루프이론과 퀘이그룹 이론의 문제점 목록

수학에서 특히 추상대수학, 루프이론, 퀘이시그룹 이론은 많은 개방형 문제가 있는 활발한 연구 영역이다.수학의 다른 영역과 마찬가지로, 이러한 문제들은 종종 전문적인 회의나 회의에서 공개된다.여기서 제기된 많은 문제들은 루프스(Prague) 회의와 마일 하이(Denver) 회의에 처음 등장했다.

문제 열기(무팡 루프)

무방 루프를 만드는 주기적인 그룹에 의한 아벨리안

L/M이 3.(i)보다 큰 주기적인 질서의 그룹인가?(ii) L이 비교적 프라임이라면 L이 그룹인가?

제안: (Chein and Raha, 2000년)에 근거한 Michael Kynyon에 의해 제안됨
설명:L/M이 3보다 큰 주문을 가지고 있다는 가정은, 순서 81의 (통용) 무방 루프 L이 있고, 순서가 27인 정상 역순 하위 그룹이 있기 때문에 중요하다.

대체 알헤브라에 기간 3의 CML 포함

추측:3교시기의 유한한 교감 무방 루프는 교감 대안 대수학으로 삽입될 수 있다.

제안: Alexander Grishkov in Loops, 2003, 프라하

Frattini 서브루프 for Moufang 루프

추측:L을 유한 무방 루프와 φ(L)의 모든 최대 서브루프 교차점이 되게 한다.그렇다면 φ(L)은 L의 일반적인 영산소 서브루프다.

제안: Alexander Grishkov in Loops'11, Třshš 2011

루프 M(G,2)에 대한 최소 프리젠테이션

For a group $G$ , define $M(G,2)$ on $G$ x $C_{2}$ by $(g,0)(h,0)=(gh,0)$ , $(g,0)(h,1)=(hg,1)$ , $(g,1)(h,0)=(gh^{-1},1)$ $(g,1)(h,0)=(gh^{-1},1)$ , $(g,1)(h,1)=(h^{-1}g,0)$ . Find a minimal presentation for the Moufang loop $M(G,2)$ with respect to a presentation for $G$ .

제안: Petr Vojtěchovský at Loops, 2003년 프라하
설명:Chein은 (Chein, 1974년)에서 $M(G,2)$ ( $M(G,2)$ , 2 $M(G,2)$ ) $M(G,2)$ 은(는) G $G$ 이 $G$ (가) 비(非)abelian일 경우에만 연관성이 없는 Moufang 루프라는 $M(G,2)$ 것을 보여주었다.Vojtěchovský(Vojtěchovský, 2003)은 $G$ $G$ 이 $G$ (가) 2개 생성 그룹일 때 $M(G,2)$ $($ , $M(G,2)$ ) ${\displaystyle M(G,2$ )에 대한 최소 프레젠테이션을 발견했다.

오더 pq와²³ pq의⁴ 무방 루프

p와 q는 별개의 별개의 소수들이 되게 하라.만약 q가 1 modulo p에 합치되지 않는다면, 모든 Moufang 루프는 주문 pq²³ 그룹의 것인가?pq는⁴?

제안: 1999년 프라하 루프의 앤드류 라자에 의해
설명:전자는₁²_n² 라자와 체에_m²³₁² 의해_i 해결되었는데, 여기서 뚜렷한_m₁_n 홀수₁ p <····································································································································

(필립스 문제)사소한 핵이 있는 홀수 순서 무방 루프

사소한 핵을 가진 기묘한 질서의 무방 루프가 있는가?

제안: 2003년 프라하 Loops에서 Andrew Raha에 의해

유한단순 무방 루프를 위한 프리젠테이션

다양한 Moufang 루프에서 연관성이 없는 모든 유한한 Moufang 루프에 대한 프레젠테이션을 찾아보십시오.

제안: Petr Vojtěchovský at Loops, 2003년 프라하
설명:(Vojtěchovský, 2003)에서 모든 비관련적 유한한 단순 무방 루프는 3개 원소에 의해 생성되며, 발전기에 대한 명시적인 공식과 함께 생성된다.

무방 루프의 제한된 번사이드 문제

추측:M을 m 발생기와 함께 지수 n의 유한 무방 루프가 되게 하라.그 다음에는 M < f(n,m)와 같은 함수 f(n,m)가 존재한다.

