에센셜 매트릭스

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2010년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

컴퓨터 비전에서 필수 매트릭스는 $카메라$가 핀홀 카메라 모델을 만족한다고 가정할 때 스테레오 영상의 해당 지점을 연결하는 3$$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ 매트릭스$$ $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이다.

함수

$구체적$으로 y ${\$ {y$} 및$ $y$ ′${\$ {$y}'이($가) 이미지 1과 2에서 각각 균일한 정규화된 영상 좌표인 경우$$

${\displaystyle(\mathbf {y} ')^{\top }\,\mathbf {E} \,\mathbf {y} =0}$

$y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$및$ y ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이(가) 씬(scene)의 동일한 3D 포인트에 해당하는$$ 경우

본질적 매트릭스를 정의하는 위의 관계는 1981년에 H에 의해 발표되었다. Christopher Longuet-Higgins, 컴퓨터 비전 커뮤니티에 이 개념을 소개한다.리처드 하틀리와 앤드류 지서먼의 저서는 그 훨씬 전에 사진 측정에 유사한 매트릭스가 나타났다고 보고한다.Longuet-Higins' 논문에는 $해당{\displaystyle \mathbf{}}$ 정규화된 이미지 좌표 $집합$에서 E ${\$를) 추정하는 알고리즘과 E ${\$가) 알려진 경우$$ 두 카메라의 상대 위치와 방향을 결정하는 알고리즘이 포함되어 있다.마지막으로, 필수 매트릭스의 도움으로 영상 포인트의 3D 좌표를 결정하는 방법을 보여준다.

사용하다

필수 매트릭스는 기본 매트릭스 $F{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 전조로 볼 수 있다$.$ 두 매트릭스는 일치된 영상 포인트 간의 제약 조건을 설정하는 데 사용할 수 있지만 내부 카메라 파라미터(매트릭스 $K{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$) 때문에 보정된 카메라와 관련하여만 필수 매트릭스를 사용할 수 있다.$atsbf {K} }$ 및$$ $K{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$)을(를) 알아야 정상화가 가능하다.그러나 카메라가 보정된 경우 필수 매트릭스는 카메라 사이의 상대적 위치와 방향 및 해당 영상 지점의 3D 위치를 결정하는 데 유용할 수 있다.기본 매트릭스는 다음과 같은 기본 매트릭스와 관련이 있다.

${\displaystyle \mathbf {E} =({\mathbf {K} ')^{\top }\;\mathbf {F} \\\mathbf {K}}}$

파생 및 정의

이 파생은 룽구엣 히긴스의 논문을 따른다.

정상화된 두 대의 카메라는 3D 세계를 각각의 이미지 평면에 투영한다.점 P의 3D 좌표는 각 카메라의 좌표계에 비례하여$$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3}}}$ 및$$${\displaystyle }$( x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}\prime ,}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}\prime ,}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystystyle$ ($x'{1},x'{2},x'_{3}}}})$이 되도록 한다.카메라가 정상화되기 때문에 해당 영상 좌표는

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$ and ${\displaystyle {\begin{pmatrix$$}y'_{1}\y'_{2}\end{pmatrix}={\frac {1}{x'_{3}}{\pmatrix}{\nd{pmatrix}x'_{1}\x'{2}\end{pmatrix}}}}}}}$

그런 다음 두 이미지 좌표에 대해 동일한 표현을 제공한다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}$ and ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{y}_1^{\prime }\\ y_2^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{x_3^{\prime }}(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ {}_{}^{}\end{array}}$${\$

이 또한 다음과 같이 더욱 간결하게 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {y} ={\frac {1}{x_{3}}}\,{\tilde {\mathbf {x} }}}$ and ${\displaystyle \mathbf {y} '={\frac {1}{x'_{3}}}\,{\tilde {\mathbf {x} }}'}$

where ${\displaystyle \mathbf {y} }$ and ${\displaystyle \mathbf {y} '}$ are homogeneous representations of the 2D image coordinates and ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$ and ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}'}$ are proper 3D coordinates but in two different coordinate sy줄기

정상화된 카메라의 또 다른 결과는 각각의 좌표계가 번역과 회전을 통해 연관되어 있다는 것이다.이는 두 세트의 3D 좌표가 다음과 같은 관계가 있음을 의미한다.

