페이트-톰슨 정리

Feit–Thompson theorem

수학에서는 Feit–톰슨 정리, 즉 홀수 순서 정리는 홀수 순서의 모든 유한 집단이 해결 가능하다고 기술하고 있다. 그것은 월터 페이트와 존 그리그스 톰슨(1962년, 1963년)에 의해 증명되었다.

역사

이러한 결과가 홀수 및 짝수 순서의 그룹 사이에 나타난 대조는 필연적으로 홀수 순서의 단순한 그룹이 존재하지 않음을 시사한다.

William Burnside (1911, p. 503 note M)

윌리엄 번사이드(1911, 페이지 503 노트 M)는 모든 비아벨리안 유한한 단순 집단은 고른 질서를 가지고 있다고 추측했다. 리처드 브라워(1957)는 브루어-폴러 정리가 주어진 비자발적 중앙집중제를 가진 유한한 단순집단의 수가 한정되어 있음을 보여주듯이, 단순집단의 비자발적 중앙집중제를 유한한 단순집단의 분류의 근거로 삼을 것을 제안했다. 이상질서의 집단은 비자발성이 없기 때문에, 브라워의 프로그램을 수행하기 위해서는 우선 비순환 유한단순집단이 결코 이상질서를 가지고 있지 않다는 것을 보여줄 필요가 있다. 이는 페이트와 톰슨이 증명했던 홀수주문 그룹이 해결 가능하다는 것을 보여주는 것과 맞먹는다.

번사이드의 추측에 대한 공격은 CA그룹을 연구한 스즈키 미치오(1957)에 의해 시작되었는데, 이들은 모든 비경쟁 요소의 중앙집권자가 아벨리안이라는 그룹들이다. 선구적인 논문에서 그는 모든 이상한 순서의 CA 그룹이 해결 가능하다는 것을 보여주었다. (그는 나중에 모든 단순 CA 그룹과, 보다 일반적으로 모든 단순 그룹들을 분류했는데, 이는 비자발성의 중앙집중기가 정상적인 2-Sylow 하위 그룹을 가지고 있어서, 그 과정에서 간과되고 있는 Lie 유형의 단순 그룹들의 가족을 발견하는 것으로, 현재는 스즈키 그룹이라고 불린다.)

Feit, Marshall Hall, Thompson(1960)은 스즈키 씨의 작품을 CN 그룹의 가족으로 확장했다. 이들은 모든 비경쟁 요소의 중앙집중화자가 Nilpotent와 같은 그룹이다. 그들은 모든 홀수 CN 그룹이 해결 가능하다는 것을 보여주었다. 그들의 증거는 스즈키의 증거와 비슷하다. 그것은 약 17페이지 분량이었는데, 당시는 집단 이론에서 증명하기에는 매우 긴 것으로 생각되었다.

더 페이트-톰슨 정리는 이 과정의 다음 단계로 생각할 수 있다: 그들은 모든 적절한 하위 그룹이 해결될 수 있는 이상 순서의 비순환적인 단순 그룹이 없다는 것을 보여준다. 이는 모든 유한한 순서의 홀수 그룹이 해결 가능하다는 것을 증명한다. 최소한의 counterrexample은 모든 적절한 하위 그룹이 해결 가능한 단순한 그룹이어야 하기 때문이다. 증명서는 CA 정리, CN 정리 등과 같은 일반적인 개요를 따르지만, 세부사항은 훨씬 더 복잡하다. 최종지는 255쪽이다.

증거의 중요성

더 페이트-톰슨 정리는 모든 비아벨주의 단순집단이 비자발성을 가지고 있기 때문에 비자발성의 중심자를 이용한 유한단순집단의 분류가 가능할 수 있다는 것을 보여주었다. 그들이 증명에서 소개한 많은 기술들, 특히 국지적 분석의 아이디어는 분류에 사용되는 도구로 더욱 발전되었다. 아마도 그 증거의 가장 혁명적인 측면은 그 길이였다: Feit- 이전-톰슨 논문, 집단 이론에서 소수의 논쟁은 몇 페이지 이상이었고 대부분은 하루에 읽을 수 있었다. 일단 집단 이론가들이 그러한 긴 논쟁이 통할 수 있다는 것을 깨달았을 때, 수백 페이지나 되는 일련의 논문들이 나오기 시작했다. 이들 중 일부는 심지어 Feit-를 왜소하게 만들었다.톰슨 종이; 마이클 애쉬바허와 스티븐 D의 논문. 퀘이신 그룹의 스미스는 1,221페이지나 되었다.

