조던 척도

수학에서 피아노-조단 측도(요르단 내용이라고도 함)는 크기(길이, 면적, 볼륨) 개념을 삼각형, 원반, 평행형보다 더 복잡한 모양으로 확장한 것이다.

조던을 측정하기 위해서는 어떤 제한적인 의미에서 잘 행동해야 한다는 것이 밝혀졌다. 이 때문에 요르단 측정이 더 큰 세트로 확장된 르베그 측도로 일하는 것이 이제는 더 일반화됐다. 역사적으로 볼 때 요르단 조치는 19세기 말에 가장 먼저 나왔다. 역사적 이유로 요르단 조치라는 용어는, 요르단 측정이 가능한 세트가 al알지브라(al-algebra)를 형성하지 않기 때문에, 현대적 정의에서 진정한 척도가 아님에도 불구하고, 현재 잘 확립되어 있다. For example, singleton sets ${\displaystyle \{x\}_{x\in \mathbb {R} }}$in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ each have a Jordan measure of 0, while ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$, a countable union of them, is not Jordan-measurable.^[1] 이러한 이유로 일부 저자들은^[2] 조던 콘텐트라는 용어를 사용하는 것을 선호한다(컨텐츠에 관한 기사 참조).

피아노-요르단 척도는 기원자인 프랑스의 수학자 카밀 요르단과 이탈리아의 수학자 주세페 페아노의 이름을 따서 명명되었다.^[3]

요르단 측도 "단순 세트"

유클리드 공간 R을ⁿ 고려하십시오. 경계 간격의 제품을 고려하는 것부터 시작한다.

${\displaystyle C=[a_{1},b_{1}\times [a_{2},b_{2}]\time \cdots \times [a_{n},b_{n}}}}}}}$

왼쪽 끝에서 닫히고 오른쪽 끝에서 열리는 것(반간 개방 간격은 기술적 선택이다. 아래에서 볼 수 있듯이, 원하는 경우 닫히거나 열린 간격을 사용할 수 있다.) 그러한 세트를 n차원 직사각형, 또는 단순히 직사각형이라고 부를 것이다. 하나는 그러한 직사각형의 요르단 측도를 구간 길이의 산물로 정의한다.

${\displaystyle m(C)=(b_{1}-a_{1}(b_{2}-a_{2})\cdots(b_{n}-a_{n})}$

다음으로, 사람들은 때때로 직사각형의 유한 결합인 폴리직사각형이라고 불리는 단순한 세트를 고려한다.

${\displaystyle S=C_{1}\cup C_{2}\cdots \cdots \cup C_{k}}}$

어떤 K ≥ 1에 대해서도.

S의 그러한 표현은 고유하지 않고 직사각형 사이에 상당한 중복이 있을 수 있기 때문에 S의 요르단 측도를 단순히 개별 직사각형의 측정값의 합으로 정의할 수는 없다.

운 좋게도, 그러한 단순한 집합 S는 다른 유한한 직사각형, 직사각형의 결합으로 다시 쓰여질 수 있는데, 이 직사각형은 상호적으로 분리된 직사각형의 결합이고, 그 다음 요르단 측도 m(S)을 분리 직사각형의 측정의 합으로 정의한다.

이러한 S의 요르단 측도의 정의가 S의 한정된 분리 직사각형 결합으로서의 표현과 무관하다는 것을 알 수 있다. 직사각형이 반쯤 열린 간격으로 만들어졌다는 가정이 사용되는 것은 "다시 쓰기" 단계다.

더 복잡한 세트로 확장

닫힌 간격의 산물인 세트는

${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\messages [a_{2},b_{2}]\messages \cdots [a_{n},b_{n}]}}$

단순한 세트도 아니고 공도 아니다. 따라서, 지금까지 조던의 측정 가능한 세트는 여전히 매우 제한적이다. 그런 다음 핵심 단계는 단순한 세트로 "잘 추정된" 경우 경계된 세트를 측정 가능한 요르단으로 정의하는 것이며, 정확히 같은 방식으로 기능인 리만 통합이 가능한 경우 리만 통합이 가능하다.