제안: Alexander Grishkov in Loops'11, Třshš 2011
설명:n이 3과 다른 프라임일 경우, 그 추측은 그리쉬코프에 의해 증명되었다.p = 3과 M이 상통형이라면 브루크에 의해 증명되었다.p = 3의 일반적인 경우는 G에 의해 증명되었다.나기. 그리쉬코프-젤마노프 정리(Grishkov-zelmanov Organization)가 쥐고 있는 사건 n = p^m.

사노프와 M.무방 루프를 위한 홀 정리

추측:L을 지수 4나 6의 미세하게 생성된 무방 루프가 되게 하라.그러면 L은 유한하다.

제안: Alexander Grishkov in Loops'11, Třshš 2011

무료 무방 루프의 토션

MF를_n 발전기 n개로 자유로운 무방 루프가 되게 하라.
추측: MF는₃ 비틀림이 없지만 n > 4를 가진 MF는_n 그렇지 않다.

제안: Alexander Grishkov in Loops, 2003, 프라하

문제 열기(볼 루프)

왼쪽 볼루프의 왼쪽 곱셈 그룹의 Nilpensity 정도

왼쪽 볼 루프 Q의 경우, Q의 왼쪽 곱셈 그룹의 nilpensity 정도와 Q의 구조 사이에 어떤 관계를 찾는다.

제안됨: 2005년 덴버에서 Quas그룹, 루프 및 비관련 시스템에 대한 Milehigh 컨퍼런스에서

유사한 곱셈표를 가진 두 개의 볼루프가 이형성인가?

Let $(Q,*)$ ( $(Q,*)$ , $(Q,*)$ ) ${\displaystyle (Q,*)},$ $(Q,+)$ (Q $(Q,+)$ + $(Q,+)$ ) {\ $displaystyle$ ( $Q,+)}$ 은(는) 동일한 $기본$ 집합Q {\ $displaystyle$ Q}에 정의된 2개의 Quas그룹이다 $(Q,+)$ $Q$ The distance $d(*,+)$ is the number of pairs $(a,b)$ in $Q\times Q$ such that $a*b\neq a+b$ . Call a class of finite quasigroups quadratic if there is a positive real number $\alpha$ such that an $d(*,+)<\alpha \,n^{2}$ 두 quas그룹 $(Q,*)$ , $(Q,*)$ $(Q,*)$ ${\displaystyle$ ( $Q,*)},$ ( $(Q,+)$ , $(Q,+)$ + $(Q,+)$ ) d $d(*,+)<\alpha \,n^{2}$ ( $d(*,+)<\alpha \,n^{2}$ α $d(*,+)<\alpha \,n^{2}$ , + ) $d(*,+)<\alpha \,n^{2}$ n $d(*,+)<\alpha \,n^{2}$ ${\$ 는 $(Q,+)$ $n$ 이형이다 $d(*,+)<\alpha \,n^{2}$ .무방 루프는 이차적인가?볼프 루프는 이차적인가?

제안: 1999년 프라하 루프의 알레시 드라팔에 의해
설명:Drahpal은 (Drahpal, 1992년)에서 $\alpha =1/9$ 이 $\alpha =1/9$ = 1 / $\alpha =1/9$ $[\displaystyle \alpha =1/9}$ 와 (Drahpal, 2000년)에서 2개 그룹이 $\alpha =1/4$ = $\alpha =1/4$ / $\alpha =1/4$ {\ $displaystyle \alpha =1/4$ } 와 2개라는 것을 증명했다 $\alpha =1/4$

Campbell-Hausdorff 시리즈(분석용 볼트 루프)

Campbell-Hausdorff 시리즈를 분석 루프에 대해 결정하십시오.

제안: M. A.1999년 프라하 루프의 아키비스와 V. V. 골드버그
설명:문제는 지역 분석적 브루크 루프(Nagy, 2002)에서 부분적으로 해결되었다.

중간 볼트가 아닌 보편적으로 유연한 루프

모든 루프 동위원소가 유연하면, 즉 (xy)x = x(yx)를 만족하면, 루프는 보편적으로 유연하다.루프는 각각의 루프 동위원소가 항유동형 역성(xy)⁻¹ = yx를⁻¹⁻¹ 만족하는 경우 중간 볼트로 한다.중간 볼트가 아닌 유한하고 보편적으로 유연한 루프가 있는가?

