객관적 스트레스율

전단하에서의 세 가지 객관적 응력률 예측

연속체 역학에서, 객관적 응력률은 ^[1]기준 프레임에 의존하지 않는 응력의 시간 미분이다.많은 구성 방정식은 응력률과 변형률 사이의 관계(또는 변형률 텐서)의 형태로 설계된다.재료의 기계적 반응은 기준 프레임에 의존해서는 안 된다.즉, 재료 구성 방정식은 프레임에 따라 달라야 한다(객관적).응력 및 변형률 측정값이 재료량일 경우 객관성이 자동으로 충족됩니다.그러나 그 양이 공간적인 경우에는 변형률이 객관적이어도 응력률의 객관성이 보장되지 않는다.

연속체 역학에는 수많은 객관적 응력률이 있으며, 모두 특수한 형태의 거짓말 유도체임을 보여줄 수 있다.널리 사용되는 객관적 스트레스율은 다음과 같습니다.

코시 응력 텐서의 Truesdell 비율,
코시 강세의 그린-나그디 속도
코시 강세의 자렘바-자우만 비율^[2]

인접한 그림은 재료 모델이 일정한 탄성 모듈리와 함께 저탄성인 단순 전단 테스트에서 다양한 객관적 비율의 성능을 보여줍니다.변위에 대한 전단 응력의 비율은 시간의 함수로 표시됩니다.세 가지 목표 스트레스 비율에 동일한 모듈리가 사용됩니다.자렘바-자우만 응력률에 ^[3]대해 관측된 가짜 진동은 분명합니다.이는 한 비율이 다른 비율보다 더 낫기 때문이 아니라 다른 목표 비율을 ^[4]가진 동일한 상수를 사용하는 것이 재료 모형의 오용이기 때문입니다.이러한 이유로,^{[citation needed]} 최근의 추세는 가능한 한 객관적인 스트레스 비율을 피하는 것이다.

코시 응력의 시간 도함수의 비객관성

단단한 차체 회전( $\$ boldsymbol ${\boldsymbol {Q}}$ {Q $})$ $하$ 에서 코시 응력 텐서 ${\boldsymbol {\sigma }}$ tensor\ $displaystyle\boldsymbol\$ sigma $}$ 는 다음과 같이 변환됩니다 ${\boldsymbol {\sigma }}$ .

{\boldsymbol {Q} = cdot {boldsymbol {Q} } } {{T} ~ {\boldsymbol {Q} } = cdot {\boldsymbol {Q} } {Q} } = boldsymboldsymbol {Q}

【{

displaystyle

\ bold

symbol

\

sigma }】

는

{\boldsymbol {\sigma }}

공간량이며, 변환은 텐서 변환의 규칙을 따르므로

{\boldsymbol {\sigma }}

\

bold symbol

\ sigma

}

】는

{\boldsymbol {\sigma }}

객관적입니다.하지만,

{d}{dt}({\boldsymbol {d})={r}={boldsymbol {Q}}\cdot {boldsymbol {Q}}\cdot {boldsymbol {Q}+{cdsymbol})ymbol {Q}\cdot {boldsymbol {sigma }\cdot {boldsymbol {Q}}^{T},

따라서 회전 속도가 0이 아니면 응력률은 객관적이지 않습니다.

,

Q(\

displaystyle\boldsymbol {Q})

는

{\boldsymbol {Q}}

일정합니다.

그림 1변형되지 않은 재료 요소 및 변형된 요소에서 잘라낸 요소 큐브.

상기의 물리적인 이해를 위해서, 그림 1의 상황을 고려해 주세요.그림에서 Cauchy(또는 참) 응력 텐서의 $S_{ij}$ 는 $S_{ij}$ Sij $(\$ {ij $S_{ij}$ 로 표시됩니다.이 텐서는 재료에서 잘라낸다고 가정한 작은 재료 요소에 가해지는 힘을 현재 변형된 것으로 설명하는 것으로, 재료의 강체 회전에 따라 달라지기 때문에 큰 변형에는 객관적이지 않다.재료 포인트는 초기 라그랑지안 $X_{i}$ $({$ 로 특징지어져야 합니다. 따라서 이른바 객관적 ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ S ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ j { $displaystyle }$ { $S$ } $_$ { i j $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ { $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ the the the $style \Delta S_{ij}=오버셋{S}_{ij}\Delta$ t $\Delta S_{ij}={\overset {\circ }{S}}_{ij}\Delta t$ ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ 은 요소 변형과 기능적으로 관련이 있는 S the ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ j ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ \ $displaystyle$ { $scirc }$ { $S$ $_$ { ij ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ } 。즉, 좌표 변환 ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ 강체 회전과 관련하여 S ${\overset {\circ }{S}}_{ij}$ i j { $style$ { $circ }$ { s $}$ _ { $ij$ }는 ${\overset {\circ }{S}}_{{ij}}$ 불변해야 하며 변형 시 동일한 재료 요소의 상태를 특성화해야 합니다.

목표 스트레스율은 두 가지 방법으로 도출할 수 있습니다.

텐셔너리 좌표 ^[5]변환에 의해, 유한 요소^[6] 교과서의 표준 방법
변형 텐서로 표현된 ^[7]^[8]재료의 변형 에너지 밀도(정의상 객관적)로부터 변화한다.

