밀너 지도

수학에서 밀너 지도는 존 밀너(John Milnor)를 기리기 위해 명명되는데, 그는 그의 저서 '복합 하이퍼퍼페이스의 특이점'(Princenton University Press, 1968)과 그 이전의 강의에서 위상과 대수 기하학을 소개했다.가장 많이 연구된 밀너 지도는 실제로 섬유질이며, 밀너 진동이라는 문구는 수학 문헌에서 더 흔히 접하게 된다.이들은 단수공간의 매끄러운 변형의 위상과 관련된 수치적 불변성을 구축하여 격리된 특이점을 연구하기 위해 도입되었다.

정의

$f(z_{0},\dots ,z_{n})$ $f(z_{0},\dots ,z_{n})$ $f(z_{0},\dots ,z_{n})$ , $f(z_{0},\dots ,z_{n})$ … , $f(z_{0},\dots ,z_{n})$ n $f(z_{0},\dots ,z_{n})$ ) $f(z_{0},\dots,z_{n}}$ 을 $n+1$ (를) $n+1$ + $n+1$ ${\displaystyle n+1$ } 복합 $z_{0},\dots ,z_{n}$ z $z_{0},\dots ,z_{n}$ , $z_{0},\dots ,z_{n}$ z $z_{0},\dots ,z_{n}$ , z ${\$ 의 $z_{0},\dots ,z_{n}$ 비정규정 다항식 함수로 한다 $f(z_{0},\dots ,z_{n})$ .

f(z)\\{\text{\}\}\\\frac {\frac {\f}{\property z_{i}}}(z)

원점에만 있으며, 이는 관련 품종 $X=V(f)$ = $X=V(f)$ ( f $X=V(f)$ ) $X=V(f)$ 이(가) 원점에서 매끄럽지 않다는 $X=V(f)$ 것을 의미한다.Then, for $K=X\cap S_{\varepsilon }^{2n+1}$ (a sphere inside $\mathbb {C} ^{n+1}$ of radius $\varepsilon >0$ ) the Milnor fibration^[1]^{pg 68} associated to $f$ is defined as the map

\phi \colon (S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus K)\to S^{1}\ {\text{ sending }}\ x\mapsto {\frac {f(x)}{ f(x) }}

,

충분히 작은 $\varepsilon$ $\varepsilon$ 을(를) 위한 국소적으로 사소한 매끄러운 진동이다 $\varepsilon$ 원래 이것은 밀너에 의해 정리로서 증명되었지만, 후에 밀너 진동의 정의로 받아들여졌다.다음부터 잘 정의된 지도라는 점에 유의하십시오.

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

(

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

)

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

=

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

( x

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

) = f (

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

)

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

(

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

(

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

)

{\

여기서 $\operatorname {Arg} (f(x))$ $\operatorname {Arg} (f(x))$ ( $\operatorname {Arg} (f(x))$ ( $\operatorname {Arg} (f(x))$ ) ${\displaystyle \operatorname {Arg}(f(x)})$ 은 복잡한 $\operatorname {Arg} (f(x))$ 숫자의 인수다.

역사적 동기

그러한 지도를 연구하기 위한 최초의 동기 중 하나는 실제 4차원 공에 이형화된 평면 곡선의 단일한 지점을 중심으로 $\varepsilon$ ${\디스플레이$ 스타일 $\var렙실론}$ -볼을 $\varepsilon$ 가지고 3-sphere 내부의 1 manifold인 경계 안쪽의 매듭을 살펴봄으로써 형성된 매듭의 연구였다.이 개념은 고립된 특이점을 가진 하이퍼퍼페이스를 일반화할 수 있었기 때문에 밀노르는 주제를 소개하며 자신의 정리를 증명했다.

대수 기하학에서

대수 기하학의 또 다른 폐쇄적인 관련 개념은 고립된 초지형 특이성의 밀너 섬유다.이것은 유사한 설정을 가지고 있는데, $f=0$ 서 f $f=0$ = $f=0$ ${\displaystyle f$ $}$ 이 $($ 가) 있는 $f$ 다항식 f ${\displaystyle$ f $=0$ }이(가) 원점에 특이점을 가지고 $f=0$ 있지만, 지금은 다항식 $f$ 가(가) 있다.

f_{t}\colon \mathb {C} ^{n+1}\mathb {C} \ {\text{{}}\{{0},\ldots ,z_{n}}}\mapsto f(z_{0},\ldots,z_{n}-t}-t})

고려되고 있다.그런 다음 대수학 밀노르 섬유는 $f_{t\neq 0}$ $f_{t\neq 0}$ 0 $[\$ 0 $}}$ 의 하나로 취한다 $f_{t\neq 0}$

속성 및 정리

병렬성

Milnor 섬유에 대한 기본적인 구조 이론 중 하나는 그것들이 평행할 수 있는^[1]^{pg 75} 다지관이라는 것이다.