제안: 2003년 프라하 루프의 Michael Kynyon에 의해

비종속 결합 클래스가 있는 유한 단순 볼 루프

비연관적 결합 클래스를 가진 유한한 비연관적 볼 루프가 있는가?

제안: Kenneth W. Johnson과 Jonathan D.2009년 덴버 비연관 수학 제2회 하이 컨퍼런스 H. 스미스

개방형 문제(Nilpensity 및 해결 가능성 및 해결 가능성)

니멘마아의 추측과 관련 문제

Q는 내부 매핑 그룹이 영점인 루프가 되도록 한다.Q가 nilpotent인가?Q가 해결 가능한가?

제안: 03년과 07년, 프라하 2003년과 2007년 루프에서
설명:첫 번째 질문에 대한 답은 Q가 유한할 경우 긍정이다(Niemenmaa 2009).그 문제는 일반 사례에 공개되어 있다.

아벨 내부 매핑 그룹이 있는 루프

Q는 아벨의 내적 매핑 그룹과 함께 루프가 되게 하라.Q가 nilpotent인가?그렇다면 Q의 nilpensency class에 제한이 있는가?특히 Q의 nilpensency class가 3보다 높을 수 있는가?

제안: 2007년 프라하 루프에서
설명:내부 매핑 그룹 Inn(Q)이 유한하고 아벨리안일 때 Q는 nilpotent(니메나와 케프카)이다.그러므로 첫 번째 질문은 무한대 사례에서만 열려 있다.csörgõ 타입의 call loop Q가 적어도 3등급의 nilpotent이고, Inn(Q)이 abelian이면 csörgõ 타입의 call loop Q이다.Csörgõ 타입의 nilpensency 등급이 3보다 높은 루프는 알려져 있지 않다.Csörgõ 타입의 루프(Csörg 2004, 2004), Csörgõ 타입의 Buchsteiner 루프(Csörgõ, Drafal and Kynyon, 2007), Csörgg 타입의 Moufang 루프(Nagy, Vojtchovský, 2007)가 존재한다.한편, Csörgõ형(민속), Csörgõ형(Bruck), p > 3 (Nagy 및 Vojtchovský, 2007)의 Csörgõ형의 Moufang p-lups는 없다.

이형성까지의 영점 루프의 수

이등형성까지의 순서가 24인 영점 루프의 수를 결정한다.

제안: 2009년 덴버에서 열린 제2회 비연관 수학 고등 컨퍼런스에서 Petr Vojtěchovsk에 의해
설명:카운트는 n < 24에 대해 알려져 있다(Daly 및 Vojtchchovský, 2010).

법률에 대한 유한한 근거가 없는 유한한 영점 루프

그것의 법칙에 대한 유한한 기초가 없는 유한 영점 루프를 구축한다.

제안: 그룹 이론의 미해결 문제들에 대한 Kourovka 노트북의 M. R. Vaughan-Lee에 의해
설명:그것의 법칙에는 유한한 근거가 없는 유한한 루프가 있지만(Vaughan-Lee, 1979년) nilpotent는 아니다.

문제 열기(쿼시그룹)

무한 단순 구급차 퀘이유

무한정 간단한 구급대원이 있는가?

제안: 2003년 프라하 루프의 야로슬라프 예제크와 토마시 케프카에 의해

최소 동위원소학적으로 보편적인 퀘이시아그룹의 다양성

quas그룹들의 다양한 V는 모든 quas그룹들이 V의 멤버에 동위원소인 경우 동위원소학적으로 보편적이다.루프의 다양성이 동위원소학적으로 최소한의 보편적 다양성인가?모든 동위원소학적으로 보편적인 다양성이 다양한 루프나 그것의 파라스트로피를 포함하고 있는가?

제안: 2003년 프라하 루프의 토마시 케프카와 페트르 누멕에 의해
설명:모든 퀘이소그룹들은 루프의 동위원소이기 때문에 다양한 루프들은 동위원소학적으로 보편적이다.

Quasigroups 코어가 있는 작은 Quas그룹

q = 14, 18, 26 또는 42의 quas그룹 Q가 존재하는가? * q by x * y = y - xy는 quas그룹 연산이다.

