무르난 방정식

무르난 방정식은 신체의 부피와 그것이 받는 압력 사이의 관계다.이것은 지구과학과 충격물리학에서 고압의 조건에서 물질의 행동을 모형화하기 위해 사용되어 온 많은 주 방정식 중 하나이다.그것은 프랜시스 D의 이름 덕분이다. 1944년 실험적으로 확립된 사실을 반영하기 위해 가능한 한 넓은 압력 범위에서 물질적 행동을 반영하자고 제안했던 무르난한^[1]: 고체는 압축될수록 더 압축하기 어렵다.

무르난 방정식은 특정한 가정 하에서 연속역학의 방정식에서 도출된다.여기에는 두 가지 조정 가능한 매개변수가 포함된다₀. 즉, 주변 압력에서 측정한^'₀ 압력 K와 관련된 첫 번째 파생상품이다.일반적으로 이러한 계수는 압력 P의 함수로서 실험적으로 얻은 V 부피 값에 대한 회귀에 의해 결정된다.이러한 실험 데이터는 X선 회절 또는 충격 시험을 통해 얻을 수 있다.회귀는 ab-initio 및 분자역학 계산에서 얻은 부피의 함수로서 에너지의 값에 대해서도 수행될 수 있다.

무르난 상태의 공식은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle P(V)={\frac {K_{0}}}}}}}}{K_{0}}}}}}}}}}왼쪽[\\frac({\frac {V}{V}}}}}\오른쪽)^{-K_{0}-1\,\,\,.}$

압축 시 볼륨 감소가 낮을 경우, 즉 V/V가₀ 약 90% 이상일 경우 Murnahan 방정식은 만족스러운 정확도로 실험 데이터를 모델링할 수 있다.더욱이 제안된 여러 가지 상태 방정식과 달리, 압력 V(P)의 함수로서 부피를 명시적으로 표현한다.그러나 그 유효성의 범위는 제한적이고 물리적 해석은 불충분하다.그러나 이러한 상태의 방정식은 고형 폭발물 모델에서 계속 널리 사용되고 있다.보다 정교한 상태 방정식 중에서 지구물리학에 가장 많이 사용되는 것은 버치-머너한 상태의 방정식이다.금속과 합금의 충격물리학에서 널리 사용되는 또 다른 상태 방정식은 미에-그뤼네젠 상태 방정식이다.

배경

지구 내부 층의 구성 요소들의 기계적 성질에 대한 지식을 통한 지구의 내부 구조에 대한 연구는 극한 조건들을 포함하고 있다; 압력은 수백 기가파스칼로, 온도는 수천 도로 셀 수 있다.이러한 조건 하에서 물질의 성질에 대한 연구는 정적 압력에 대한 다이아몬드 앤빌 셀과 같은 장치를 통해 또는 물질이 충격파에 노출되도록 함으로써 실험적으로 수행될 수 있다.그것은 또한 상태 방정식을 결정하기 위한 이론적인 작업을 발생시켰다. 즉, 이 경우에 물질의 상태를 정의하는 다른 변수들 간의 관계, 즉 부피(또는 밀도), 온도 및 압력이다.

두 가지 접근법이 있다.

• 원자간 전위 또는 초기 계산에서 도출된 상태 방정식
• 주 방정식 역학과 열역학의 일반적인 관계에서 파생되었다.무르난 방정식은 이 두 번째 범주에 속한다.

수십 개의 방정식이 여러 저자에 의해 제안되어 왔다.^[2]이것들은 경험적 관계이며, 질과 관련성은 그것의 사용에 따라 달라지며, 관련된 독립된 매개변수의 수, 이러한 매개변수에 할당될 수 있는 물리적 의미, 실험 데이터의 품질, 그리고 기초가 되는 이론적 가정의 일관성 등 다른 기준으로 판단할 수 있다.고형질의 행동을 높은 압축력으로 추정할 ^[3]수 있는 능력

상태 방정식에 대한 식

일반적으로 일정한 온도에서 벌크 계수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle K=-V\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial V}\오른쪽)_{T}}$

P와 V를 연결하는 상태 방정식을 얻는 가장 쉬운 방법은 K가 고체의 압력과 변형과는 무관하게 일정하다고 가정하면 간단히 후크의 법칙을 찾을 수 있다.이 경우 압력에 따라 부피가 기하급수적으로 감소한다.이는 고체가 압축될수록 압축이 어려워진다는 것이 실험적으로 확립되어 있기 때문에 만족스러운 결과가 아니다.더 나아가기 위해서는 압축에 의한 고체의 탄성 성질의 변화를 고려해야 한다.