호모토피형

밀너 섬유는 구체의^[1]^{pg 78} 부케의 호모토피 타입을 가지고 있기 때문에 특별하다.이 구들의 수는 밀너 수다.사실, 구들의 수는 그 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

\mu(f)={\text{dim}}_{\mathb {C}{}{\frac {\mathb {C}[z_{0},\ldots,z_{n}]}{\operatorname {Jac}(f)},},}

여기서 인용 이상은 부분파생상품 $\partial f/\partial z_{i}$ f / $\partial f/\partial z_{i}$ $\partial f/\partial z_{i}$ $\partial f/\partial z_{i}$ ${\$ 에 의해 정의되는 Jacobian 이상이다 $\partial f/\partial z_{i}$ 대수학 밀너 섬유로 변형된 이 구들은 진동의^[1]^{pg 83} 소멸 사이클이다.불행히도, 그들의 단조로운 고유값을 계산하는 것은 계산적으로 어려운 일이며 b-기능과^[2]^{pg 23} 같은 고급 기술이 필요하다.

밀노르의 진동 정리

Milnor의 Fibration Organization은 $모든$ f $f$ 에 $f$ 대해 원점이 $V_{f}$ V $V_{f}$ ${\$ 특히 두 변수 $f$ 중 비정규적인 사각형 $다항식$ f {\ $displaystystyle f}$ 에 대해)의 단수점이며 $,$ $\epsilon$ 다음 {\ $displaystystystystystytypthil$ 충분히 $\epsilon$ 작은 $}$ 에,

{\dfrac{f}{f}{f}}}{f}}}}{f}}}}{f}}}{{barepsilon }^{2n+1}\setminus V_{f}\right)\to S^{1}:{1}

진동이요각 섬유는 실제 치수 $[\displaystyle 2n}$ 의 비복합 차별화 다지관이다 $2n$ 각 섬유들의 폐쇄는 경계가 있는 콤팩트 다지관이다.여기서 경계는 V $V_{f}$ ${\$ 와 $(2n+1)$ 1) ${\displaystyle (2n+1$ ) -sphere $($ 반경이 충분히 작음)의 $V_{f}$ 교차점에 해당하므로 실제 치수 다지관 $(2n-1)$ - $(2n-1)$ ) ${\displaystyle (2n-1)$ 더 나아가, M이라고 하는 이 콤팩트 다지관이다 $(2n-1)$ ilnor fiber (of the isolated singular point of $V_{f}$ at the origin), is diffeomorphic to the intersection of the closed $(2n+2)$ -ball (bounded by the small $(2n+1)$ -sphere) with the (non-singular) hypersurface $V_{g}$ where $g=f-e$ = $g=f-e$ - $g=f-e$ $g=f-e$ 및 $g=f-e$ e $e$ 은 $e$ (는) 충분히 작은 0이 아닌 복합 수입니다.이 작은 초면 조각은 밀너 섬유라고도 불린다.

다른 반지름의 밀너 지도는 항상 섬유질인 것은 아니지만, 여전히 많은 흥미로운 성질을 가지고 있다.대부분의 (그러나 전부는 아님) 다항식의 경우, 무한도(즉, 충분히 큰 반지름에서)의 밀너 지도는 다시 진동이 된다.

예

$f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ 반지름에서든 $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ f $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ , $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ ) $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ = $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ 2 $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ + $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ ${\$ 의 밀너 지도는 진동이므로, 이 구조는 삼포일 매듭에 섬유로 된 매듭으로 그 구조를 부여한다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c ^d Dimca, Alexandru (1992). Singularities and Topology of Hypersurfaces. New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4612-4404-2. OCLC 852790417.
^ Budur, Nero. "Multiplier ideals, Milnor fibers, and other singularity invariants" (PDF). Archived from the original (PDF) on 6 March 2019.

Milnor, John W. (1968), Singular points of complex hypersurfaces, Annals of Mathematics Studies, No. 61. Princeton University Press, Princeton, NJ; University of Tokyo Press, Tokyo, ISBN 0-691-08065-8

[:0-1] Dimca, Alexandru (1992). Singularities and Topology of Hypersurfaces. New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4612-4404-2. OCLC 852790417.

[2] Budur, Nero. "Multiplier ideals, Milnor fibers, and other singularity invariants" (PDF). Archived from the original (PDF) on 6 March 2019.

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