제안: Parascovia Syrbu at Loops, 2003년 프라하
의견: (Conselo 등, 1998) 참조

라틴 광장의 획일적인 건축?

다음과 같이 n 순서의 라틴 제곱 L을 생성한다.G = K를_n,n 가장자리 n에² 구별되는 가중치가 있는 완전한 초당적 그래프로 한다.G에서 M이₁ 가장 싼 매칭이 되게 하고, M이₁ 제거된 G에서 가장₂ 싼 매칭이 되게 한다.각각의 일치 M은_i 1, ..., n의 순열 p를_i 결정한다. 순열 p를_i L의 i열에 배치하여 G로부터 L을 얻도록 한다.이 절차는 라틴어 정사각형의 공간에 균일한 분포를 초래하는가 n?

제안: 2009년 덴버 비연관 수학 제2회 하이 컨퍼런스에서 Gabor Nagy에 의해 제안됨

문제 열기(기타)

곱셈 그룹의 크기에 따라 바인딩됨

루프 Q의 경우, Mlt(Q)는 Q의 곱셈 그룹, 즉 모든 좌/우 번역에 의해 생성된 그룹을 나타내도록 한다.Mlt(Q) < f(Q)>는 어떤 다양한 루프와 일부 다항 f에 대한 것인가?

제안됨: 2005년 덴버 2005년 Quas그룹, 루프 및 비관련 시스템에 대한 Milehigh 컨퍼런스에서

모든 유한한 대체 루프는 양면 인버를 가지고 있는가?

x(xy) = (xx)y, x(yy) = (xy)y를 만족하는 모든 유한 대안 루프에는 양면 인버가 있는가?

제안: 워렌 D.스미스
설명:양면 인버스가 없는 무한 대체 루프가 있다, cf. (Ormes and Vojtěchovský, 2007)

유한단순 비연관 자동형 루프

그러한 루프가 존재하는 경우 비관련적 유한한 단순 자동형 루프를 찾는다.

제안: 2003년 프라하 루프의 Michael Kynyon에 의해
설명:이러한 루프는 상통할 수 없으며(Grishkov, Kynyon, Nagý, 2013) 이상질서가 있을 수 없는 것으로 알려져 있다(Kynyon, Kunen, Phillips 및 Vojtěchovský, 2013).

비무방 루프의 무방 정리

V의 모든 루프 Q에 대해 다음과 같은 함축이 있다면 다양한 V 루프들이 Moufang 정리를 만족한다고 말한다: Q의 모든 x, y, z에 대해, x(yz) = (xy)z인 경우 x, y, z에 의해 생성된 서브루프가 그룹이다.무방정리를 만족시키는 모든 품종이 무방루프의 품종 속에 포함되어 있는가?

제안자: Andrew Raha at Loops'11, Třshš 2011

오스본 루프의 보편성

x(yz)x = (x^λ\y)(zx)를 만족하면 루프가 Osborn이다.모든 오스본 루프, 즉 오스본 루프 오스본의 모든 동위원소가 보편적인가?만약 그렇지 않다면, 보편적인 오스본 루프를 특징짓는 좋은 정체성이 있는가?

제안: Milehigh 컨퍼런스에서 Michael Kynyon에 의해 제안된 Quas그룹, 루프 및 비관련 시스템, Denver 2005
논평: 무방과 결합 폐쇄 루프는 오스본이다.자세한 내용은 (Kynyon, 2005)를 참조하십시오.

해결된 문제

다음과 같은 문제들이 여러 회의에서 열린 것으로 제기되었고 그 이후로 해결되었다.

결합이 아닌 Buchsteiner 루프 닫힘

결합이 닫히지 않은 부크스테이너 루프가 있는가?결합이 닫히지 않는 유한한 단순 부크스테이너 루프가 있는가?

제안됨: 2005년 덴버에서 Quas그룹, 루프 및 비관련 시스템에 대한 Milehigh 컨퍼런스에서
해결 방법: Piroska Csörgõ, Alesh Drahpal, Michael Kynyon
해결책:그것의 핵에 의한 부크스테이너 루프의 인수는 아벨리우스 4 지수의 그룹이다.특히 어떤 연관성이 없는 부크스테이너 루프도 단순할 수 없다.오더 128의 부크스테이너 루프가 존재하는데, 이 루프는 결합이 닫히지 않는다.

