선형화

수학에서 선형화는 주어진 점에서 함수에 대한 선형 근사치를 찾는 것이다.함수의 선형 근사치는 관심 지점 주변의 1차 테일러 확장입니다.동적 시스템의 연구에서 선형화는 비선형 미분 방정식 또는 이산 동적 ^[1]시스템의 시스템의 평형점의 국소 안정성을 평가하기 위한 방법이다.이 방법은 공학, 물리학, 경제학, 생태학과 같은 분야에서 사용된다.

함수의 선형화

함수의 선형화는 선(일반적으로 계산 목적으로 사용할 수 있는 선)입니다.선형화는 $함수{\displaystyle }$$$${\displaystyle y}$ $=$${\displaystyle }$$f$ (${\displaystyle }$${\displaystyle x}$$$) \ $displaystyle$ y $= f$( x ) \ $displaystyle$ x $=$$$${\displaystyle a}$ \ displaystyle x $=$ a$$$$에서의 함수 y ( x ) \$$displaystyle x =$$a${\displaystyle }$에서의 함수 $y{\displaystyle }$${\displaystyle }$( x )\ $displaystyle$ f(x )의 출력을 ${\displaystyle \mathrm{근사하는}}$ $효과적$인 방법입니다${\displaystyle .}$$,b]}($또는${\displaystyle }$[$]({displaystyle [b,a$ 및 {$displaystyle$a$}$이$(가$ b에 가깝습니다.$즉{\displaystyle }$, 선형화는 x ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ x$=a$에 가까운 $함수$의 출력에 근사합니다.

$예$를 들어, ${\displaystyle 4}$ $=$ 2 ${{displayrt$ {4$\}\}=$$2}$ 입니다. 단,${\displaystyle \sqrt{4}}$.${\displaystyle 001\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{=\mathrm{}}}$4 + .$({$001}} =$displayrt {4+.001$의 $근사치$는 무엇입니까?

지정된 $함수{\displaystyle }$ y ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ y$=f(x$${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ($)$ {$displaystyle$ f$(x)}$에 대해 알려진 미분 가능 지점 근처에 있으면 근사치를 구할 수 있습니다.가장 기본적인 요건은 L${\displaystyle {}_{}{a}_{}}$ (${\displaystyle a)}$ $=$ ($a)$ {displaystyle $L_{a}($a)=$f(a$입니다.${\displaystyle {여기}_{}}$서 L${\displaystyle {}_{}}$a ($x)$ {displaystyle $L_{a}(x)$는 x$$${\displaystyle =}${$displaystyle$$$x$=a$에서의${\displaystyle }$f($x)$의 선형화입니다.방정식의 점수 형식은 점$({\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$,${\displaystyle K}$ $)$과 $기울기{\displaystyle }$ M$(\backslash$$displaystyle$$(H,$ K$))$에서 선의 방정식을 형성합니다. 이 방정식의 일반적인 형식은 y${\displaystyle }$- ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle =M}$ (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle H}$) \ $displaystyle$ y - K$= M$ ( x - H$)$입니다.

포인트${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle }$f (${\displaystyle a}$ )$${ $displaystyle ( a$ ,$f$ ($a$ )$$} )를 사용하면 L${\displaystyle {}_{}{a}_{}}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$ $L_{a$$$} ($x$)는$$ y $=$($a$) +${\displaystyle M}$(${\displaystyle x}$ -$a$)이 $됩니다{\displaystyle }$.따라서 구분 가능한 함수는 로컬로 슬로프 $내$의 선형이기 때문에 최적의 대체함수가 됩니다.x ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ x$=a$에 있습니다.

국소 선형성의 개념은 x ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a}${\$displaystyle$ x$=a$에 임의적으로 가까운 점에 가장 많이 적용되지만, 상대적으로 가까운 점은 선형 근사치에 대해 비교적 잘 작동합니다.$기울기{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$은 x ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ x$=a$에서 $접선$의 기울기여야 합니다.

첨부된 그림은 x$(\displaystyle$ x$)$의 $접선{\displaystyle }$ f$(x)$를 나타냅니다.$f{\displaystyle }$${\displaystyle (x}$+ $)$에서는$$h$(\displaystyle$ $h$$)$는 작은 양의 값 또는 음의 값 f(${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle h)}$이며$$f$displaystyle$ f$(x$+ h$)$는 접선 poi에서의 접선 값과 거의 같습니다.nt${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle h}$ ,${\displaystyle L}$ (${\displaystyle x}$ +${\displaystyle h}$)$$\ $displaystyle ( x$ +$h$ ,$L$ ($x$ +$h$ ) $\}$ 。

x ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ x$=a}$에서 함수의 선형화를 위한 마지막 방정식은 다음과 같습니다.

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$x$=$ a$$} ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle a}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$($$x ) { $displaystyle$f ( a ) =$f$( x )$$} 。f$)$ {$displaystyle$ f$(x)}$의 도함수는 $)$$${$displaystyle$ f$'($$x)$이고$,$ $f$$x)$ {$displaystyle$ a$}$의 기울기는 f (($a{\displaystyle }$)입니다${\displaystyle .}$

