1과 2의 등가성을 증명했다.강한 인과관계와 처음 두 개에 대한 동등성을 가정하는 정의 3은 호킹과 엘리스에 의해 주어졌다.^[4]

앞서 언급한 바와 같이 구 문헌에서는 위에서 주어진 글로벌 쌍곡성의 제1의 정의와 제3의 정의에서 인과관계의 조건이 강한 인과관계의 조건으로 대체된다.2007년 베르날과 산체스는^[5] 강한 인과관계의 조건이 인과관계로 대체될 수 있다는 것을 보여주었다.특히 3에서 정의한 전지구 쌍곡 다지관은 강한 인과관계가 있다.후에 Hounnnkpe와 Minguzzi는^[6] 꽤 합리적인 시간, 더 정확히 말하자면 비-복합적이거나 완전히 악랄하지 않은 3보다 큰 치수의 경우, 정의 3에서 '주의' 조건을 삭제할 수 있다는 것을 증명했다.

In definition 3 the closure of ${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$ seems strong (in fact, the closures of the sets ${\displaystyle J^{\pm }(p)}$ imply causal simplicity, the level of the causal hierarchy of spacetimes^[7] which stays just below global hyperbolicity).2009년 밍구찌가^[8] 제안한 정의 4와 같이 인과관계를 강화한 이 문제를 해결할 수 있다.이 버전은 전지구적 쌍곡성이 인과관계와 콤팩트성의 개념 사이에 호환성 조건을 설정한다는 것을 명확히 한다. 즉, 모든 인과 다이아몬드는 콤팩트 세트에 포함되며, 모든 확장 불가능한 인과 곡선은 콤팩트 세트로 빠져나간다.콤팩트 계열이 클수록 일부 콤팩트 세트에 인과 다이아몬드가 더 쉽게 포함될 수 있지만 인과 곡선이 콤팩트 세트에 빠져 나오기 어려울 수 있다는 점을 유념하십시오.따라서 전지구적 쌍곡성은 인과 구조와 관련하여 콤팩트 집합의 풍부함에 균형을 맞춘다.보다 미세한 위상에는 콤팩트한 집합이 적기 때문에 인과관계가 주어진 개방 집합의 수에 균형이 맞춰져 있다고 말할 수 있다.정의 4는 측정지표의 섭동에서도 견고하다(원칙적으로 폐쇄적인 인과 곡선을 도입할 수 있다).사실 이 버전을 사용하는 것은 전지구적 쌍곡성이 미터법 섭동 하에서 안정적이라는 것을 보여주었다.^[9]

2003년에, Bernal과 Sanchez는^[10] 전세계적으로 쌍곡 다지관 M은 매끄럽게 내장된 3차원 Cauchy 표면을 가지고 있으며, 나아가 M을 위한 2개의 Cauchy 표면은 차이점형임을 보여주었다.특히 M은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 가진 Cauchy 표면의 산물과는 다른 형상으로$,$ 글로벌 쌍곡 다지관의 모든 Cauchy 표면이 내장형 $3차원{\displaystyle {}^{}}$ C ${\$C^{$0}$ 하위 manifold이며$$, 그 중 2개라도 가정형 다지형으로 되어 있다는 것은 이미 잘 알려져 있었다.위상학적으로 Cauchy 표면과 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 산물로 분할$.$ 특히 전지구 쌍곡 다지관은 Cauchy 표면에 의해 모태된다.

아인슈타인의 방정식에 대한 초기 가치 공식에 비추어 볼 때, 전지구적 쌍곡성은 일반 상대성 맥락에서 매우 자연스러운 상태로 보여지는데, 임의의 초기 데이터를 감안할 때, 아인슈타인의 방정식에 대한 고유한 최대 전지구적 쌍곡선 솔루션이 존재한다는 점에서 볼 수 있다.

참고 항목

• 인과 조건
• 인과구조
• 라이트콘

참조

• Hawking, Stephen; Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.