오더 64 무방 루프의 분류

주문 64의 연관성이 없는 무방 루프를 분류한다.

제안됨: 2005년 덴버에서 Quas그룹, 루프 및 비관련 시스템에 대한 Milehigh 컨퍼런스에서
해결 방법: Gabor P.Nagy와 Petr Vojtěchovský
해결책:주문 64의 비 관련 무우팡 루프는 4262개가 있다.이들은 (Vojtěchovský, 2006)에서 그룹 수정 방법에 의해 발견되었으며, (Nagy 및 Vojtěchovsk,, 2007)에서 리스트가 완성되었음을 보여주었다.후자 논문은 Moufang 루프 확장에 선형-알제브라 접근법을 사용한다.

비이형 단면 곱셈 그룹이 있는 결합성 폐쇄 루프

왼쪽 곱셈 그룹이 오른쪽 곱셈 그룹에 이형적이지 않은 결합성 폐쇄 루프를 생성한다.

제안: Alesh Drahpal at Loops, 2003년 프라하
해결 방법: 알레시 드라팔
해결책:그런 순서 9의 고리가 있다.인은 명령으로 LOPS 패키지에서 얻을 수 있다.CCLOop(9,1)

유한 단순 볼루프의 존재

Moufang이 아닌 유한한 단순 볼루프가 있는가?

제안 장소: 1999년 프라하 루프
해결 방법: Gabor P.Nagy, 2007년.
해결책:Moufang이 아닌 단순한 볼루프(bol loop)가 제대로 된 것으로 불릴 것이다.
적절한 간단한 볼루프 가족이 몇 명 있다.가장 작은 적절한 볼 루프 순서는 24(Nagy 2008)이다.

또한 지수 2의 적절한 단순 볼 루프(Nagy 2009)와 홀수 순서의 적절한 단순 볼 루프(Nagy 2008)가 있다.
설명:위의 구조는 두 가지 추가적인 개방 문제를 해결했다.
- Moufang이 아닌 유한한 단순 Bruck 루프가 있는가?그래, 지수 2의 적절한 단순한 볼 루프는 Bruck이니까.
- 홀수 순서의 모든 볼루프가 해결 가능한가?아니, 어떤 단순한 볼루프가 목격하는 것처럼 이상한 순서가 이상해.

사소한 우측 핵이 있는 좌측 볼 루프

하찮은 오른쪽 핵을 가진 유한 비무팡 좌볼루프가 있는가?

제안됨: 2005년 덴버에서 Quas그룹, 루프 및 비관련 시스템에 대한 Milehigh 컨퍼런스에서
해결 방법: Gabor P.나기, 2007년
해결책:사소한 오른쪽 핵을 가진 순서 96의 지수 2의 유한한 단순 좌측 볼루프가 있다.또한, 마티외 그룹₂₄ M의 정확한 인수화를 이용하여, 비 무팡 단순 볼루프(G-루프)를 구성할 수 있다.

무방 루프를 위한 라그랑주 특성

유한한 무방 루프는 모두 강한 라그랑주 속성을 가지고 있는가?

제안: 1999년 프라하 루프의 오린 친에 의해
해결 방법: 알렉산더 그리쉬코프와 안드레이 자바니친, 2003
해결책:모든 유한한 무방 루프는 강한 라그랑주(SLP) 특성을 가지고 있다.여기 그 증거의 개요가 있다.
- (Chein et al. 2003)에 따르면, 비 연관성 있는 유한한 Moupang 루프(NFSML)에 대한 SLP를 보여주기에 충분하다.
- 따라서 NFSML L의 최대 서브루프 순서가 L의 순서를 나눈다는 것을 보여주기에 충분하다.
- ( $M(q)$ 1956년)에서 $M(q)$ M $M(q)$ (q $M(q)$ ) {\ $displaystyle M(q)}$ 의 카운트 가능한 클래스가 발견되었으며 $M(q)$ (Lieebeck 1987년)에는 다른 NSFML이 존재하지 않는다.
- 그리쉬코프와 자바니친은 루프 $M(q)$ ) ${\displaystyle$ M $(q)}$ 의 최대 하위 루프를 3중성을 가진 그룹의 특정 하위 그룹과 $M(q)$ 일치시켰다(Grishkov and Zavarnitsine, 2003).