Murnahan이라는 가정은 벌크 계수가 압력의 선형 함수라고 가정하는 것이다.^[1]

${\displaystyle K=K_{0}+P\ K_{0}'}$

무르난 방정식은 미분 방정식의 통합의 결과물이다.

${\displaystyle P(V)={\frac {K_{0}}}}}{{K_{0}}}}}}}}\왼쪽[{\frac {V}{V}}}}\오른쪽)^{-K_{0}-1\right]}}$

또한 압력에 따라 볼륨을 표현할 수도 있다.

$V(P)=V_{0}\왼쪽[1+P\왼쪽({\frac {K'_{0}}{{0}}}\오른쪽)^{-1/K'_{0}}}$

그러나 이 단순화된 발표는 푸아리에에 의해 엄격함이 결여되어 있다는 비판을 받고 있다.^[4]같은 관계를 계량생산물의 비압축성과 열팽창계수가 주어진 재료의 압력에 의존하지 않는다는 사실과 다른 방식으로 나타낼 수 있다.^[5]이 상태의 방정식은 또한 일정한 권력 관계를 갖는 오래된 폴리트로프 관계의 일반적인 경우다.

어떤 상황에서는 특히 ab initio 계산과 관련하여 볼륨의 함수로서 에너지의 표현이 선호될 것이며,^[7] 이는 관계 P = -dE/dV에 따라 위의 방정식을 통합함으로써 얻을 수 있다. 3과 다른 K에^'₀ 기록할 수 있다.

$[\displaystyle E(V)=E_{0}+K_{0}\,V_{0}\left[{\frac {1}{K_{0}'(K_{0}'-1)}}\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{1-K_{0}'}+{\frac {1}{K_{0}'}}{\frac {V}{V_{0}}}-{\frac {1}{K_{0}'-1}}\right].}$

무르난 방정식의 파생 상태:

고체는 일정한 평형 부피 ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 0${\$을 가지며, 부피가 그 값에서 소량 증가 또는 감소함에 따라 에너지는 2차적으로 증가한다.부피에 대한 에너지의 가장 단순한 그럴싸한 의존은 조화 고형질일 것이다. ${\displaystyle E=E_{0}+{\frac {1}{1}{2}}K_{0}{\frac {(V-V_{0})^{2}}{V_{0}}}}.}$ 다음으로 간단한 합리적인 모델은 일정한 벌크 계수를 갖는 것이다. ${\displaystyle K_{0}=-V\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial V}\오른쪽)_{T}}$ 통합 제공 ${\displaystyle P=K_{0}\ln(V_{0}/V).\,}$ ${\displaystyle V=V_{0}\exp(-P/K_{0}).\,}$ ${\displaystyle E=E_{0}+K_{0}\왼쪽(V_{0}-V+V\ln(V/V_{0})\오른쪽).\,}$ 보다 정교한 국가 방정식은 프랜시스 D에 의해 도출되었다. 1944년[1] 존스홉킨스 대학의 무르난 한.우선, 우리는 압박감을 고려한다. ${\displaystyle P=-\왼쪽({\frac {\partial E}{\partial V}\오른쪽)_{S}\qquad(1)$ 그리고 부피계 ${\displaystyle K=-V\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial V}\오른쪽)_{T}.\qquad(2)}$ 실험적으로 벌크계압파생성 ${\displaystyle K'=\왼쪽({\frac {\partial K}{\partial P}\오른쪽)_{T}\qquad (3)}$ 압력에 의해 거의 변하지 않는 것으로 밝혀졌다.$K$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을 상수로 삼으면, ${\displaystyle K=K_{0}+K'_{0}}}P\qquad (4)}$ 여기서 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 $P{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle P=0.}$일 때 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 값이며$$, 이를$$ (2)와 동일시하고 재배열할 수 있다. ${\displaystyle {\frac {dV}{V}=-{\frac {dP}{K_{0}+K'_{0}P}}.\qquad (5)}$ 이 결과를 에 통합 ${\displaystyle P(V)={\frac {K_{0}{0}}\좌측(\frac {V_{0}}{V}\우측)^{K'_{0}-1\우측)\qquad(6)}$ 또는 동등하게 $V(P)=V_{0}\왼쪽(1+K'_{0}{\frac {P}{K_{0}}\오른쪽)^{-1/K'_{0}.\qquad (7)}$ $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T=0}$일 때 (6) ${\displaystyle E}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ -$v$ P d ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E=E_{0$}-\$int$P\,dV$}$로 대체하면 에너지$$ 상태의 방정식이 발생한다. $[\displaystyle E(V)=E_{0}+{\frac {K_{0}V}{K_{0}'}}\left({\frac {(V_{0}/V)^{K_{0}'}}{K_{0}'-1}}+1\right)-{\frac {K_{0}V_{0}}{K_{0}'-1}}.\qquad (8)}$ 많은 물질은 $약{\displaystyle {}_{}^{}}$ 3.5의$$ K 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 상당히 상수 ${\displaystyle K_{}^{}}$를 가지고 있다.