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x}}}}}}=\mathbf {R}\,({\tilde {\mathbf {x}}) \\mathbf {t}$

여기서 $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle$ 3$\times$ 3$}$ 회전$$ 행렬이고 $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 3차원 변환 벡터다$$.

그 다음, 필수 행렬은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {R} \,[\mathbf {t} ]_{\times }}}}}$

여기서 [${\displaystyle t\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\$은(는) t ${\$ {$t}을($를) 사용한 교차 제품의 행렬 표현이다$.$

$E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 정의에 대해서는$$ 정규화된 영상 좌표제의 방향에만 관심이 있다(참조:트리플 제품).따라서 영상 좌표를 필수 방정식으로 대체할 때 우리는 변환 구성요소가 필요하지 않다.이 $E{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {E}$의 정의가 두 개의 서로 다른 좌표계에서 포인트 P의 3D 좌표와 왼쪽 및 오른쪽에서$$ $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$을(를) 곱한 값으로 해당 영상 좌표에 대한 제약 조건을 설명하는지$$ 확인하려면:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}'^{T}\,\mathbf {E} \,{\tilde {\mathbf {x} }}\,{\stackrel {(1)}{=}}\,{\tilde {\mathbf {x} }}^{T}\,\mathbf {R} ^{T}\,\mathbf {R} \,[\mathbf {t} ]_{\times }\,{\tilde {\mathbf {x} }}\,{\stackrel {(2)}{=}}\,{\tilde {\mathbf {x} }}^{T}\,[\mathbf {t} ]_{\times }\,{\tilde {\mathbf {x} }}\,{\stackrel {(3)}{=}}\,0}$

1. Insert the above relations between ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}'}$ and ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$ and the definition of ${\displaystyle \mathbf {E} }$ in terms of ${\displaystyle \mathbf {R} }$ and ${\displaystyle \mathbf {t} }$.
2. ${\displaystyle {}^{}}$$R$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R{}^{}\mathbf{}}$$=$ ${\displaystyle I\mathbf{}}$ ${\$ $\$$mathbf {R} ^{T}\,\mathbf {R} =\$$mathbf$ ${I}}$이(가) 회전 행렬이므로$$.
3. 교차 제품의 행렬 표현 특성.

마지막으로, $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$와 x ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}${$${\$displaystyle$ x$'_{3}$ 모두 0 >이라고$$ 가정할 수 있으며, 그렇지 않으면 두 카메라에서 모두 볼 수 없다.이것으로 알 수 있다.

${\displaystyle 0=({\tilde {\mathbf {x}}}}})^{T}\,\mathbf {E} \,{\tilde {\mathbf {x}}}}}={\frac {1}{x'_{3}}({\tilde {\mathbf {x}}}})^{{\tilde}T}\,\mathbf {E} \,{\frac {1}{x_{3}}{\tilde {\mathbf {x}}}}}}}}}=(\mathbf {y}')^{{{{}}}}}}T}\,\mathbf {E} \,\mathbf {y} }$

즉, 필수 매트릭스가 해당 영상 포인트 사이에서 정의하는 제약조건이다.

특성.

모든 $임의$의 3 ${\displaystyle \times }$ $매트릭스$가 일부 스테레오 카메라의 필수 매트릭스가 될 수 있는 $것$은 아니다$.$이 통지가 하나의 ${\displaystyle \mathrm{회전}}$ 행렬과 하나의 스큐 대칭 행렬의 행렬로 정의되는 것을 보려면 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ 3 ${\displaystyle 3\times$ 3$}.$스큐 대칭 행렬에는 동일한 두 개의 단수 값과 0인 다른 값이 있어야 한다.회전 행렬의 곱셈은 단수 값을 변경하지 않으며, 이는 기본 행렬이 동일한 두 개의 단수 값과 0인 한 개의 단수평 행렬의 곱셈은 단수 값을 변경하지 않는다.여기서 설명하는 속성을 본질적 매트릭스의 내부 제약조건이라고 부르기도 한다.