전자의 방법은 교훈적이고 유용한 기하학적 통찰력을 제공하는 반면, 후자의 방법은 수학적으로 더 짧고 에너지 절약을 자동으로 보장하는 추가적인 이점이 있다. 즉, 변형률 증가 텐서에 대한 응력 증가 텐서의 2차 작업이 정확함을 보장한다(작업 공역 요건).

코시 응력의 Truesdell 응력률

코시 응력과 두 번째 P-K 응력 사이의 관계를 피올라 변환이라고 합니다.이 변환은 §의 ${\boldsymbol {\sigma }}$ 풀백(\ $displaystyle\boldsymbol\sigma})$ 또는 ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {S}}$ S의 ${\boldsymbol {S}}$ 포워드(\ $displaystyle\boldsymbol {S})$ 로 ${\boldsymbol {S}}$ 나타낼 수 있습니다.

{S}=J~\phi^{*}[{\boldsymbol {s}}~{\boldsymbol {s}}=J^{-1}~\phi _{\boldsymbol {S}}}}

코시 스트레스의 Truesdell 속도는 두 번째 P-K 스트레스의 재료 시간 도함수의 피올라 변환입니다.우리는 이렇게 정의한다.

\displaystyle {\boldsymbol {\phi } = J^{-1}~\phi _{*} [{\dot {\boldsymbol {S}

확장하면

{\boldsymbol {F}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {C}i }[{\boldsymbol {\boldsymbol }

여기

서 Kirchhoff

{\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}

{\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}

J

{\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}

(

displaystyle

{ \

boldsymbol

{ } =

{\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}

J ~ { \

boldsymbol

{

}

)와

{\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}

Kirchhoff 강세 Lie 도함수는

displaystyle {\mathcal {L}_{\varphi}[{\boldsymbol {F}=\cdot \left[{\boldsymbol {d}{dt}}}}\left\boldsymbol {F}{-1}{\cdotsymbol}}{}}}{}}}{\}}}{\}}}}{\cdboldsymboldsymboldsymboldsymbol {\}}}}}

이 표현은 코시 스트레스의 Truesdell 비율에 대해 잘 알려진 표현으로 단순화할 수 있습니다.

코시 응력의 트루델 비율

{\displaystyle {\boldsymbol {l}}={\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}}\cdot {\boldsymbol {l}^{}}T}+{\text{tr}}({\boldsymbol {l}})~{\boldsymbol {sigma }})

{\boldsymbol {l}}

서

{\boldsymbol {l}}

l {\

displaystyle {l}}

은

{\boldsymbol {l}}

속도 구배입니다.

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

-

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

{\

displaystyle

{\

boldsymbol {F}}

=

cdot

{\

boldsymbol {

F

}

} {{-

1

증명

먼저

\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol {F}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\left(J~{\boldsymbol {D}{dt}})\left(J~{-1}\cdboldsymboldsymbol {F})

대괄호 안의 도함수를 확장하면

{\displaystyle{\begin{정렬}{\overset{\circ}{\boldsymbol{\sigma}}}&=J^{)}~{\boldsymbol{F}}\cdot({\dot{J}}일{\boldsymbol{F}}^{-1}\cdot{\boldsymbol{\sigma}}\cdot{\boldsymbol{F}}^{-T})\cdot{\boldsymbol{F}}^{T}+J^{)}~{\boldsymbol{F}}\cdot(J~{\dot{{\boldsymbol{F}}^{)}}}\cdot{\boldsymbol{\sigma}}\cdot{\boldsymbol{F}}^{-T}.)\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\&+J^{-1}~{\boldsymbol {F}\cdot (J~{\boldsymbol {F}^{-1}\cdot {\boldsymbol {F}{-T}}\cdot {\boldsymbol {F}^{-T}^{+})

또는,

boldsymbol {}+{\ {{\{{-1기호 {F}{-1}=J^{-1}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {{-1}}\cdotsymbol {{}T}}

지금이다,

{\{{-displaystyle {\boldsymbol {F}}}{-1}=boldboldsymbol {1}}

그러므로,

{

또는,

({displaystyle {{\boldsymbol {F}^{-1}}=-{\boldsymbol {l}}\cdot \cdot {\boldsymbol {l}}\boldsymbol {l}}\cdot \cdot {{\boldsymbol {F})^{-T}^{-t})T}\cdot {boldsymbol {F}}^{-T}

여기서 속도

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

l

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

- 1

{\boldsymbol {l}}={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}

{

displaystyle

{ l } =

dot

{

boldsymbol

{

F

} } \

cdot

{ F } （ {

F

} 。

또한 부피의 변화율은 다음과 같습니다.

{\displaystyle {J}=J~{\text{tr}}({\boldsymbol {d}})=J~{\text{tr}}({\boldsymbol {l}})})

{\boldsymbol {d}}

서 d

\

{\

boldsymbol {d}}

은

{\boldsymbol {d}}

변형 텐서 비율입니다.

그러므로,

\displaystyle {\boldsymbol {f}=J^{-1}~{\text{tr}}({\boldsymbol {l}})~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}{-1})T}\cdot {F}^{-T}\cdot {F}^{T}}

또는,

{\displaystyle {\boldsymbol {l}}={\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}}\cdot {\boldsymbol {l}^{}}T}+{\text{tr}}({\boldsymbol {l}})~{\boldsymbol {sigma }})

Truesdell 비율이 객관적이라는 것을 알 수 있습니다.