장점과 한계

무르난 방정식은 단순함에도 불구하고 K₀/2의 순서로 상당히 클 수 있는 압력 범위에 대한 실험 데이터를 재현할 수 있다.^[8]V/V₀ 비율이 약 90% ^[9]이상 유지되기 때문에 만족스러운 상태를 유지한다.이 범위에서 무르난 방정식은 볼륨을 압력의 함수로 표현하고자 할 경우 다른 주 방정식에 비해 유리하다.^[10]

그럼에도 불구하고, 다른 방정식은 더 나은 결과를 제공할 수 있고 몇몇 이론적이고 실험적인 연구는 무르난 방정식이 많은 문제들에 대해 불만족스럽다는 것을 보여준다.따라서 V/V₀ 비율이 매우 낮아지는 정도까지 K는^' 5/3으로 간다고 이론은 예측한다.페르미 한계.^[10][11]그러나 무르나한 방정식에서 K는^' 일정하며 초기 값으로 설정된다.특히 K^'₀ = 5/3 값은 어떤 상황에서는 이론과 일관되지 않게 된다.사실, 외삽을 했을 때, 무르난 방정식에 의해 예측된 행동은 꽤 빨리 일어날 가능성이 없어진다.^[10]

이러한 이론적 주장과 무관하게 경험은 K가^' 압력에 따라 감소한다는 것을, 즉 다시 말해 불압력계 K의^" 두 번째 파생상품이 엄격히 부정적이라는 것을 분명히 보여준다.같은 원리(다음 절 참조)에 근거한 2차 순서 이론은 이 관측을 설명할 수 있지만, 이 접근법은 여전히 만족스럽지 못하다.실제로 압력이 무한대로 작용하는 한계에서 음의 벌크 계수로 이어진다.사실 이것은 어떤 다항식 확장을 선택하든지 간에 언제나 무한대로 분산되는 지배적인 용어가 있을 것이기 때문에 어쩔 수 없는 모순이다.^[3]

이러한 중요한 한계로 인해 W. 홀자펠은 "물리적 정당성이 없는 유용한 수학적 형태"^[12]라고 부르는 무르난 방정식을 포기하게 되었다.실제로 압축 데이터의 분석은 보다 정교한 상태 방정식을 사용하여 이루어진다.과학계에서 가장 일반적으로 사용되는 것은 수집된 데이터의 질에서 두 번째 또는 세 번째 순서로 버치-무르나한 방정식이다.^[13]

마지막으로, 이러한 유형의 상태 방정식의 매우 일반적인 제한은 용해 압력과 온도에 의해 유도되는 위상 전환뿐만 아니라 압력에 기초한 밀도와 부피 계수에 급격한 변화를 일으킬 수 있는 다중 고체 전환도 고려하지 못하는 것이다.^[3]

예

실제로 무르난 방정식은 데이터 집합에 대해 회귀 분석을 수행하는 데 사용되며, 여기서 계수 K와₀ K의^'₀ 값을 얻는다.이러한 계수를 얻어서 주변 조건에 대한 부피의 값을 알게 되면 우리는 원칙적으로 어떤 압력에 대해서도 부피, 밀도 및 부피 계수를 계산할 수 있다.