필수 행렬 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 0이 아닌 스칼라를 곱하면 결과는$$ $다시{\displaystyle \mathbf{}}$ E ${\$과 정확하게 동일한 구속조건을 정의하는 필수 행렬이 된다.$즉{\displaystyle \mathbf{}}$, E ${\$을(를) 투사 공간의 요소로 볼 수 있다는$$ 것을 의미한다. 즉, 한 행렬이 다른 행렬의 0이 아닌 스칼라 곱인 경우 그러한 행렬 2개가 동등하다고 간주된다.예를 들어 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 영상 데이터에서 추정된 경우 관련 위치.그러나 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 로 정의되어 있다는$$ 입장도 취할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {E} =[\mathbf {\widetilde {t}} ]_{\times }\\mathbf {R}}}}}$

여기서 $t{\displaystyle \stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}$~${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\displaystyle t\mathbf{}}$ ${\$ 그리고 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는$)$ 잘 정의된 "scaling"을$$ 갖는다.어떤 포지션이 더 관련성이 높은지는 신청서에 달려 있다.

제약조건은 또한 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle \det \mathbf {E} =0}$

그리고

${\displaystyle 2\mathbf {E} \mathbf {E} ^{T}\mathbf {E} -\operatorname {tr}(\mathbf {E} \mathbf {E} \mathbf {E}\mathbf {E} =0.})$

여기서 마지막 방정식은 매트릭스 제약조건으로, 매트릭스 원소마다 하나씩 9개의 제약조건으로 볼 수 있다.이러한 제약조건은 5개의 해당 점 쌍으로부터 필수 행렬을 결정하는 데 종종 사용된다.

본질적인 매트릭스는 투영적인 요소로 보여지는가에 따라 5, 6도의 자유도를 가진다.회전 행렬 $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) 변환 벡터 $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 각각 3개의 자유도를 가지며$$ 총 6개의 자유도를 가진다.그러나 필수 행렬을 투영 요소로 간주할 경우, 메스커 곱셈과 관련된 자유도를 1도 빼야 하며, 총 자유도는 5도 남는다.

추정

해당 영상 포인트 세트가 주어진 경우 세트의 모든 포인트에 대해 정의되는 경구 구속조건을 만족시키는 필수 매트릭스를 추정할 수 있다.그러나 이미지 포인트가 어떤 실제 상황에서나 흔히 볼 수 있는 노이즈의 영향을 받는다면 모든 제약을 정확히 충족하는 필수 매트릭스를 찾을 수 없다.

각 제약조건과 관련된 오차를 어떻게 측정하느냐에 따라 주어진 영상점 집합에 대한 제약조건을 최적으로 만족시키는 필수 매트릭스를 결정하거나 추정할 수 있다.가장 간단한 접근법은 일반적으로 8점 알고리즘으로 알려진 총 최소 제곱 문제를 설정하는 것이다.

회전 및 변환 추출

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다.(2020년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

스테레오 카메라 쌍에 대해 필수 매트릭스가 결정되었으므로(예: 위의 추정 방법을 사용하여) 이 정보는 두 카메라 좌표 sysste 사이의 $회전{\displaystyle \mathbf{}}$ R ${\$$displaystyle \mathbf {R} }$ 및 변환 t {\$displaystyle \mathbf {t}($최대 스케일링)를$$ 결정하는 데도 사용할 수 있다.ms. 이러한 파생에서 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 잘 정의된 스케일링이 아니라 투영 요소로 간주된다$$.

하나의 솔루션 찾기

$R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 및$$ $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {t$}}을($를) 결정하는 다음 방법은 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 SVD 수행에 기반을 두고 있으며$$$,$ Hartley & Zisserman의 책을 참조하십시오.^[2]SVD 없이 $R{\displaystyle \mathbf{}}$$$ ${\$및$$ $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 결정하는 것도 가능하다(예: Longuet-Higgins 논문).