공식적으로, 경계 집합 B의 경우, 내부 요르단 측도를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle m_{*}(B)=\supp_{S\subset B}m(S)}$

그리고 그것의 겉 치수는 다음과 같다.

${\displaystyle m^{*(B)=\inf _{S\supset B}m(S)}$

여기서 최소와 우월성이 단순 집합 S를 대체한다. 세트 B는 내부 측정값 B가 외부 측정값과 같을 경우 측정 가능한 요르단이라고 한다. 두 조치의 공통 가치는 간단히 요르단 측도 B라고 부른다.

모든 직사각형(개방형 또는 폐쇄형)은 물론 모든 공, 심플렉스형 등 조던을 측정할 수 있는 것으로 나타났다. 또한, 두 개의 연속 함수를 고려할 경우, 해당 함수의 그래프 사이의 점 집합은 그 집합이 경계되고 두 함수의 공통 영역이 조던이 측정 가능한 한 조던이 측정 가능하다. 요르단의 측정 가능한 세트의 모든 유한 결합과 교차점은 측정 가능한 요르단이며, 두 요르단의 측정 가능한 세트의 설정 차이도 측정 가능한 것이다. 콤팩트한 세트가 반드시 조던을 측정할 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, 뚱뚱한 칸토어 세트는 그렇지 않다. 요르단의 내부 측정은 그것의 보완이 밀도 있기 때문에 사라지지만, 요르단의 외부 측정은 레베그 측정치보다 작을 수 없기 때문에 사라지지 않는다. 또한, 경계 오픈 세트가 반드시 조던이 측정할 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, 지방 캔터 세트(구간 내)의 보완은 그렇지 않다. 경계 집합은 표시기 기능이 리만 통합 가능한 경우에만 측정할 수 있으며, 적분 값이 요르단 측정값이다.[1]

마찬가지로, 경계 세트 B의 경우 요르단 내부 측정값 B는 B 내부 측정값의 레베그 측정값이고, 요르단 외측 측정값은 폐쇄의 레베그 측정값이다.^[4] 이로부터 경계 집합은 경계선이 르베그 0인 경우에만 측정할 수 있다(또는 경계선이 0인 경우, 경계가 0인 경우, 경계가 좁아 균등성이 유지됨).

르베그 측도

이 마지막 재산은 요르단이 측정할 수 있는 세트의 종류를 크게 제한한다. 예를 들어, [0,1] 구간에 포함된 합리적 숫자의 집합은 그 경계선이 [0,1]이며, 이는 요르단 측도가 0이 아니기 때문에 측정할 수 없다. 그러나 직관적으로 합리적인 숫자의 집합은 셀 수 있기 때문에 "작은" 집합이며, "크기" 0이어야 한다. 그것은 사실이지만, 요르단 조치를 르베그 조치로 대체해야만 한다. 르베그 한 세트의 측정값은 요르단 측정이 있는 한 요르단 측도와 동일하다. 그러나, 르베그 측정은 앞에서 언급한 간격의 합리적인 숫자의 집합과 같이 훨씬 더 광범위한 집합에 대해 정의되며, 또한 무한대 또는 프랙탈일 수도 있는 집합에 대해서도 정의된다. 또한, 레베그 조치는 요르단 조치와 달리 진정한 조치로서, 즉, 르베그 측정 가능한 집합의 계수 가능한 조합은 측정 가능한 반면, 요르단 측정 가능한 집합의 계수 가능한 조합은 측정할 필요가 없다.

참조

• Emmanuele DiBenedetto (2002). Real analysis. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4231-5.
• Richard Courant; Fritz John (1999). Introduction to Calculus and Analysis Volume II/1: Chapters 1–4 (Classics in Mathematics). Berlin: Springer. ISBN 3-540-66569-2.

외부 링크

• Derwent, John. "Jordan Measure". MathWorld.
• Terekhin, A.P. (2001) [1994], "Jordan measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press