증빙서류 개정

많은 수학자들이 원래의 Feit-의 일부를 단순화했다.톰슨 교정쇄. 그러나 이러한 개선사항들은 모두 어떤 의미에서는 국부적이다; 주장의 글로벌 구조는 여전히 동일하지만, 주장의 세부사항 중 일부는 단순화되었다.

단순화된 증거는 두 권의 책으로 출판되었다: (벤더 & 글라우버만 1995) (는 문자론을 제외한 모든 것을 다루는 책과 (Peterfalvi 2000, part I). 이 수정된 교정본은 여전히 매우 딱딱하고, 원본 교정본보다 길지만, 좀 더 여유로운 문체로 쓰여 있다.

Coq 증명 조교에게 확인한 완전한 공식적인 증거는 2012년 9월 조르주 곤티에와 마이크로소프트 리서치 및 INRIA의 동료 연구원들에 의해 발표되었다.[1]

증거의 개요

Feit-를 설명하는 대신톰프슨 정리에서는 직접적으로 스즈키의 CA 정리를 기술한 다음 CN-테오렘과 홀수 순서 정리에 필요한 일부 연장에 대해 코멘트를 하는 것이 더 쉽다. 그 증거는 세 단계로 나눌 수 있다. 우리는 G를 CA 조건을 만족시키는 비아벨리안(최소)의 단순한 홀수 그룹이 되게 했다. 홀수주문서에 대한 보다 자세한 설명은 톰슨(1963년)이나 (고렌슈타인 1980년) 또는 글라우버만(1999년)을 참조한다.

1단계. 그룹 G의 구조에 대한 국지적 분석

이는 CA 사례에서 "a communcommits with b" 관계가 비식별 요소에 대한 동등성 관계이기 때문에 쉽다. 그래서 원소들은 동등성 등급으로 나뉘는데, 그래서 각 동등성 등급은 최대 아벨리아 부분군의 비식별성 요소들의 집합이다. 이러한 최대 아벨계 하위집단의 정규화자는 정확히 G의 최대 적정 하위집단이 되는 것으로 밝혀졌다. 이 노멀라이저들은 프로베니우스 집단으로, 성격 이론이 합리적으로 투명하고, 성격 유도를 수반하는 조작에 적합하다. 또한 G의 소수점 세트는 G의 최대 아벨계 하위집단의 구별되는 결합 등급의 순서를 나누는 소수점에 따라 분할된다. 이 패턴은 특정 홀 하위집단의 결합 등급에 따라 G의 소수점을 분할하는 것이다(홀 하위집단은 질서와 지수가 상대적으로 우선적인 것이다).나)는 Feit-Hall-Thompson CN-Thomson의 증명과 Feit-theom에서 모두 G의 최대 하위 그룹에 해당하는 것이다.톰슨 홀수 정리. 각 최대 부분군 M은 M에 포함된 Nilpotent Hall 부분군 M을σ 가지고 있으며, 그 순서는 집합 σ(M)을 형성하는 특정 프리임으로 구분된다. 두 개의 최대 부분군은 sets(M) 세트가 동일한 경우에만 결합되며, 결합되지 않은 경우 σ(M) 세트가 분리된다. G의 순서를 나누는 모든 프라임은 어떤 정해진 σ(M)에서 발생한다. 따라서 G의 순서를 나누는 프라임은 최대 하위 그룹의 결합 등급에 해당하는 동등성 등급으로 분할된다. CN 사례의 증거는 이미 CA 사례보다 상당히 더 어렵다. 주요 추가 문제는 두 개의 서로 다른 Sylow 하위 그룹이 정체성에서 교차한다는 것을 증명하는 것이다. 홀수 순서 정리 증명의 이 부분은 100페이지가 넘는 저널을 차지한다. 핵심 단계는 톰프슨 고유성 정리를 증명하는 것으로, 정상 등급이 최소 3인 아벨리안 하위그룹이 고유한 최대 하위그룹에 포함되어 있다고 명시하고 있으며, 이는 시로우 p-부분군이 최대 2인 정상 등급을 갖는 소수 p를 별도로 고려할 필요가 있음을 의미한다. 벤더는 후에 벤더의 방법을 사용하여 고유성 정리의 증명을 단순화했다. CN-사례에서 결과적인 최대 하위집단 M은 여전히 프로베니우스 그룹인 반면, 홀수 순서 정리의 증명에서 발생하는 최대 하위집단은 더 이상 이 구조를 가질 필요가 없으며, 이들의 구조와 상호작용을 분석하면 I, II, II, IV, V. 타입 I 하위집단은 "F"라고 불리는 5가지 유형의 최대 하위집단이 생성된다.프로베니우스 집단을 약간 일반화한 '로베니우스형'이며, 사실 나중에 증명에서 프로베니우스 집단이 보인다. M이F 가장 큰 정상 영점 홀 서브그룹인 MF⋊U 구조와 MF⋊U가0 커널 M을F 가진 프로베니우스 그룹인 U 지수를 갖는 U 구조다0. 타입 II, III, IV, V는 모두 구조 MF⋊U⋊W를1 가진 3단계 그룹이며, 여기서F MuU는 M의 파생 서브그룹이다. 타입 II, III, IV 및 V로 분할되는 부분군은 다음과 같이 서브그룹 U의 구조와 내장 여부에 따라 달라진다.