$E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 SVD가 제공하는$$ 기능

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {U}\,\mathbf {\Sigma }\,\mathbf {V}^{T}}$

여기서 $U{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$및{\displaystyle \mathbf{}}$ V$$ ${\$는) $직교{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \times }$ 3 ${\displaystyle 3$$\time3$$}$ 행렬이고$$$$ $\sigma {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$displaysty$ $\mathbf {\\$$sigma$$}}$은($와$) 대각$$ 행렬이다$.$

${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ={\begin{pmatrix}s&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

$\sigma {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 대각선 항목은 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 단수 값이며$$, 이$$ 값은 필수 행렬의 내부 제약 조건에 따라 동일한 두 개의 0 값으로 구성되어야 한다.정의

W);-1&, 0\\1&, 0&, 0\\0&, 0&, 1\end{pmatrix}}}W− 1와 같이 WT=(010− 100001){\displaystyle \mathbf{W}^{)}=\mathbf{W}^{T}={\begin{pmatrix}0&, 1&, 0\\-1&,{\displaystyle \mathbf{W}={\begin{pmatrix}0&(0− 10100001).0&, 0\\0&, 0&, 1\end{pmatrix}}}

그리고 다음과 같은 안사츠를 만든다.

${\displaystyle [\mathbf {t} ]_{\times }=\mathbf {U}\,\mathbf {W}\,\mathbf {\Sigma } \,\mathbf {U}^{T}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \,\mathbf {W} ^{1}\,\mathbf {V} ^{T}}}}$

$\sigma {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 실제 데이터(예: 카메라 이미지)를 처리할 때 제약 조건을 완전히 충족하지 못할 수 있으므로$$, 대안은 다음과 같다.

${\displaystyle [\mathbf {t} ]_{\times }=\mathbf {U} \,\mathbf {Z} \,\mathbf {U} ^{T}}$ with ${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

도움이 될 수도 있다

증명

첫째, $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t\mathbf{}{}_{\times }}$ ${\$에 대한 이러한 식은 필수 행렬에 대한 정의 방정식을 충족한다$$.

${\displaystyle [\mathbf {t} ]_{\times }\,\mathbf {R} =\mathbf {U} \,\mathbf {W} \,\mathbf {\Sigma } \,\mathbf {U} ^{T}\mathbf {U} \,\mathbf {W} ^{-1}\,\mathbf {V} ^{T}\,=\mathbf {U} \,\mathbf {\Sigma } \,\mathbf {V} ^{T}=\mathbf {E} }$

둘째, 이${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\$이(가) 일부 $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대한 교차 제품의 행렬 표현임을$$ 보여 주어야 한다$.$ 이후

${\displaystyle \mathbf {W} \,\mathbf {\Sigma } ={\begin{pmatrix}0&s&s\s&0\0&0\nd{pmatrix}}}}}$

it is the case that ${\displaystyle \mathbf {W} \,\mathbf {\Sigma } }$ is skew-symmetric, i.e., ${\displaystyle (\mathbf {W} \,\mathbf {\Sigma } )^{T}=-\mathbf {W} \,\mathbf {\Sigma } }$. This is also the case for our ${\displaystyle [\mathbf {t} ]_{\times }}$, since

${\displaystyle ([\mathbf {t} ]_{\reason }^{T}=\mathbf {U} \,(\mathbf {W} \,\mathbf {\Sigma } )^{T}\,\mathbf {U} ^{T}=-\mathbf {U} \,\mathbf {W} \,\mathbf {\Sigma } \,\mathbf {U} ^{T}=-[\mathbf {t} ]_{\times }}$

교차 제품의 매트릭스 표현에 대한 일반적인 속성에 따르면$,{\displaystyle }$ 그 ${\displaystyle 다음}$에는 [ t ] × ${\$ $}}}}$ 정확히 하나의 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ t ${\$의 교차 제품 연산자여야 한다$$$.$

셋째, $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대한 위의 식이 회전 행렬이라는$$ 것도 보여야 한다.It is the product of three matrices which all are orthogonal which means that ${\displaystyle \mathbf {R} }$, too, is orthogonal or ${\displaystyle \det(\mathbf {R} )=\pm 1}$. To be a proper rotation matrix it must also satisfy ${\displaystyle \det(\mathbf {R} )=1}$. Since, in this case, ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathbf{E}}$ ${\$은(는) 필요한 경우$$ $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 기호를 반대로 적용하여 달성할 수 있는 투영 요소로 간주된다$$.