키르히호프 응력의 트뤼스델

키르히호프 스트레스의 트뤼스델 비율은 다음과 같은 점에 유의하여 얻을 수 있습니다.

{S}=\phi ^{*}[{\boldsymbol {S}}~{\boldsymbol {S}}=\phi _{*}[{\boldsymbol {S}}}}}

" " " "

{\boldsymbol {\phi }= {*}[\dot {\boldsymbol {S}}

「」는

{\boldsymbol {\boldsymbol {F}}=\cdot {\boldsymbol {S}\cdot {\boldsymbol {F}} {\cdot} {\boldsymbol {F}}T}=bold symbol {F}\cdot \left[{\boldac {d}{dt}}\left\bold symbol {F}^{-1}\cdot {bold symbol {F}{-T}\right}\cdot {boldsymbol {F}^{f}\}T}=mathcal {L}}_{\varphi }[{\boldsymbol {\boldsymbol {\varphi}}

${\boldsymbol {\tau }}$ ${\({$ 의

{\boldsymbol {\tau }}

Lie 도함수는 키르히호프 강세의 Truesdell 비율과 동일합니다.

위의 Cauchy 스트레스와 같은 과정을 따라, 우리는 다음과 같은 것을 보여줄 수 있다.

키르히호프 응력의 트뤼스델

{\boldsymbol {l}}={\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}}\cdot {\boldsymbol {l}^{}}T}

코시 응력의 그린-나그디 비율

이는 Lie 도함수(또는 코시 응력의 Truesdell 비율)의 특수한 형태입니다.코시 스트레스의 Truesdell 비율은 다음과 같습니다.

\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol {F}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\left(J~{\boldsymbol {D}{dt}})\left(J~{-1}\cdboldsymboldsymbol {F})

는 분분정정 we we we we we we we we we we we we가 있다

{\boldsymbol {F}}=\cdot {\boldsymbol {U}

{\boldsymbol {R}}

서

{\boldsymbol {R}}

R {\

displaystyle {R}}

은

{\boldsymbol {R}}

직교 회전 텐서(

{\boldsymbol {R}}^{-1}={\boldsymbol {R}}^{T}

{\boldsymbol {R}}^{-1}={\boldsymbol {R}}^{T}

{\boldsymbol {R}}^{-1}={\boldsymbol {R}}^{T}

{\boldsymbol {R}}^{-1}={\boldsymbol {R}}^{T}

{\boldsymbol {R}}^{-1}={\boldsymbol {R}}^{T}

{\

displaystyle {R}^-1} =

U

{\boldsymbol {U}}

{\

displaystyle {R}

{{

T

}}})

는 대칭

{\boldsymbol {U}}

, 양의 오른쪽 스트레치입니다.

U $=$ $({$ {\ $displaysymbol {$ U}}={ $mathit {1}}})$ 이라고 ${\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {{\mathit {1}}}}$ 가정하면 F ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}$ $({$ }={ $boldsymbol {F$ 이 됩니다. 또한 $J=1$ $J=1$ $=$ 1(\ $style$ J $=1$ $\$ displaystyle J=1)가 $J=1$ 없기 때문에 디스플레이 ${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\sigma }}$ $있습니다$ .실제 신체에 스트레칭이 없는 것은 아닙니다.이 단순화는 단지 객관적인 스트레스 비율을 정의하기 위한 것입니다.그러므로,

{\boldsymbol {R}=cdot \left[{\symbol {d}{dt}}\left\boldsymbol {R}}{-1}\cdot {\boldsymbol {R}\}\오른쪽}\cdot {\boldsymbol {R}{R}\t}\t}\t}\t}\t}\right}\cdmboldsymboldsymbol {R}\cdmbol {RT}=bold symbol {R}\cdot \left[{\boldac {d}{dt}}\left\bold symbol {R}{T}\cdot {bold symbol {R}}\right}\cdot {bold symbol {R}{R}^{right}T}

우리는 이 표현이 일반적으로 사용되는 Green-Naghdi 비율의 형태로 단순화될 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.

코시 응력의 그린-나그디 비율

{\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol}={\boldsymbol {\boldsymbol}+{\boldsymbol {\Omega}}}-{\boldsymbol {\cdsymbol}}}\cdot

{\boldsymbol {\Omega }}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}

서

{\boldsymbol {\Omega }}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}

{\boldsymbol {\Omega }}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}

{\boldsymbol {\Omega }}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}

{\boldsymbol {\Omega }}={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}

T

(

스타일 {\

boldsymbol {Omega

}} =

cdot

{\

boldsymbol {R}}

{{

T

{\

boldsymbol {R}

{\T}}.