  • 타입 II: U는 비종교 아벨리안이며 그 노멀라이저는 M에 포함되어 있지 않다.
  • 타입 III: U는 비종교 아벨리안이며 그 노멀라이저는 M에 포함되어 있다.
  • Type IV: U는 비아벨리안이다.
  • Type V: U는 사소한 것이다.

최대 하위그룹의 2종류를 제외한 모든 부류는 I형이지만, 2종과 2종, III종, IV종, V종 중 1종 등 2종류의 추가 부류가 있을 수 있다.

2단계. G의 인물론

X가 CA 그룹 G의 최대 아벨리안 서브그룹 A의 노멀라이저 H의 불가해한 문자라면, 그 커널에 A를 포함하지 않고 G의 Y 문자로 X를 유도할 수 있는데, 이는 반드시 불가해한 것은 아니다. G의 알려진 구조 때문에 G의 정체성 요소를 제외한 모든 부분에서 Y의 문자 값을 쉽게 찾을 수 있다. 이는 X와1 X가2 H와 Y와1 Y의2 그러한 수정 불가능한 두 문자라면 Y1 - Y는2 완전히 결정되고, 그 규범을 계산하면 G의 수정 불가능한 두 문자의 차이(이러한 문자를 H에 관해서 G의 예외적인 문자라고도 한다)라는 것을 알 수 있다. 계산된 논거는 G의 각 비독점적 성격이 G의 일부 최대 아벨계 하위집단의 정규화와 관련된 예외적 성격으로 정확히 한 번 발생한다는 것을 보여준다. 유사한 주장(그러나 아벨리안 홀 하위집단을 영점 홀 하위집단으로 대체)은 CN-이론의 입증에 작용한다. 그러나, 홀수 순서 정리 증명에서는, 부분군의 문자로부터 G의 문자를 구성하기 위한 주장은 훨씬 더 섬세하며, 최대 부분군의 구조가 더 복잡하고 투명성이 떨어지는 방식으로 내장되기 때문에, 문자 유도보다는 문자 고리 사이의 데이드 이등분법을 사용한다. 예외적인 문자 이론은 데이드 등각도를 확장하기 위한 일관성 있는 문자 집합의 이론으로 대체된다. 대략적으로 말하면, 이 이론은 관련 집단이 특정한 정밀한 구조를 갖지 않는 한 데이드 등위계를 확장할 수 있다고 말한다. 피터팔비(2000년)는 데이드, 시블리, 피터팔비 등으로 인한 인물론을 단순화했다.

3단계. 최종 모순

2단계까지 CA 그룹 G의 문자표에 대한 완전하고 정확한 설명을 하게 된다. 이것으로부터, 그리고 G가 홀수 순서를 가지고 있다는 사실을 이용하여, G에 대한 추정치를 얻고 G가 단순하다는 가정과 모순에 도달하기 위한 충분한 정보를 이용할 수 있다. 인수의 이 부분은 CN-그룹 사례에서도 비슷하게 작용한다.