모든 솔루션 찾기

$지금$까지 E ${\$$displaystyle \mathbf {R}$및$$ $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대한 하나의 가능한 해결책이 수립되었지만$$, E {\$displaystyle \mathbf {E} }}$이(가) 유일한 해결책은 아니며 실제적인 관점에서도 유효한 해결책이 아닐 수 있다$.$우선 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$배율이 정의되지$$ 않았으므로 $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 배율도 정의되지 않았다$$.이후$$ $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 null 공간에 있어야 함

${\displaystyle \mathbf {E} \,\mathbf {t} = {R} \,[\mathbf {t} ]_{\times }\,\mathbf {0}}}$

그러나 솔루션의 후속 분석에서 $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 정확한 확장은 "사인" 즉, 그것이 가리키는 방향만큼 중요하지 않다$$.Let ${\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}}$ be normalized vector in the null space of ${\displaystyle \mathbf {E} }$. It is then the case that both ${\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}}$ and ${\displaystyle -{\hat {\mathbf {t} }}}$ are valid translation vectors relative ${$$\displaystyle \mathbf {E$ 위의$$ $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $\mathbf$${R}$ 및 t ${\$ $\mathbf$ {R$}}$의 파생에서$$ $W{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$${\$${\displaystyle {\mathrm{displaysty}}^{}}$ $\mathbf {t$$}}}}}}}}{{-1}$로 변경할 수도 있다.번역 벡터에게 이것은 기호의 변화만 일으킬 뿐, 이미 가능성으로 설명되어 있다.반면에 회전의 경우, 이것은 적어도 일반적인 경우에서 다른 변형을 만들어 낼 것이다.

요약하자면, $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 주어진 경우 $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대해 가능한 두 개의 반대 방향과$$ 이 필수 매트릭스와 호환되는 두 개의 다른 회전이 있다$$.전체적으로 이것은 두 카메라 좌표계 사이의 회전과 번역을 위한 네 가지 등급의 해결책을 제공한다.여기에 선택한 번역방향에 대해 알 수 없는 s> 0 ${\displaystyle$ s$>0}$도 있다.

그러나 실제로 실현될 수 있는 솔루션은 네 가지 등급 중 한 가지에 불과한 것으로 나타났다.해당 이미지 좌표 한 쌍을 지정하면 3개의 해결책이 항상 3D 포인트를 생성하는데, 이는 두 카메라 중 적어도 한 대의 뒤에 있기 때문에 볼 수 없다.4개 클래스 중 1개 클래스만이 두 카메라 앞에 있는 3D 포인트를 지속적으로 생산하게 된다.그렇다면 이것이 올바른 해결책이 되어야 한다.그러나 여전히 번역 요소와 관련하여 확정되지 않은 양의 스케일링을 가지고 있다.

$위$의 R$${\$displaystyle \mathbf {R}$ $및$ t$${\$displaystyle \mathbf {t}$ 결정은 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 필수 행렬의 내부 제약 조건을 만족한다고 가정한다$$.예를 들어 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 실제(소음이 많은) 이미지 데이터에서 추정된 경우가$$ 아니라면 내부 제약 조건을 거의 충족한다고 가정해야 한다.$벡터{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ t ^ ${\$ {\hat {\$mathbf$ {$t}}}}$은(는) 가장 작은 단수 값에 해당하는$$ $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 오른쪽$$단수 벡터로 선택된다$$.

해당 영상 포인트에서 3D 포인트

Many methods exist for computing ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ given corresponding normalized image coordinates ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ and ${\displaystyle (y'_{1},y'_{2})}$, if the essential matrix is known and the corresponding rotati온 및 번역 변환이 결정되었다.

참고 항목

• 번들 조정
• 후각 기하학
• 기본 행렬
• 기하학적 카메라 보정
• 삼각측량(컴퓨터 비전)
• 트리포칼 텐서

도구 상자

• MATLAB(Manolis Lourakis)의 필수 매트릭스 추정.

외부 링크

• R.I. Hartley의 필수 매트릭스

참조