예

4$({$을 찾으려면 4$=2({$displaystyle ${4}}=2$라는 $사실$을 사용합니다.f${\displaystyle }$${\displaystyle (}$$)$ ${\displaystyle =}$ $($$x$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ x({displaystyle $f(x$${\displaystyle )}$ =$$x($x$$)}$ 에서의 $선형화$는 ${\displaystyle y\sqrt{}}$ ${\displaystyle =}$ + ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}\frac{2\sqrt{}}{}}$ a (${\displaystyle x}$- a$$) { $displaystyle$ y =$sqrt {a}$ + {\$frac$ {1$}{2 sqrt {a}}}}$ （$x-a}}}$ = ${\displaystyle frac\frac{\mathrm{}}{}}$ {x-a$\}\}\}\}\}$ ${\displaystyle =}$ frcrac$}$입니다.함수 $f{\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle x\sqrt{}}$(\$displaystyle$ f$(x$)=${\displaystyle x\frac{}{}}${$displaystyle$$x$$\})$의 pe. a$$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 4}$(\$displaystyle$ a$=4$$)$로 대체하면, $4{\displaystyle }$(\$displaystyle$ y$=2+{\frac$ {$x-4$의 선형화는 이 경우 $(\displaystyle$4).{$4.001}}$은(는) 약 $2{\displaystyle \mathrm{}}$+${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}4}$.${\displaystyle \frac{001}{}}$ ${\displaystyle \frac{-}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle =2.00025}$ ${$ $displaystyle$ 2 + { \ $frac${ $4$. $001$ - 4 } $= 2.00025$} 입니다$.$참값은 2.00024998에 가깝기 때문에 선형화 근사치의 상대 오차는 100만분의 1퍼센트 미만입니다.

다변수 함수의 선형화

$p{\displaystyle (a,}$ $)$ {$displaystyle$ p$(a,$ b)}의$$ 함수 $f{\displaystyle (x,}$ $y)$ {$displaystyle$ f$(x,$$y)}$의 선형화 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle f(x,y)\about f(a,b)+\left.오른쪽 {a,b}(x-a)+ 왼쪽.{frac f(x,y)} {\frac y}\right _{a,b}(y-b)}$

p$\$ $지점$에서 다변수 $함수{\displaystyle }$f($x)$ {$displaystyle$ f$(\mathbf {x})$의 선형화를 위한 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$({displaystyle ff}\mathbf {x} })\about ff\mathbf {p} }+\left.{\mathbf {p} \ cdot {\mathbf {x} - {\mathbf {p} } } }$

$여기$서 x$(\$는 변수의 벡터이고 $(\$는 관심 ^[2]선형화 지점입니다.

선형화의 사용

선형화를 통해 선형 시스템을 연구하기 위한 도구를 사용하여 주어진 점 근처의 비선형 함수의 동작을 분석할 수 있습니다.함수의 선형화는 관심 지점을 중심으로 확장되는 테일러의 첫 번째 순서 항입니다.다음 방정식으로 정의된 시스템의 경우

${\displaystyle \frac{d\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ t ${\displaystyle \frac{}{}F\mathbf{}}$ (${\displaystyle x\mathbf{}}$ ,${\displaystyle t}$) { $displaystyle${$frac { d$ \ $mathbf${ $x$} } { $dt$} = \ $mathbf${ $F$} ( \ $mathbf${ $x }$ , $t$)$$,

선형화된 시스템은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(\displaystyle {d\mathbf {x} {dt}} \ about \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}},t}) + D\mathbf {F} (\mathbf {x},t})\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {0})$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 x 0$(\$$displaystyle$$\mathbf {x_{0}})$은 관심 지점, ${\displaystyle D\mathbf{}}$ F${\displaystyle ({x\mathbf{}}_{}}$0 ,${\displaystyle t}$)(\$displaystyle$ D$\mathbf {x_0}$ , t$)$는$$F${\displaystyle (x\mathbf{}}$의${\displaystyle }$x$(\$$displaystyle \mathbf$${x$$}$) - Jacobian입니다.$x_{0$

안정성 분석

자율 시스템의 안정성 분석에서, 사람들은 그 평형의 성질을 결정하기 위해 쌍곡 평형점에서 평가된 야코비 행렬의 고유값을 사용할 수 있다.이것이 선형화 정리의 내용입니다.시간 가변 시스템의 경우 선형화를 위해서는 추가적인 ^[3]정당화가 필요합니다.

미시경제학

미시경제학에서 의사결정 규칙은 선형화에 ^[4]대한 상태-공간 접근법에 따라 근사할 수 있다.이 접근법 하에서 효용 극대화 문제의 오일러 방정식은 정상 정상 ^[4]상태를 중심으로 선형화된다.그런 다음 동적 방정식의 결과 시스템에 대한 고유한 솔루션을 찾습니다.^[4]

최적화

수학적 최적화에서는 심플렉스 알고리즘과 같은 선형 해결 방법을 적용하기 위해 비용 함수 및 그 안의 비선형 구성요소를 선형화할 수 있습니다.최적화된 결과는 훨씬 더 효율적으로 도달하고 글로벌 최적으로서 결정적이다.

다중 물리

다중 물리 시스템(서로 상호작용하는 여러 개의 물리적 필드가 포함된 시스템)에서는 각 물리적 필드에 대한 선형화가 수행될 수 있습니다.각 필드에 대한 이러한 시스템의 선형화는 뉴턴-라프슨 방법과 같은 단일 반복 해법 절차를 사용하여 해결할 수 있는 선형화된 단일 방정식 시스템을 낳습니다.그 예로는 전자장, 기계장 및 ^[5]음향장 시스템을 생성하는 MRI 스캐너 시스템이 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 선형 안정성
• 탄젠트 강성 행렬
• 안정성 파생상품
• 선형화 정리
• 테일러 근사
• 함수 방정식(L-함수)

레퍼런스

외부 링크

선형화 튜토리얼

• 모형 분석 및 관리 설계를 위한 선형화