쿠네르스의 알고리즘

Kunerth의 알고리즘은 ^[1][2]숫자의 모듈러 제곱근을 결정하는 알고리즘입니다.알고리즘은 계수의 인수분해를 필요로 하지 않으며, 암호의 소수가 되는 경우 보통 쉬운 모듈러 연산 1개뿐입니다.

찾기 위해서.

${\displaystyle y^{2}{\bmod {N}}}$

다음 단계를 수행합니다.

1) r ${\displaystyle \pm \sqrt{}}$ ± ${\displaystyle \sqrt{N}mod}$ ( ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle mod{}^{}}$ $){$ $displaystyle r$ \ $equiv { \ sqrt$ \ $pm$ N$}{$ \ $bmod${ $N$}}의 모듈러 제곱근을 찾습니다.${\displaystyle 원래}$ 계수가 아무리 ${\displaystyle 크더라도}$ 2 N$${ \ $display$ y ^$2$} $mod$ { n } { n$$} } } $1$ 1 。

2) ${\displaystyle {w\mathrm{}}^{}}$ 2 $=$ A${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle Bz}$ z +$$ $displaystyle$ w$^{2$}=$A*z^{2}+B*z+$C$\})$의$$모듈러 $제곱근$과 관련된 2차 방정식을 푼다.쿠네르스의 원본 논문 예시는 대부분 C를 자연 제곱으로 하여 z를 0으로 설정함으로써 이 방정식을 푼다.

다음 방정식을 확장하여 2차 방정식을 구하시오

${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle mod}$ N${\displaystyle b}$B {\$display$ y$^{2}{\bmod {N}}\equiv$ B$}$일 $경우{\displaystyle {}^{}}$

$((B*z+r)^{2}\pm N)/B==w^{2}}$

위의 방정식에서 N항(계수)을 조정하면 항상 2차 문제를 해결할 수 있습니다.따라서

${\displaystyle((B*z+r)^{2}+(B*F+N)/B==w^{2}}$

는 A of${\displaystyle }$z${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle Dz}$z +${\displaystyle C}$ +$$({$displaystyle$ A$*z^{2}+D*z+C+F})$의 2차를 보증합니다.

그런 다음 F를 조정하여 C+F가 정사각형임을 확인할 수 있습니다.${\displaystyle 67}$ ${\displaystyle \mathrm{mod}}$ 67${\displaystyle f}$F + ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ A ${\displaystyle 260}$ ${$ $displaystyle${ $sqrt {67}} {\ bmod$ {67*F$+$RSA260}}과 같은 꽤 큰 모듈라도 이 방법을 통해 신속하게 제곱근을 얻을 수 있습니다.

예를 들어 (${\displaystyle \mathrm{67z}}$+${\displaystyle {}^{}r}$ )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle R}$ S ${\displaystyle \mathrm{A}}$260${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ( ${\displaystyle Y67}$ 67$$ \ $displaystyle ((67z$+ $r)^{2}$ + $X*$RSA260) / ($Y*67)$ }${\displaystyle }$에서는 다항식 팽창의 파라미터는 매우 유동적이다.( ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle Xr}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm{A}}$ 260${\displaystyle )}$/ ( ${\displaystyle y67}$ 67$$ { $display$style ( $r$^ {2} $+ X$ * RSA 260 ) / ($y$ * $67$ )$$} 이$$ 정사각형이 되도록${\displaystyle }$X 와 Y 를 설정하는 것은 매우 간단합니다.${\displaystyle 모듈러}$ $제곱근{\displaystyle \sqrt{}}$ y ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathrm{67}}$ ${\displaystyle \mathrm{mod}}$R S A $260$ {$displaystyle${ $sqrt$ { y *$67$}} { \ bmod { RSA260$$은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

3) 관련된 2차 방정식을 풀면 변수 w와 v=r이 됩니다(2차 C가 자연제곱인 경우).

4) 다음 방정식으로 알파와 베타 두 변수를 더 푼다.

알파 == w (v + w 베타)

이 작업은 모듈식 작업이 아니며 알파와 베타에는 여러 쌍의 답변이 있을 수 있습니다.

5) 다음의 다항식을 인수분해하여 X값을 구한다.

$({displaystyle alpha^{2}*x{2}+(2*alpha*beta-N)x+(beta^{2}-(y^{2}{\bmod {N})})})$

같은 대답을 얻는 것

(-37 + 9 x) (1 + 25 x)

6) 모듈식 제곱근을 구한다.위의 항이 0이 되도록 X를 설정하는 것을 잊지 마십시오.따라서 X는 37/9 또는 -1/25가 됩니다.

${\displaystyle y\equiv 알파*X+베타{\bmod {N}}}$

어려운 단계는 2차 방정식을 푸는 것이지만, 이것이 가능하다면 알고리즘은 많은 계산 없이 모듈러 제곱근을 빠르게 찾을 수 있습니다.

예

${\displaystyle 41}$ mod ${\displaystyle 856}$({$displaystyle {411}}$ {\$bmod {856})$을 얻으려면

최초${\displaystyle \sqrt{\mathrm{취득}}}$ - ${\displaystyle 856}$ mod 41${\displaystyle }$† ${\displayrt${-$856} {\bmod$ {$411}$ \ $equiv$ 13$}$

그리고 다음 다항식을 확장합니다.

${\displaystyle((41z+13)^{2}+856)/41==w^{2}}$

어느 것이

${\displaystyle 25+26z+41z^{2}==5^{2}}$

이 경우 2차에서 C 항은 자연 $제곱$이므로 W ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ W$=5)$

$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5}${$displaystyle$ w$=5}$ $및$ v ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ v$=13}$을 설정합니다(z 값이 있으면 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{41\mu z}}$+$$ {$displaystyle$ v$=41*z+13$

W와 V를 포함한 다음 방정식의 알파와 베타에 대한 해결

알파 == W (V + W* 베타)

알파=15 및 베타=-2를 구합니다. (이 방정식에는 쌍체 답이 많을 수 있습니다.)

그리고 다음 다항식을 인수분해한다.

$({displaystyle alpha^{2}x{2}+(2*alpha*cont-856)x+(context^{2}-41)}$

취득

${\displaystyle(-37+9x)(1+25x)}$

다음으로 모듈러 제곱근을 구합니다.

${\displaystyle 15*(37*9^{-1})+(-2){\bmod {856}}\equiv 345}$

${\displaystyle {345\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ mod ${\displaystyle 85641}$ 41 ${$ $displaystyle 345^{2}{\bmod {856}}\equiv$ 41$}$임을 확인합니다.

${\displaystyle 856}$ ${\displaystyle \mathrm{mod}}$ 41$({${-$856}}{\bmod {411})$에${\displaystyle \sqrt{}}$응답이 없는 $경우{\displaystyle }$ r ${\displaystyle -\sqrt{}}$ - ${\displaystyle 856}$mod ( ${\displaystyle b85}$ 856 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 41}$ $){$ $displaystyle$r \ $equiv${ - $856 }$ { \ $bmod${ ($b$ * $856$ + 41$)}}$을 대신 사용할 수 있습니다.

레퍼런스

「 」를 참조해 주세요.

• 제곱근 계산 방법