허먼 반지

복잡한 역학으로 알려진 수학적 분야에서 헤르만 링은 파투 성분으로^[1], 이성적 기능이 표준환율의 비합리적인 회전에 일치하게 결합된다.

형식 정의

즉, ƒ이 period p와 함께 Herman ring U를 소유하고 있다면, 일치된 매핑이 존재한다.

${\displaystyle \phi :U\rightarrow \{\zeta :0<\r<\zeta <1\}}}}$

그리고 비합리적인 숫자 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ 이런 식으로$.$

$\displaystyle \phi \p^{\buffer p}\fhi ^{-1}(\zeta )=e^{2\pi i\theta }}\zeta .}$

그래서 허먼 링의 역학관계는 간단하다.

이름

이런 파투 성분을 처음 발견해 만든 마이클 허먼(1979^[2])에 의해 소개되고 나중에 이름을 붙였다.

함수

• 다항식에는 헤르만 반지가 없다.
• 합리적인 기능은 허먼 링을 가질 수 있다.
• 전체 지도에 없는^[3] 초월적 지도

예

여기 허먼 반지를 가지고 있는 합리적인 기능의 예가 있다.^[1]

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}}}}$

여기서 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.6151732}$… ${\displaystyle \tau =0.6151732\dots }$ 단위$$ 원에서의 ƒ의 회전 번호는${\displaystyle }$(${\displaystyle 5}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle ({5}-1)/2$

오른쪽에 보이는 그림은 ƒ의 줄리아 집합이다. 흰색 고리 안의 곡선은 ƒ의 반복 아래 일부 점의 궤도를 의미하며, 점선은 단위 원을 나타낸다.

허먼 링과 일부 주기적인 포물선 파투 성분을 동시에 보유한 합리적인 기능의 예가 있다.

또한, 2주기의 헤르만 반지를 가지고 있는 합리적인 기능이 있다.

여기서 이 이성적 함수의 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(z-a)}{z-b}+c,\,}$

어디에

${\displaystyle {\progress}a&=0.17021425+0.1266+0.12592514i,\\&=0.1852254i.\c&=-1.18521775-0.155254i.\end{정렬}}}$

이 예는 2차 다항식의 퀘이콘 형식 수술에^[4] 의해 구성되었다.

${\displaystyle h(z)=z^{2}-1-{\frac {e^{\sqrt{5}\pi i}{4}}}}$

시겔 원반과 2주기가 들어있어매개변수 a, b, c는 시행착오에 의해 계산된다.

내버려 두는

${\displaystyle {\required}a&=0.14285933+0.06404502i,\b&=0.14362386+0.06461542i,{\text{ 및}\c&=-0.18242894-0.81957139i,\ended}}}}}$

그_a,b,c 다음, G의 헤르만 반지 중 하나의 기간은 3이다.

시시쿠라는 또한 예를 들어,^[5] 2주기의 헤르만 반지를 소유하고 있는 합리적인 기능이지만, 위에서 보여지는 파라미터는 그의 것과 다르다.

그래서 다음과 같은 의문이 있다.Herman 링의 기간이 더 긴 합리적인 함수의 공식을 찾는 방법은?

이 질문은 합리적인 함수 g에_a,b,c 대해 Mandelbrot 세트를 사용하여 (모든 기간 > 0) 답할 수 있다.고전적인 만델브로트 집합(이차 다항식의 경우)은 그러한 각 다항식의 임계점을 반복하고 임계점의 반복이 무한대로 수렴되지 않는 다항식을 식별하여 근사치를 구한다.마찬가지로 만델브로트 집합은 함수의 세 가지 임계점(즉, 파생상품이 소멸되는 지점)이 모두 무한대로 수렴되는 복합 3-공간에서 (a,b,c)의 값과 임계점이 모두 무한대로 수렴되지 않는 값을 구별하여 합리적인 함수 g_a,b,c 집합에 대해 정의할 수 있다.

a와 b의 각 값에 대해 g에_a,b,c 대해 설정된 Mandelbrot는 복합 값 c의 평면에서 계산할 수 있다.a와 b가 거의 같을 때, 이_a,b,c 집합은 g가 a=b일 때 x² + c와 같기 때문에 2차 다항식용 고전적인 Mandelbrot에 가깝다.고전적인 만델브로트 세트에서, 시겔 디스크는 경계 분모와 함께 지속적인 분수 확장을 갖는 비이성적인 권선수가 있는 만델브로트 세트의 가장자리를 따라 포인트를 선택하면 근사치를 얻을 수 있다.이 비합리적인 숫자는 물론 그들의 컴퓨터 표현에서 근사치일 뿐이다.이러한 분모는 지점에 접근하는 만델브로트 세트의 가장자리를 따라 노드의 순서로 식별할 수 있다.마찬가지로 헤르만 링은 곡선 양쪽에 배열된 일련의 노드를 관찰하여 그 곡선을 따라 점을 선택함으로써 합리적인 기능의 맨델브로트 집합에서 식별할 수 있으며, 부착된 노드를 회피함으로써 회전수의 지속적인 부분확장 속에서 원하는 분모 순서를 얻을 수 있다.다음은 고전적인 Mandelbrot 세트에서 시겔 디스크의 5 사이클을 식별하는 c 값을 중심으로 a-b = .0001을 가진 g의_a,b,c Mandelbrot 세트의 평면 슬라이스를 보여준다.

위의 이미지는 a =0.12601278 +.0458649i, b= .12582484 +.045796497i를 사용하며, c = 0.3688 - 3578의 값으로 중심화되어 고전적인 만델브로트 세트에서 시겔 디스크의 5주기에 가깝다.위 이미지에서 헤르만 링의 5 사이클은 다음과_a,b,c 같은 값을 사용하여 양쪽의 노드가 있는 위 그림의 곡선을 따라 포인트 c를 선택하면 근사치를 구할 수 있다.

${\displaystyle {\required}a&=.12601278+.0458649i,\b&=112582484+.045796497i,{\text 및}\c&=0.37144067-.35829275i,\end{igned}}}}}}}}$

허먼 링의 결과 5 사이클은 다음과 같다.

시시쿠라 결과에 따르면 이성적 함수 ƒ이 헤르만 반지를 가지고 있다면 ƒ의 정도는 적어도 3이 된다.허먼 반지를 소유한 용적함수 또한 존재한다.

초월적 용적함수를 위한 헤르만 링은 T에 의해 연구되어 왔다.나약. 나약 결과에 따르면, 그러한 기능에 대한 생략 값이 있다면 기간 1이나 2의 헤르만 링은 존재하지 않는다.또한 단극만 있고 최소한 생략된 값이 있다면 그 함수에는 어느 시기의 헤르만 링이 없다는 것이 증명된다.

참고 항목

• 더디토끼
• 시겔 디스크

참조