★★★

파생상품 확장

{\boldsymbol {\boldsymbol {R}}=cdot {{\boldsymbol {R}}^{T}}\cdot {boldsymbol {sigma}\cdot {R}\cdot {boldsymbol {R}^{T}+{\boldsymbol {R}\cdot {boldsymbol {R}^{T}\cdot {boldsymbol {R}\cdot {boldsymbol {R}}^{T}+{\boldsymbol {R}\cdot {boldsymbol {R}^{T}\cdot {boldsymbol {R}}\cdot {boldsymbol {R}}^{T}

또는,

{\boldsymbol {\boldsymbol {R}}=cdot {{\boldsymbol {R}}^{T}}\cdot {boldsymbol {sigma}+{\boldsymbol {sigma}+{\boldsymbol {R}\cdot {boldsymbol {R}}^{T}

지금이다,

{\displaystyle {\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R}^{T = cdot bold symbol {mathit {1} }\cdot \cdot \{bold symbol {R}^{T}=-{\bold symbol {R}}\cdot {{\bold symbol {R}}^{{}}}}\cdotT}}}}}}:

그러므로,

{\boldsymbol {\boldsymbol {\cdot} {\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R}\cdot} {\boldsymbol {R} - {\cdot

각속도를 다음과 같이 정의하면

(\displaystyle {\boldsymbol {Omega}}={{boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{)T}}

일반적으로 사용되는 Green-Naghdi 비율의 형태를 얻을 수 있습니다.

{\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol}={\boldsymbol {\boldsymbol}+{\boldsymbol {\Omega}}}-{\boldsymbol {\cdsymbol}}}\cdot

키르히호프 응력의 그린-나그디 비율도 스트레칭이 고려되지 않기 때문에 다음과 같은 형태를 가진다.

{\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol}={\boldsymbol {\boldsymbol}+{\boldsymbol {\Omega}}}-{\boldsymbol {\cdsymbol}}}\cdot

자렘바-자우만 코시 응력률

코시 강세의 자렘바-자우만 속도는 리 도함수(트뤼스델 비율)의 추가적인 특성화이다.이 환율은 다음과 같은 형식이 있습니다.

자렘바-자우만 코시 응력률

(*displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol}}={\boldsymbol {w}}+{\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol}})

{\boldsymbol {w}}

서 w

\

{\

boldsymbol {w}}

은

{\boldsymbol {w}}

스핀 텐서입니다.

Zarmba-Jaumann 속도는 주로 두 가지 이유로 계산에서 널리 사용된다.

비교적 구현이 용이합니다.
대칭 접선 모듈리로 이어집니다.

스핀 ${\boldsymbol {w}}$ w {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol$ {w $}}($ 속도 구배의 스큐 부분)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

{\boldsymbol {w}}={{boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R}}{T}+{\frac {1}{2}}~{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}{-1}-{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {U}}}\cdot {\cdot}{{\boldsymbol {\cdmbol}}}}T}

순수 동작의

{\boldsymbol {w}}={{boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {R}}{T = 굵은 글씨 심볼 {Omega }

또는 변형률의 주요 방향이 일정하게 유지되는 비례 하중의 경우를 고려할 수 있다.이러한 상황의 예로는 원통형 막대의 축방향 하중이 있습니다.그 상황에서는

{\boldsymbol {U}}=bmatrix_{X}\&\lambda_{Y}\&\lambda_{Z}\end{bmatrix}}

.

{\dot} {\boldsymbol {U}}={bmatrix} {\dot {\dot }_{X}\&{\dot {\dotsymbol {U}}} {\}Y}\&{\dot\lambda}}_{Z}\end{bmatrix}

ㅇㅇㅇㅇ.

{\boldsymbol {U}}={bmatrix}1/\lambda_{X}\\&1/\lambda_{Z}\end{bmatrix}

""는

{\dot style {\boldsymbol {U}\cdot {\boldsymbol {U}^{-1}=begin {bmatrix} {\dot {\dot {x}/\lambda _{X}\&{\dot}\lambda }U^{-1}{\dot {U}}}

한 번

{displaystyle {\boldsymbol {w}}=cdot {\boldsymbol {R}{}=boldsymbol {\cdmbol {\cmbol}}{{{{\}}}}}}{{\cd}}}}}}{{\cdisplaystymbT} = 굵은 글씨 기호{\Omega}}

하면 in in in in in in in in in in in in in in in in in

{\{{\boldsymbol {R}}{\displaystyle {\boldsymbol {w}}\dot {\boldsymbol}\cdsymbol}R}}\cdot{\boldsymbol{R}}^{.T}}

{\{\}-{\ {w{\}= {\boldsymbolsymbol}\symbolsymbolsymbolsymbolsymbol =mbolsymbolsymbolsymbolsymbolsymbolsymbol}

객관적인 스트레스 비율 수 있는 무한한 다양성이다.그 중에 하나는 그 Oldroyd 스트레스 비율이다.

{\\left [ { \ {\ {\} {\ {1}cal \ mathcal } _ [ [ \ bold symbol } = bold symbol {F}}\cdot \left[{\cfrac{d}{dt}}\left({\boldsymbol{\boldsymbol})F}}^{-1}\cdot{\boldsymbol{\sigma}\cdot{\boldsymbol{\boldsymbol}F}}^{-T}\right)\cdot{\boldsymbol{\right}\cdotF}}^{.T}}

rate는 old간 old old 、 Oldroyd 음 old 、 Oldroyd 음 is 음음 음 in 음 in 음 in in in in in in in in in in in in in in in in in in by

{\{\displaystyledisplaystyledsyledown}{{{\boldsymboldsymboldsymbol}}}{{{\bol}}{\bol}}\cmbolmbol}{{\t{\bold symbol { }}^{ }^{ 。 T}}

만약 현재의 구성으로 표준 구성으로 추정된다 그때 중력 다시 밀고 전방 작전}FT{\displaystyle{\boldsymbol{F}}^{T}을 사용하여 F− T{\displaystyle{\boldsymbol{F}}^{-T}}각각 시행될 수 있다.그 코시 스트레스의 리 파생된 다음 대류 스트레스 비율이라고 불린다.

