라틴어 사각형의 문제

수학에서 라틴 사각형 이론은 많은 개방적인 문제를 가진 활발한 연구 영역이다.수학의 다른 영역과 마찬가지로, 이러한 문제들은 종종 전문적인 회의나 회의에서 공개된다.예를 들어, 여기서 제기된 문제들은 루프스(Prague) 회의와 마일하이(Denver) 회의에서 나타났다.

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라틴 사각형에서 최대 횡단 수 제한

순서의 라틴 사각형 n의 횡단(transversal)은 모든 행과 모든 컬럼이 정확히 하나의 S의 셀을 포함하고, S 형식의 기호 {1, ..., n}. 순서의 라틴 사각형에서 T(n)가 횡단(transversal)의 최대 개수가 되게 하는 n 셀의 집합이다.추정치 T(n)

제안: 2003년 프라하 루프의 이안 완리스에 의해
논평: Wanless, McKay, McLeod는 cⁿ < T(n) < d nⁿ!> 형식의 한계를 가지고 있다. 여기서 c > 1과 d는 약 0.6이다.리빈, 바디, 짐머만(Rivin et al., 1994)의 추측에 따르면 적어도 exp(c n log n) 여왕을 토로이드 체스판(일부 상수 c의 경우)의 비공격 위치에 배치할 수 있다고 한다.참일 경우 이는 T(n) > exp(c n log n)을 의미한다.관련 질문은 홀수 순서의 반복 그룹의 Cayley 표에 있는 횡단 수를 추정하는 것이다.즉, 이들 집단은 얼마나 많은 정형화를 가지고 있는가?

라틴어 사각형의 최소 횡단 횟수도 개방적인 문제다.H. J. 라이저는 모든 라틴어 사각형의 홀수 질서가 하나 있다고 추측했다(Oberwolfach, 1967년).리차드 브루알디(Richard Brualdi)의 말에 따르면 라틴어 순서의 모든 사각형에는 적어도 n - 1의 순서가 부분 횡단되어 있다고 한다.

Moufang 루프 곱셈표에서 라틴어 서브스쿼어의 특성

Moufang 루프의 곱셈표에서 모든 라틴어 하위 스쿼어가 어떻게 발생하는지 설명하시오.

제안: Alesh Drahpal at Loops, 2003년 프라하
설명:그룹 G의 곱셈표에 있는 모든 라틴어 하위제곱은 aH x Hb형이며, 여기서 H는 G와 a, b는 G의 하위제라는 것은 잘 알려져 있다.

블랙번 속성이 있는 밀도 부분 라틴어

부분 라틴어 사각형은 세포(i, j)와 (k, l)가 동일한 기호에 의해 점유될 때마다 반대쪽 코너(i, l)와 (k, j)가 비어 있으면 블랙번 속성을 가진다.블랙번 특성과 함께 라틴어 부분 광장에서 달성 가능한 가장 높은 충만 세포 밀도는 얼마인가?특히, 우리가 항상 최소한 c n개의² 세포를 채울 수 있는 c > 0의 상수가 있는가?

제안: 2003년 프라하 루프의 이안 완리스에 의해
설명:나타날 논문에서 Wanless는 c가 존재하면 c < 0.463이라는 것을 보여주었다.그는 또한 블랙번 특성과 상수 d > 0에 대해 최소한 exp(-d(log n)^1/2의 점근밀도를 가진 부분 라틴어 정사각형 집단을 구성했다.

라틴 사각형 수를 나누는 2의 최대 힘

$L_{n}$ $L_{n}$ ${\$ 을 순서 n의 라틴 제곱 수로 한다 $L_{n}$ . $L_{n}$ $){\$ 을(를) 나눈 $2^{p(n)}$ 값 $p(n)$ 중 가장 큰 $p(n)$ p $($ $){\displaystyle p$ $(n$ $)}$ 는 $L_{n}$ $($ ){\ $displaystystyle L_$ ${n}}}}$ 을(를 $)$ n에서 2차적으로 증가시키는가 $p(n)$ ?

제안: 2003년 프라하 루프의 이안 완리스에 의해
댓글 : 물론 $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ = $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ ! $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ ( $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ - $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ ${\$ $R_{n}}$ 여기서 $L_{n}=n!(n-1)!R_{n}$ $R_{n}$ ${\$ 은(는) 순서의 $R_{n}$ 라틴 제곱 감소 수입니다.이것은 즉시 2의 선형 인자를 제공한다.단, n = 2, ...,11:에 대한 $R_{n}$ $R_{n}$ $R_{n}$ ${\$ 의 주요 인자화는 다음과 같다.

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1	2²	2³7	2⁶37²	2¹⁰35*1103	2¹⁷31361291	2²¹3²5231*3824477	2²⁸3²53137*547135293937	2³⁵3⁴528012206499*62368028479

이 표는 2의 힘이 초선형적으로 성장하고 있음을 시사한다.가장 좋은 전류

R_{n}

는 R

R_{n}

{\

은(는) 항상 f!로 나누어지며

R_{n}

, 여기서 f는 n/2 정도 된다.자세한 내용은 (McKay 및 Wanless, 2003)를 참조하십시오.두 저자는 의심스러울 정도로 높은 2의 힘을 알아차렸다. (Alter, 1975), (Mullen, 1978)

참고 항목

참조

Alter, Ronald (1975), "How many latin squares are there?", Amer. Math. Monthly, Mathematical Association of America, 82 (6): 632–634, doi:10.2307/2319697, JSTOR 2319697.
McKay, Brendan; Wanless, Ian (2005), "On the number of latin squares", Ann. Combin., 9 (3): 335–344, doi:10.1007/s00026-005-0261-7, S2CID 7289396.
Mullen, Garry (1978), "How many i-j reduced latin squares are there?", Amer. Math. Monthly, Mathematical Association of America, 85 (9): 751–752, doi:10.2307/2321684, JSTOR 2321684.
Rivin, Igor; Vardi, Ilan; Zimmerman, Paul (1994), "The n-queens problem", Amer. Math. Monthly, Mathematical Association of America, 101 (7): 629–639, doi:10.2307/2974691, JSTOR 2974691.

외부 링크

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