Feit-의 증거에서-그러나 톰슨 정리, 이 단계는 (평소처럼) 훨씬 더 복잡하다. 캐릭터 이론은 1단계 이후 남은 가능한 구성들 중 일부만 제거한다. 먼저 그들은 1형의 최대 하위집단이 모두 프로베니우스 집단이라는 것을 보여준다. 모든 최대 하위 그룹이 타입 I인 경우 CN 사례와 유사한 주장은 그룹 G가 홀수 순서의 최소 단순 그룹이 될 수 없다는 것을 나타내며, 따라서 타입 II, III, IV 또는 V의 최대 하위 그룹의 클래스는 정확히 두 종류 있다. 나머지 증명의 대부분은 현재 이 두 종류의 최대 부분군 S와 T와 그들 사이의 관계에 초점을 맞추고 있다. 더 많은 문자 이론적 인수는 그들이 IV나 V 타입이 될 수 없다는 것을 보여준다. 두 부분군은 정확한 구조를 가지고 있다: 부분군 S는 pq×q×(pq–1)/(p–1) 순서이고, a는 규범 1을 가지고 있고 σ은 유한장의 자동화된 형태인 x→axσ+b 형식의 유한한 순서 p의q 기초 집합의 모든 자동화로 구성된다. 여기서 p와 q는 구별되는 프리타임이다. 최대 부분군 T는 p와 q가 뒤바뀐 구조가 유사하다. 부분군 S와 T는 밀접하게 연결되어 있다. p>>q를 취하면, 순서 S의 주기적 부분군q(p–1)/(p–1)이p 순서 T의 주기적 부분군 부분군에 결합됨을 알 수 있다. (특히 첫 번째 숫자는 두 번째를 나누므로 Feit-1)가 두 번째를 나눈다.톰슨 추측은 사실이고, 그것은 이것이 일어날 수 없다고 주장할 것이고, 이것은 이 시점에서 증거를 끝내는 데 사용될 수 있을 것이다. 그러나 그 추측은 아직 입증되지 않았다.)

그룹 G에 문자 이론을 적용한 결론은 G가 다음과 같은 구조를 가지고 있다는 것이다: (pq–1)/(p–1)가 p–1에 복사되는 primes p>q가 있고 G는 준간접 제품 PU에 의해 주어진 부분군을 가지고 있다. 여기서 P는 유한 순서 p의q 첨가 그룹이고 U는 그 norm 1의 요소들이다. 게다가 G 위해 전성기의은 Po는 교정된 동력과(Po는 교정된 동력)y을 정상화 U, 주문 페이지의 주( 들어 p=2 비슷한 구성이 그룹에서 SL2(2q 발생한다)의 유한한 분야의 욕창과 Po는 교정된 동력이다 가군, 위쪽 삼각형 매트릭스의 보렐 서브 그룹과 질서 3의 서브 그룹의 Q정규화를 일으킨abelian 서브 그룹 Q이 항목을 보강하는 스페인의 요소들을 가지고 있다. 에 의해Y)(0111){\displaystyle\scriptstyle y=\left({\begin{}smallmatrix 0&, 1\\1&, 1\end{smallmatrix}}\right)}.)이 마지막 사건을 제거하기 위해서, 톰슨입니다 나중에 그의 주장 벤더 &에 전재한 것이다. Peterfalvi(1984년)에 의해 간소화되었다 발전기와 관계의 무시무시하게 복잡한 조작을 사용했다.앰프, Glau버먼 1994). 증명서는 a와 2-a가 모두 규범 1을 갖는 유한 순서q p의 요소 세트를 검토한다. 먼저 이 세트에 1이 아닌 다른 요소가 하나 이상 있는지 확인한다. 그러면 그룹 G에서 발전기와 관계를 사용하는 다소 어려운 논쟁은 집합이 뒤집혀져 닫힌다는 것을 보여준다. a가 집합에 있고 1과 같지 않은 경우, 다항식 N(1~a)x+1)–1은 q를 가지며p, x→1/(2~x)가 집합을 자체로 매핑한다는 사실을 이용하여 F의 x 원소에 의해 주어진 최소한 p 구별되는 뿌리를 가지며, 따라서 p≤q는 가정 p>q와 모순된다.

홀수 사용

G그룹의 순서가 홀수라는 사실은 다음과 같이 증명의 여러 곳에서 사용되고 있다(Thompson 1963).

  • 홀-하이그만 정리는 이상한 질서의 그룹에 비해 더 날카롭다.
  • 홀수 순서 그룹의 경우, 모든 비주문 문자는 복잡한 결합 쌍으로 발생한다.
  • p-그룹에 대한 몇 가지 결과는 홀수 p에 대해서만 유효하다.
  • 만약 이상한 질서의 그룹이 3등급의 초등 아벨리아 하위그룹이 없다면, 그 파생된 그룹은 영약이다. ( 짝수 순서의 대칭 그룹 S에4 대해 실패함)
  • 성격 이론과 관련된 몇 가지 논쟁은 소수, 특히 소수에게 실패한다.

참조

  1. ^ "Feit–Thompson theorem has been totally checked in Coq". Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Archived from the original on 2016-11-19. Retrieved 2012-09-25.