{\boldsymbol {\boldsymbol {F}{-T}\cdot \left[{\boldsymbol {F}}\cdot {dt}}{T}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\right}\boldsymbol {\f}\right

간단한 형태에서 대류 속도는 다음과 같이 주어진다.

{\ {{\{l}}+{\ {{lstyle {\boldsymbolcdsymboldsymbol {l}}}}}{\cdsymbolsymbol {l}}}}={ll}\cdl}\cdismbolcdisplaystymT}}

비탄성에서의 응력률

많은 재료가 가소성 및 손상으로 인해 비탄성 변형을 겪습니다.이러한 물질적 행동은 잠재력으로 설명할 수 없습니다.초기 초기 상태에 대한 기억이 존재하지 않는 경우가 종종 있는데, 특히 큰 변형이 ^[9]수반되는 경우이다.이러한 경우 구성 관계는 응력 및 변형 계산을 ^[10]쉽게 하기 위해 증분 형식으로 정의된다.

로딩

충분히 작은 하중 단계를 위해 재료 변형은 작은(또는 선형화된) 변형률 증가^[11] 텐서로 특징지을 수 있다.

left[{\display {e}=tfrac {1}{2}}\left[\boldsymblac {u}}}}})T}\right]\quad \equid e_{ij}=tfrac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})

\mathbf {u}

서

\mathbf {u}

u \

displaystyle \mathbf {u}

는

\mathbf {u}

연속체 점의 변위 증분입니다.시간 도함수

{\ {\}}{1} 2 left [ {\{\ { {tv} } \ ] ] ] ] ] {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ 、 、 \bla} {v} +((boldsymbol {v}} ^{tv} } } } {{{tv} qiv} ] } { { { { { { { { \ }

는 변형률 텐서(속도 변형률이라고도 함)이고 v

\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {u} }}

\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {u} }}

u

\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {u} }}

{

displaystyle \mathbf {v}

=

\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {u} }}

u dot

{mathbf {u}}

은 재료

\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {u} }}

점 속도 또는 변위율입니다.유한 변형의 경우, 세스-힐 패밀리(도일-에릭슨 텐서라고도 함)의 측정치를 사용할 수 있습니다.

\ _)} frac {displaystyle \mathbf E} _{(m)} = flac {1} {2m} = scap uf {2m})

\mathbf {U}

서 U

(\

는

\mathbf {U}

올바른 스트레칭입니다.이들 텐서의 2차 근사치는 다음과 같다.

\E} _ \약 + {\ {{ - {\e}\ {{blT}\cdbot \nabla \mathbf {u} - (1-m)\cdotsymbol {e} {cdboldsymbol} {e}

초기 Cauchy(또는 참) 스트레스 ${\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ 0 { style {\ $display$ { \ $sigma } _$ { 0 ${\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ } ${\boldsymbol {\sigma }}$ initial initial initial initial initial 、 \ $display$ style { \ $bold$ $symbol$ ${ sigma$ }} initial ${\boldsymbol {\sigma }}$ initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial initial 0 initial 0 0 $(\displaystyle$ W $)$ 는 $W$ 초기 상태에서 점진적으로 변형되는 동안 내부 힘에 의해 (유닛 초기 볼륨당) 처리됩니다.이때 변동량 $\delta W$ W \ $displaystyle$ \ $delta$ W는 $\delta \mathbf {u}$ $style$ u \ $displaystyle$ \ $delta$ \ $mathbf$ { $\delta \mathbf {u}$ 의 변동량에 해당하며 $\delta W$ 변위량변화는 변위경계조건을 만족하여야 한다.

S ${\boldsymbol {S}}_{(m)}$ ( ${\boldsymbol {S}}_{(m)}$ ) { $displaystyle$ { $\ boldsymbol$ { S} } _ { ( ${\boldsymbol {S}}_{(m)}$ m ) } be ${\boldsymbol {S}}_{(m)}$ 、 초기설정에서는 객관적인 응력 텐서로 ${\boldsymbol {S}}_{(m)}$ .초기 구성에 대한 응력 증가를 S ${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {S}}_{(m)}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ ( ${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {S}}_{(m)}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ ) - ${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {S}}_{(m)}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ 0 ( \ $display$ style \ \ bold $symbol$ { S } = symbol { $S$ } $_$ { ( m ) } - { \ $bold$ symbol { S $}$ ${\boldsymbol {P}}$ } $_$ ${\boldsymbol {P}}$ { { $0$ ${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {S}}_{(m)}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ 로 정의합니다.또한 $,$ P \ displaystyle \ syle \ syle \ $syl$ { syl { syl { symbold $symbol$ { Pol { Pol { Pol { Pol { Pol { Pol { Pol { Pol점등 시 응력 증가는 ${\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ ${\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ P - ${\$ ${\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ { $displaystyle$ { \ $bold$ symbol { T } = $bold$ symbol { $P$ } - { \ $bold$ symbol { P ${\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ } } $_$ { $0$ } 으로 ${\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ 할 수 있습니다.