비정규격 공차와의 무방 루프

공통점이 정상적이지 않은 무방 루프가 있는가?

제안: 2003년 프라하 Loops에서 Andrew Raha에 의해
해결 방법: 알렉산더 그리쉬코프와 안드레이 자바니친, 2017년
해결책:네, 주문 3의⁸ 무방 루프가 있고, 비정상적인 공통점이 있다.^[1]가골라는 이전에 그 반대 주장을 한 적이 있었지만, 후에 그의 증거에 구멍을 발견했다.^[1]

볼트 루프 코어의 쿼시바리티

볼트의 코어 클래스가 쿼시바리티인가?

제안: 조나단 D.H. Smith와 Alena Vanžurova at Loops 2003, 프라하 2003
해결책: 알레나 바누로바, 2004.
해결책:아니, 볼프 루프의 코어 클래스는 하위 게브라 아래에서 닫히지 않는다.게다가, 그룹의 코어 클래스는 하위 골격하에서는 닫히지 않는다.여기 그 증거의 개요가 있다.
- 아벨 그룹의 코어는 by (로마노프스카와 스미스, 1985), (로즈스코프스카-레흐, 1999)에 의해 메디알이다.
- 가장 작은 비아벨리아 그룹 $S_{3}$ 3 ${\$ 에는 중간이 아닌 순서 4의 $G$ 하위 그룹 $G$ $G$ 이(가) 포함된 코어가 있다 $S_{3}$ .
- $G$ $G$ 이 $G$ (가) 볼루프의 핵심이라면 순서 4의 볼루프의 핵심이므로 아벨리아 그룹의 핵심인 모순이다.

이소모르퍼시즘에 따른 퀘이즈그룹 수의 동등성

I(n)를 순서 n의 quas그룹들의 이소모르피즘 클래스의 개수로 한다.n마다 I(n)가 이상한가 이상한가?

제안: 더글러스 S.2009년 덴버 비연관 수학 제2회 하이 컨퍼런스의 돌
해결 방법: 더글러스 S.2010년 스톤즈.
해결책: I(12)는 짝수다.사실 12를 제외한 n ≤ 17 모두에 대해 I(n)은 홀수다.(석 2010)

유한 단순 구급차 퀘이시그룹 분류

유한한 단순 구급대원의 퀘이시그룹을 분류한다.

제안: 2003년 프라하 루프의 야로슬라프 예제크와 토마시 케프카에 의해.
해결책: 빅토르 슈체르바코프와 두미트루 푸시카슈(2010년)
해결책:모든 유한한 단순 응급구조 퀘이시그룹은 초등 아벨리안 p-그룹과 동위원소다.이러한 퀘이시그룹은 전능이 없는 퀘이시그룹, 또는 메디알 단위 공동분산 퀘이시그룹 또는 (φ+ψ)-단순 메디알 단위분산 콰시그룹의 특별한 종류 동위원소가 될 수 있다.

참고 항목

라틴어 사각형의 문제

참조

Chein, Orin (1974), "Moufang Loops of Small Order I", Transactions of the American Mathematical Society, 188: 31–51, doi:10.2307/1996765, JSTOR 1996765.
Chein, Orin; Kinyon, Michael K.; Rajah, Andrew; Vojtěchovský, Petr (2003), "Loops and the Lagrange property", Results in Mathematics, 43 (1–2): 74–78, arXiv:math/0205141, doi:10.1007/bf03322722, S2CID 16718438.
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Drápal, Aleš (2000), "Non-isomorphic 2-groups coincide in at most three quarters of their multiplication tables", European Journal of Combinatorics, 21 (3): 301–321, doi:10.1006/eujc.1999.0347
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^ ^a ^b Grishkov, Alexander; Zavarnitsine, Andrei (10 January 2020). "Moufang loops with nonnormal commutative centre". Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 170 (3): 609–614. MR 4243769.

외부 링크

[nonnormal-1] Grishkov, Alexander; Zavarnitsine, Andrei (10 January 2020). "Moufang loops with nonnormal commutative centre". Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 170 (3): 609–614. MR 4243769.

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