데이터 세트는 대부분 적용 압력의 다른 값에 대한 일련의 볼륨 측정으로, 대부분 X선 회절에 의해 얻어진다.또한 이론적 데이터에 대한 작업을 통해 ab initio 방법에 의해 부피의 다른 값에 대한 에너지를 계산한 다음 이러한 결과를 역행하는 것도 가능하다.이것은 실험 결과와 비교할 수 있는 탄성 계수의 이론적 가치를 제공한다.

아래 표에는 획득한 모델의 품질에 대한 편견 없이 무르나한 방정식을 사용하여 수행된 일부 수치 분석을 설명하는 유일한 목적이 있는 다양한 소재의 결과 중 일부가 나열되어 있다.이전 섹션에서 무르난 방정식의 물리적 의미에 대해 제기되었던 비판을 감안할 때, 이러한 결과는 신중하게 고려되어야 한다.

재료	${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$GPA)	${\displaystyle K'_{0}}$
NAF[5]	46.5	5.28
NaCl[5]	24.0	5.39
나브르[5]	19.9	5.46
나이[5]	15.1	5.59
MGO[8]	156	4.7
칼카이트(CaCO3)[14]	75.27	4.63
마그네사이트(MgCO3)[15]	124.73	3.08
실리콘 카바이드(3C-SiC)[16]	248	4.0

확장 및 일반화

모델을 개선하거나 위에서 설명한 비판을 피하기 위해 무르난 방정식의 몇 가지 일반화가 제안되었다.그들은 보통 단순화된 가정을 버리고 또 다른 조정 가능한 매개변수를 추가하는 것으로 구성된다.이것은 정교함의 자질을 향상시킬 수 있지만, 복잡한 표현으로 이어질 수도 있다.이러한 추가 파라미터의 물리적 의미에 대한 문제도 제기된다.

가능한 전략은 $이전{\displaystyle }$ 개발에서 K${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ K ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$PK_${0}'+P^{2$}을(를) 필요로 하는 추가 용어 P를² 포함시키는 것이다.^[17][18]$}}K_{0$ 이 미분 방정식을 풀면 2차 무르나한의 방정식이 나온다.

${\displaystyle P(V)=2{\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[{\frac {\Gamma }{K_{0}'}}\,{\frac {\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\Gamma }+1}{\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\Gamma }-1}}-1\right]^{-1}}$

어디 Γ 2)K0′ 2− 2K 0K0″>0{\displaystyle \Gamma ^{2}=K_{0}'^{2}-2K_{0}K_{0}">0}일 경우. 발견 자연스럽게에 처음 주문은 방정식을 K0″)0{\displaystyle K_{0}"=0}. 개발로 주문 2보다 클 가능성 있는에서 principle,[19]에 비용까지 추가한 조정 가능한 매개 변수 f또는 각기rm.

기타 일반화를 인용할 수 있다.

• Kumari와 Dass는 K = 0이라는 조건을 포기하고 압력과 무관하게 보고서 K/K를 가정하여 일반화를 제안했다.^[20]
• 쿠마르는 볼륨 함수로서 앤더슨 파라미터의 의존성을 고려하여 일반화를 제안했다.이후 이 일반화된 방정식은 새로운 것이 아니라 오히려 태트 방정식으로 환원할 수 있다는 것이 밝혀졌다.^[5][21]

참고 및 참조

참고 문헌 목록

• Poirier, J.P. (2002), Introduction to the physics of the Earth's interior, Cambridge University Press, ISBN 9780521663922
• Silvi, B.; d'Arco, P. (1997), Modelling of Minerals and Silicated Materials, Kluwer Academic Publishers, ISBN 9780792343332
• MacDonald, J.R. (1969), "Review of Some Experimental and Analytical Equations of State", Reviews of Modern Physics, 41 (2): 316–349, Bibcode:1969RvMP...41..316M, doi:10.1103/revmodphys.41.316

참고 항목.

• 상태 방정식
• 버치-무르난 방정식
• 로즈-비넷 상태 방정식
• 폴리트로프

외부 링크

• 무르나한 방정식을 비롯한 여러 상태의 방정식에 대한 실험 데이터와 계산 관계 P(V)의 미세화를 위한 프로그램인 EosFit.