된 작업의

일의 가 ''라고 표현될 수 .

W symbol\displaystyle W=display bold symbol {S}_m}) {P}:\delta f {P}:\display}

여기서 유한 변형률

{\boldsymbol {E}}_{(m)}

E

)

{{

display\

style\

boldsymbol

{\boldsymbol {\sigma }}^{(m)}

{

E}}_{(m)}}

는

{\boldsymbol {E}}_{{(m)}}

응력

)

{\

display\boldsymbol

{

sigma}}^{(m

확장,

{\boldsymbol }}rightdisplay {\{(m)}=\boldsymbol {\mbollaf}\laf}\laf}:\}\laflaf}\laf}\ldsymbol { mbol } \ private : \ private } \ l}

응력

{\boldsymbol {S}}_{(m)}

S (

{\boldsymbol {S}}_{(m)}

) \

displaystyle

\ bold

symbol { S

}

_

{ (

{\boldsymbol {S}}_{(m)}

m ) }의

{\boldsymbol {S}}_{(m)}

{\boldsymbol {S}}_{(m)}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}

은 좌표 회전에 따른 2차 텐서로서의 변환(주응력이 좌표 회전에 의존하지 않도록 함)과

{\boldsymbol {S}}_{(m)}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}

(

{\boldsymbol {S}}_{(m)}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}

m ) :

{\boldsymbol {S}}_{(m)}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}

E

{\boldsymbol {S}}_{(m)}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}

(

{\boldsymbol {S}}_{(m)}:\delta {\boldsymbol {E}}_{(m)}

) \

display style

\ boldsy }의 정확성에 의해 보장된다.

mbol {S}_{(m):\delta {boldsymbol {E}}_

2차 에너지 표현.

응력의 으로부터, 는 「코시 응력」이 있다.

{\\boldsymbol {}}displaystyle \boldsymbol {e}.\displaystyle \boldsymbol {e}:\boldsymbol {}, {}:\boldsymbol {},

{ \mathbf {udisplaystyle {S}:\delta \boldsymbol {E}_{m} \delnmbol {S}:\approxymbol {S}

확장 ★★★★★

\displaystyle {\boldsymbol {E}_{(m)}=\left[\frac {\ {E}_{(m)}}}}{\flac {\laff}\laff}:\laff}\}:\}\tmla \{\ff}:\}:\lac {\f}:\ff}:\laff}\la\f}\f}:\laff}\l

해서 방정식을 얻을 수 .

{E}_{(m)}}\left[\flac \partial \partial \mathbf {u}:\del \boldsymbol {S}:\del \mathbf {S}T:\delta \nabla \mathbf {u}

결과 방정식이 모든 변형 구배

\delta \nabla \mathbf {u}

u \

displaystyle

\

delta

\

nabla

\

mathbf { u

에 대해 유효해야 하는 변동 조건을 부과하여, 우리는

{\boldsymbol {\ \ {{\ {\la} {\bol} {\ {\f} {\f} {\f} {\f} {\la} {\f} {u}-{frac}-{frac} {boldsymbol} {bol} {f}

(1)

을 '먹다'라고 쓸 도 있어요.

{{displaystyle {S}_{(m)}=boldsymbol {P}-{\boldsymbol {P}_{0}:\boldsymbol {E}_{(m)}-{\frac}{\left}{\lf}}{\light}{\boldsymboldsymbol}}{\clmbol}}}{clap}{{\clap}}{{\clap}}{{{{{\clap}}}}}}}

(2)

코시 스트레스와 첫 번째 피올라-키르호프 스트레스는 다음과 관련이 있습니다(스트레스 측정 참조).

P{\F}^{\displaystyle {Pcdot {\boldsymbol {F}}^{T}J^{-1}=param\boldsymbol {P}+{\boldsymbol {P}}\cdot \cla \mathbf {u}^{}}JJ^{-1}}:

증분는, 「」「」「」, 「」,

Jdisplaystyle J^{-1}\displaystyle \cdot \mathbf {u}}

therefore그 、

\displaystyle \Delta \\boldsymbol {p} - {P} + {\boldsymbol {P} \cdot \mathbf {u}^{T} (1 - nab \ mathbot )}

{\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}={\boldsymbol {P}}

T +

{\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{0}={\boldsymbol {P}}

0

=

{\

displaystyle

{\

boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\bold }}_{0

}=

boldsymbol {P

\displaystyle \Delta \\boldsymbol {T} + {0} + {\boldsymbol {T} + {\cdot \nabla ^{n}}

{\boldsymbol {T}}

응력

{\boldsymbol {\sigma }}_{0}

0 {

display

style } {

bold

symbol {

T

{\boldsymbol {T}}

} σ

{\boldsymbol {T}}

0 { display style } {

sigma

}

_

{ 0

{\boldsymbol {\sigma }}_{0}

} to to incre incre incre increments incre incre incre ments for formentsmentsments

{\boldsymbol {T}}

for incrementsmentsments formentsments for for for for for for for for for for for for for

style}) ^, {\t} style}

(3)

(1)과(3)에서 볼 때,는 ㄴㄴ (1)을 (3)을 가지고 있습니다.

(\displaystyle {S}=\Delta {boldsymbol {S}+{\boldsymbol \cdot \mathbf {u}-{\boldsymbol {u}-{0}★★★★★★★★★★★★★★★★★★」

(4)

S $(\$ 는 ${\boldsymbol {S}}$ 응력 텐서 ${\boldsymbol {S}}_{(m)}$ m $)$ 의 ${\boldsymbol {S}}$ 을 기억하십시오(\displaystyle ${S}}_{(m$ 응력률 정의

t}{\displaystyle {S}=: {\boldsymbol {S}_m)}\Delta t}

라고 하는 점에 주의해 주세요.

t (\displaystyle\\boldsymbol\delta

방정식(4)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\boldsymbol {S}_{(m)}\Delta t+{\boldsymbol {0}(\cdot \mathbf {v})\델타-{(\boldsymbol}_0}){\ {right}{\boldsymbol {e}}}{\syslogla \mathbf {u}}}\right

(5)

$\Delta t\rightarrow 0$ t $\Delta t\rightarrow 0$ 0 $($ $스타일\Delta$ t $\rightarrow$ 0 $\Delta t\rightarrow 0$ 의 한계를 취하면, 이 ${\boldsymbol {\sigma }}_{0}={\boldsymbol {\sigma }}$ 에서 ${\boldsymbol {\sigma }}_{0}={\boldsymbol {\sigma }}$ 0 $=$ ${\boldsymbol {\sigma }}_{0}={\boldsymbol {\sigma }}$ \ $displaystyle$ { $bold$ $symbol$ $}_$ } = $bold$ bold symbol { $bald }}$ → boldbold bold boldbold bold bold bold bold ${\boldsymbol {E}}_{(m)}$ bold bold bold bold bold bold bold bold ${\boldsymbol {E}}_{(m)}$ bold bold bold bold bold bold bold bold bold bold bold ${\boldsymbol {E}}_{(m)}$ bold bold boldboldboldbold bold ${(m$

\displaystyle \boldsymbol {S}_{(m)}={boldsymbol \mathbf {v}-{\boldsymbol {v}-{\boldsymbol {v}}}-{\boldsymbol}}}{\boldsymboldsymbol}}}}}}{T}}\\right)\right],},}

(6)

여기서 ${\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t$ ${\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t$ ${\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t$ j ${\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t$ ${\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t$ ${\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t$ j / ${\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t$ t ${\dot {\sigma }}_{ij}=\partial \sigma _{ij}/\partial t$ \ $displaystyle$ { $dot$ { $dot } _$ { $ij$ } $=$ 응력의 재료 비율(즉, 초기 응력 상태의 라그랑지안 좌표 비율).

작업결합 스트레스율

Eq. (6)에 따라 관련된 정당한 유한 변형 ${\boldsymbol {E}}_{(m)}$ E $)({$ 가 ${\boldsymbol {E}}_{{(m)}}$ 존재하지 않는 속도는 에너지적으로 일관성이 없다. 즉, 그 사용이 에너지 균형을 위반한다(즉, 열역학 제1법칙).

$일반$ m {\ $m=2$ m $}$ 및 $m$ m $m=2$ 2 {\ $displaystyle$ m $=2$ 에 대한 Eq. (6)를 평가하면 목표 스트레스율에 ^[7]^[8]대한 일반식을 얻을 수 있습니다.

{\boldsymbol {S}_{(m)}=\boldsymbol {S}_{(2)+{\tfrac {1}{-m}[\boldsymbol {}}\cdot {\boldsymbol}_{(m}){T}

(7)

${\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(2)}$ 서 S ${\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(2)}$ ( $)({$ style { $display$ }{\ $boldsymbol$ { $S}}_{$ ( $2)})$ 는 ${\overset {\circ }{\boldsymbol {S}}}_{(2)}$ Green-Lagrangian 변형( $m=2$ $m=2$ { $style$ m $=2})$ 과 관련된 목표 스트레스 비율입니다.

특히,

$m=2$ $m=2$ $({displaystyle$ m $=2)$ 는 $m=2$ Truesdell의 스트레스 비율을 나타냅니다.
$m=0$ $m=0$ $(\displaystyle$ m $=0)$ 은 $m=0$ 키르히호프 스트레스의 자렘바-자우만 비율을 나타낸다.
$m=1$ $m=1$ $({displaystyle m=$ 1)은 $m=1$ Biot 스트레스 비율을 나타냅니다.

(m = 2는 전단좌굴에서 임계하중에 대한 Engesser의 공식으로 이어지고 m = -2는 임계하중을 100% 이상 차이가 나는 Haringx의 공식으로 이어진다.)

비작업공역 스트레스율

대부분의 상용 코드에 사용되며, 유한 변형률 텐서와 연계되지 않은 다른 비율은 다음과 같습니다.^[8]

자렘바-자우만 또는 코시 응력 비율:이는 자렘바-자우만 응력 비율과 달리 재료의 상대적 부피 변화 속도를 놓치는 것이다.많은 재료의 경우 이 용어가 무시할 수 있을 정도로 작고 압축되지 않은 재료의 경우 0이기 때문에 작업-공역성의 결여는 보통 심각한 문제가 아닙니다(그러나 폼 코어가 있는 샌드위치 플레이트의 함몰 시 이 비율은 30% 이상의 오차를 줄 수 있습니다).
코터-리블린 속도는 m $=$ - $({displaystyle$ m=- $2})$ 에 $m=-2$ 해당하지만 다시 체적 용어를 놓칩니다.
Green-Naghdi 환율:이러한 객관적 응력률은 부피 항이 누락되었을 뿐만 아니라 재료 회전 속도가 스핀 텐서와 정확히 동일하지 않기 때문에 어떤 유한 변형 텐서와도 공역되지 않는다.대부분의 응용 프로그램에서는 이러한 차이로 인한 에너지 계산 오류는 무시할 수 있습니다.단, 전단변형 및 회전이 ^[12]약 0.25를 초과하는 경우에는 큰 에너지 오류가 이미 입증되었음을 지적해야 한다.
올드로이드 비율

목표 비율 및 Lie 파생 모델

객관적 스트레스율은 또한 다양한 유형의 스트레스 텐서(즉, 코시 스트레스의 관련 공변량, 반변량 및 혼합 성분)와 이들의 선형 ^[13]조합의 Lie 도함수로 간주될 수 있다.Lie 도함수에는 워크-공역 개념이 포함되어 있지 않습니다.

접선 강성 모듈리 및 에너지 일관성을 달성하기 위한 변환

접선 응력-변형 관계는 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다.

{S}_{ij}^{(m)}=C_{ijkl}^{(m)}{\dot {e}_{filename}

(6)

$C_{ijkl}^{(m)}$ 서 $C_{ijkl}^{(m)}$ j $C_{ijkl}^{(m)}$ ( $C_{ijkl}^{(m)}$ m $){$ 은 $C_{{ijkl}}^{{(m)}}$ 변형 $\epsilon _{ij}^{(m)}$ $\epsilon _{ij}^{(m)}$ j $\epsilon _{ij}^{(m)}$ ( $\epsilon _{ij}^{(m)}$ m $){displaystyle$ \ $epsilon$ _ ${ij}^(m$ 과 관련된 접선 모듈리(4차 텐서의 성분)입니다.m $\display$ m $m$ 의 선택지에 따라 다르며 다음과 같은 관계가 있습니다.

\displaystyle \left [C_{ijkl}^{(m)}-C_{ijkl}^{(2)}-{\tfrac {1}{4}(2-m)(S_{ik}\delta_{jk}+S_{jk}+S_delta_{ijk}_{ijk}_{ijk}_ta_{{{{(m)

(7)

Eq. (7)가 모든 속도 $v_{k,l}$ v $,$ l {\ $displaystyle v_{k,$ l $v_{k,l}$ 에 대해 참이어야 한다는 사실로부터 다음과 같이 된다.^[7]

C_{ijkl}^{(m)}=C_{ijkl}^{(2)}+(2-m)[S_{ik}\delta _{jl}_{\mathrm {fil}},~[S_{ik}\delta _{jl}}_{\mathrm {frac {1}{4}}=delta _{jl}\delta _{jl}_{S}_{s

(8)

$C_{ijkl}^{(2)}$ 서 $C_{ijkl}^{(2)}$ $C_{ijkl}^{(2)}$ $C_{ijkl}^{(2)}$ l ( $C_{ijkl}^{(2)}$ $)({$ $displaystyle$ $C_{ijkl}^{(2)}$ C_{ $ijkl}^{(2)})})$ 은 $C_{{ijkl}}^{{(2)}}$ 녹색-라그랑주 $m=2$ ( $m=2$ $=$ 2 { $displaystyle m=$ $S_{ij}$ 2})과 관련된 접선 $S_{ij}$ , $S_{ij}$ j $(\$ $displaystyle S_{$ ij}) = current Cauchy styleress 및 $\delta _{ij}$ $i_i$ styledge style _style_i_stylearl}입니다 $.$

eq. (8)는 하나의 객관적 스트레스 비율을 다른 것으로 변환하는 데 사용할 수 있다. $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ j $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ $=$ ( $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ j $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ k $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ ) $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ e $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ l $S_{ij}{\dot {e}}_{kk}=(S_{ij}\delta _{kl})\delta e_{kl}$ { $display style$ S_ ${ij}{\dot {e}}=(S_{ij}\delta$ _{ $delta$ _{delta _{delta $})\$ display $e_{kk$ 이므로 변환은^[7]^[8] 다음과 같습니다.

C_{ijkl}^{\mathrm {conj} }=C_{ijkl}^{\mathrm {nonconj} }+S_{ij}\delta _{kl}

(9)

can further correct for the absence of the term $S_{ij}v_{k,k}$ (note that the term $S_{ij}\delta _{km}$ does not allow interchanging subscripts $ij$ with $kl$ , which means that its absence breaks the major symmetry of the tangential moduli tensor $C_{ijkl}^{\mathrm {nonconj} }$ ).

Large strain often develops when the material behavior becomes nonlinear, due to plasticity or damage. Then the primary cause of stress dependence of the tangential moduli is the physical behavior of material. What Eq. (8) means that the nonlinear dependence of $C_{ijkl}$ on the stress must be different for different objective stress rates. Yet none of them is fundamentally preferable, except if there exists one stress rate, one $m$ , for which the moduli can be considered constant.

External links

Objectivity in Classical Mechanics

References

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